第七章讨论的流动问题 画非线性项(惯性项)等于零或形式简单 方程可简化成线性方程或简单的非线性方程 准确解 小雷诺数问题 粘性项量级远大于惯性项量级,粘性力起主导作用 仅考虑其主导作用粘性力,忽略起次要作用惯性力 方程近似简化成线性方程或简单的非线性方程 近似解 2021/2/12 西安交通大学流体力学课程组 □
2021/2/12 西安交通大学流体力学课程组 1 概 述 准确解 近似解 非线性项（惯性项）等于零或形式简单 方程可简化成线性方程或简单的非线性方程 粘性项量级远大于惯性项量级，粘性力起主导作用 第七章讨论的流动问题 小雷诺数问题 仅考虑其主导作用粘性力，忽略起次要作用惯性力 方程近似简化成线性方程或简单的非线性方程
测第八章小雷诺数流动 背景 石油化工、环境工程、水力工程、采矿、生物工程、气象等领域 微小粒子、液滴或气泡在粘性流体中的缓慢流动 @粘性流体在微小尺寸通道内的缓慢流动,如地 下水的流动,石油,页岩气在岩层中的流动 粘性薄液膜的流动,如滑动轴承中的润滑油膜的 流动等 小雷诺数流动雷诺数小,惯性力与粘性力相比可以 忽略不计,或只占次要地位 2021/2/12 西安交通大学流体力学课程组 □
2021/2/12 西安交通大学流体力学课程组 2 第 八 章 小雷诺数流动 背 景 。 石油化工、环境工程、水力工程、采矿、生物工程、气象等领域 微小粒子、液滴或气泡在粘性流体中的缓慢流动 粘性流体在微小尺寸通道内的缓慢流动，如地 下 水的流动，石油，页岩气在岩层中的流动 粘性薄液膜的流动，如滑动轴承中的润滑油膜的 流动等 小雷诺数流动 雷诺数小，惯性力与粘性力相比可以 忽略不计，或只占次要地位
本草内容 介绍小雷诺数流动的近似解 8.1斯托克斯近似 8,2绕圆球的缓慢流动 83奥辛近似 84滑动轴承内润滑油的流动 85通过多孔介质的缓慢流动 2021/2/12 西安交通大学流体力学课程组 D 3
2021/2/12 西安交通大学流体力学课程组 3 8.1 斯托克斯近似 8.2 绕圆球的缓慢流动 8.3 奥辛近似 8.4 滑动轴承内润滑油的流动 8.5 通过多孔介质的缓慢流动 介绍小雷诺数流动的近似解 本章内容
斯托克斯近似 斯托克斯方程与斯托克斯流动 N-S方程 ou r rr +(u.V) Vp+wu+f at 引入非定常特征时间,特征长度L,特征速度U 对流惯性力。(、v)(2y) =Re雷诺数 粘性力 vUv2I 当雷诺数很小(Re→0)时,流体的对流惯性力远远小于粘 性力,N-S方程中的非线性对流惯性项可略去 au 1 r r p+wu+f at 2021/2/12 西安交通大学流体力学课程组 □4
2021/2/12 西安交通大学流体力学课程组 4 8.1 斯托克斯近似 斯托克斯方程与斯托克斯流动 引入非定常特征时间t0，特征长度L，特征速度U ( ) u 1 2 u u p u f t + = − + + r r r r r ( ) ( ) 2 * * * 2 *2 * 2 Re U u u u u L UL u U u L = = r r r r r r 对流惯性力 粘性力 当雷诺数很小(Re→ 0) 时，流体的对流惯性力远远小于粘 性力， N－S 方程中的非线性对流惯性项可略去 u 1 2 p u f t = − + + r r r N-S方程 雷诺数
斯托克斯近似 r u au p+wu+f 局部惯性力 at to at12 S 粘性力 r 斯托克斯数 Ns Ns- LL LU St·Re 斯特鲁哈利( Strouhal)数 St=L/(UL 表示宏观流动特征时间L与非定 常特征时间(如振动周期)之比 2021/2/12 西安交通大学R课 Ns→>0 D 5
2021/2/12 西安交通大学流体力学课程组 5 u 1 2 p u f t = − + + r r r * * 2 0 2 *2 * 0 2 Ns u U u t t t L u t U u L = r r r r 局部惯性力 ＝ 粘性力 斯特鲁哈利（Strouhal）数 斯托克斯数 2 0 0 Ns = =St Re L L LU t Ut = St /( ) = L Ut0 Ns 0 → 2 0 Ns L t ＝ Re 0 → 斯托克斯近似 表示宏观流动特征时间L/U 与非定 常特征时间(如振动周期）之比
