第八章点的合成运动 物体的运动是相对的,对于不同的观察者,其运动规律是不同的,即物体的运动相对 与不同的参考系是不同的。如图8-1所示沿ox轴作纯滚动的圆轮。取轮缘上的M点为动 点;oxy、cxy为参考系(其中c为轮心,c点作直 线运动,运动过程中cx∥ox,cy’∥oy。即cx3y’相 对oxy作平动运动)。对于oxy参考系而言,动点M 的运动轨迹曲线为旋轮线;对cxy参考系而言,动 点M的运动轨迹曲线为圆周线。在oxy、oxy’参 考系中的动点运动轨迹曲线的不同则导致动点在两 图8-1 个参考系中的速度矢量和加速度矢量的不同。即动点运动方程r()对时间导数的不同。为 此首先分析动点运动方程r(1)对时间的导数 §8-1绝对时间导数和相对时间导数 在质点的合成运动分析中涉及到两个参考系。由于牛顿第二定律的动力学分析要求, 个参考系必须是惯性参考系,(今后无专门说明,惯性参考系取为地球),称为定参考系 或称为定系;另一参考系相对定参考系运动,称为动参考系。或称为动系。 质点的运动学分析涉及到质点的位置矢量r(1);速度矢量v(1);加速度矢量a()。对 t到t+Mt时间间隔内的这些运动学矢量的增量的分析必须明确是对哪一个参考系而言的。 是对定系,还是对动系而言。因为对动系和对定系,质点运动学矢量(位置矢量r(t);速 度矢量v(t);加速度矢量a(1)在t到计+△时间间隔内的增量是不同的。质点的运动学 矢量在定系 中的矢量增量标为绝对增量。其对应的时间导数称为绝对(时间)导数;质点的运动学矢 量在动系中的矢量增量标称为相对增量。其对应的时间导数标称为相对(时间)导数 以图8-2所示在开有圆槽的矩形板槽内作圆周运动的质点。当矩形板作刚体平动运动 (相对惯性参考系Oxy)时。则质点在定系(oxy坐标系)中的增量为: △r=r(t+△n)-r(1) 质点在动系(相对矩形板)中的增量为
1 第八章 点的合成运动 物体的运动是相对的，对于不同的观察者，其运动规律是不同的，即物体的运动相对 与不同的参考系是不同的。如图 8-1 所示沿 ox 轴作纯滚动的圆轮。取轮缘上的 M 点为动 点；oxy、cx′y′为参考系（其中 c 为轮心，c 点作直 线运动，运动过程中cx′∥ox，cy′∥oy。即cx′y′相 对oxy 作平动运动）。对于oxy 参考系而言，动点 M 的运动轨迹曲线为旋轮线；对cx′y′参考系而言，动 点 M 的运动轨迹曲线为圆周线。在oxy 、ox′y′ 参 考系中的动点运动轨迹曲线的不同则导致动点在两 图 8-1 个参考系中的速度矢量和加速度矢量的不同。即动点运动方程 r(t) 对时间导数的不同。为 此首先分析动点运动方程 r(t) 对时间的导数。 §8-1 绝对时间导数和相对时间导数 在质点的合成运动分析中涉及到两个参考系。由于牛顿第二定律的动力学分析要求， 一个参考系必须是惯性参考系，（今后无专门说明，惯性参考系取为地球），称为定参考系。 或称为定系；另一参考系相对定参考系运动，称为动参考系。或称为动系。 质点的运动学分析涉及到质点的位置矢量 r(t) ；速度矢量v(t) ；加速度矢量a(t) 。对 t 到t + Δt 时间间隔内的这些运动学矢量的增量的分析必须明确是对哪一个参考系而言的。 是对定系，还是对动系而言。因为对动系和对定系，质点运动学矢量（位置矢量 r(t) ；速 度矢量v(t) ；加速度矢量a(t)）在 t 到 t + Δt 时间间隔内的增量是不同的。质点的运动学 矢量在定系 中的矢量增量标为绝对增量。其对应的时间导数称为绝对（时间）导数；质点的运动学矢 量在动系中的矢量增量标称为相对增量。其对应的时间导数标称为相对（时间）导数。 以图 8-2 所示在开有圆槽的矩形板槽内作圆周运动的质点。当矩形板作刚体平动运动 （相对惯性参考系oxy ）时。则质点在定系（oxy 坐标系）中的增量为： Δr = r(t + Δt) − r(t) 质点在动系（相对矩形板）中的增量为： M O C x' y' y x