斯托克斯近似 Vp+wu+f Ns=St·Re 若流动的S不太大 Re→0 Ns→0 忽略N-S方程左侧的局部惯性力项,流动化为准定 常问题 忽略质量力 r Vp+wu O 2021/2/12 西安交通大学流体力学课程组 D 6
2021/2/12 西安交通大学流体力学课程组 6 斯托克斯近似 若流动的 St 不太大 Ns St Re = u 1 2 p u f t = − + + r r r 忽略N－S方程左侧的局部惯性力项，流动化为准定 常问题 Re → 0 Ns → 0 忽略质量力 1 2 0 p u = − + r
斯托克斯方程与斯托克斯流动 简化后运动方程 p斯托克斯方程 连续方程 V·=0 斯托克斯流动 满足斯托克斯方程和连续方程的流动 斯托克斯方程近似程度 单粒子在无界流体定常流动Re1 2021/2/12 西安交通大学流体力学课程组 □7
2021/2/12 西安交通大学流体力学课程组 7 斯托克斯方程与斯托克斯流动 2 1 u p = r 满足斯托克斯方程和连续方程的流动 = u 0 r 斯托克斯方程近似程度 简化后运动方程 连续方程 斯托克斯流动 单粒子在无界流体定常流动Re 1 斯托克斯方程
斯托克斯方程的各种表达型式 对斯托克斯方程两侧取散度 P=0压强是调和函数满足拉普拉斯方程 V·L=0 对斯托克斯方程两侧2运算 V2v2l=0速度矢量是双调和函数 对斯托克斯方程两侧取旋度,注意到vxvp=0 V2Ω=0 涡量是调和函数 2021/2/12 西安交通大学流体力学课程组 d 8
2021/2/12 西安交通大学流体力学课程组 8 对斯托克斯方程两侧取散度 2 = p 0 2 2 = u 0 r 2 = 0 r = u 0 r = p 0 2 1 u p = r 对斯托克斯方程两侧取旋度，注意到 2 对斯托克斯方程两侧 运算 压强是调和函数 满足拉普拉斯方程 速度矢量是双调和函数 涡量是调和函数 斯托克斯方程的各种表达型式
湖二维不可压编流动流函数方程 二维平面流动 2=-kV2vP92式45b Q 平面直角坐标系 : V2I /Vy=0 a2 OV 球坐标系(轴对称)EEv=01E2=G+smn0a(La Or2 r2 00 sin 0 80 球坐标系下速度 10v 10 和流函数关系 r-sin0 ae rsing a 压强与流函数 aP aP 关系 rr 0 eleY Ey a0 sine ar 球坐标系上述关系式证明见例1(228230) 2021/2/12 西安交通大学流体力学课程组 d 9
2021/2/12 西安交通大学流体力学课程组 9 二维不可压缩流动流函数方程 2 = − k r r 2 2 = 0 球坐标系（轴对称） 2 1 , sin r u r = 1 sin u r r = − ( ) 2 2 sin P E r r = ( ) 2 sin P E r = − 2 2 E E = 0 2 2 2 2 sin 1 sin E r r = + 二维平面流动 平面直角坐标系 球坐标系下速度 和流函数关系 压强与流函数 关系 2 1 u p = r 2 = 0 r 2 2 2 2 2 x y = + 球坐标系上述关系式证明见例1（228-230） P92 式4-5b
湖京解方法及解的特点 @斯托克斯流动的速度场、压强场,涡量场可以 单独求解 运动学问题与动力学问题相互独立。可先求流函数或速度场, 确定压强场 @运动学方程及边界条件中无流体的物性参数密 度和粘性 流场的运动学变量,如速度、涡量、流线和涡线等与流体的 粘 性和密度无关。 在斯托克斯方程中只出现粘性而没有密度 q动力学变量,如压强、应力和物体所受合力等都只与粘性系数 有关而与密度无关。 2021/2/12 西安交通大学流体力学课程组 D 10
2021/2/12 西安交通大学流体力学课程组 10 运动学方程及边界条件中无流体的物性参数密 度和粘性 求解方法及解的特点 斯托克斯流动的速度场、压强场，涡量场可以 单独求解 在斯托克斯方程中只出现粘性而没有密度， 运动学问题与动力学问题相互独立。可先求流函数或速度场， 确定压强场 流场的运动学变量，如速度、涡量、流线和涡线等与流体的 粘 性和密度无关。 动力学变量，如压强、应力和物体所受合力等都只与粘性系数 有关而与密度无关