Mr=r(t+△n-r() rr(t△t) 显然Ar≠Ar 若定义 dA A(t+△)-A() dt 为A矢量(在质点运动学中,A可 以是位置矢量r;速度矢量ν等运 动学矢量)在定系中的绝对(时间) 导数。 lim A,(t+△)-41(1) 为矢量A在动系中的相对时间导数,则 图8-2 1) 证:(只给出平面情况的证明。如图8-3所示。) a=cos i+ sin 8 j B=-sing i+cos j Oxy为定系:O列7为动系 da 0j0=0B dt B dr(-cos 0i+sin 0))0=-0 a A a+A,P) dt A a+A,B+A a+ A, (A:A-A,a)e k=日k
2 (t t) (t) r r r Δr = r + Δ − r 显然 r Δr ≠ Δr 若定义： t t t t dt d t Δ + Δ − = Δ → ( ) ( ) lim 0 A A A 为 A 矢量（在质点运动学中，A 可 以是位置矢量 r；速度矢量v 等运 动学矢量）在定系中的绝对（时间） 导数。 t t t t dt d r r t Δ + Δ − = Δ → ( ) ( ) lim ~ 0 A A A 为矢量 A 在动系中的相对时间导数，则 图 8-2 r e0 r r e0 r r dt d dt d ~ ω A r A ω A r A A = + × + = + × + （8-1） 证：（只给出平面情况的证明。如图 8-3 所示。） α = cosθ i + sinθ j β = − sinθ i + cosθ j oxy 为定系； o′ξη 为动系； θ = θ (t) i j β α sin cos θ θ θ dt d = (− θ + ) = i j α β cos θ sin θ θ θ dt d = (− + ) = − ( α β) A 转 ξ η r A A dt d dt d ~ = + β = Aξα + Aη β + Aξα + Aη 图 8-3 ξ η θ ( A A ) = Ar + β − α ∵ ω ω k θ k = = rr(t+△t) rr(t) r(t+△t) re(t) re(t+△t) r(t) O y x η β ξ α j i O' θ Ar (t) Ar(t+△t) A(t+△t) reo A(t) O y x
m×A1=6k×(Aa+AB)=(AB-A,a)6 dA A+0xA dt dt (A+r0)=A,+×A,+o §8-2相对运动、牵连运动、绝对运动 对质点的合成运动分析,在理论上如果已知了质点相对定系(或动系)的运动方程和 定系与动系之间的运动方程来确定动系中动点的运动量(速度矢量、加速度矢量),在数学 上是很容易处理的。对实际问题的处理时,通常并不需要直接确定动点的运动方程,而只 是确定任意给定时刻的各运动量之间在不同参考系中的表示之间的关系。这种动点相对不 同参考系中表示之间的相关分析就是动点的合成运动分析 对所选定的定参考系和动参考系,动点的运动分别依据其相对的参考系分为绝对运 和相对运动。 绝对运动:动点相对定参考系的运动称为绝对运动。绝对运动对应的运动方程(矢量 表示),速度矢量,加速度矢量分别记为厂=厂(1);v=V(1);an=a2(1) 相对运动:动点相对动参考系的运动称为相对运动。相对运动对应的运动方程(矢量 表示),速度矢量,加速度矢量分别记为r=r(1);v=v,(1);an=a1(1)。 在动点的合成运动分析中,除动点的相对运动和绝对运动外,定系和动系之间也存在 相对运动。动系相对定系的运动本质上是固连在动系上给定的坐标系相对固连在定系上的 坐标系之间的坐标变换。且对不同时刻t所对应的坐标变换一般是不同的,即依赖于时间 参数的坐标变换。将动系取为运动的刚体,则动系相对定系的运动就是运动刚体相对惯性 参考系为定系的刚体运动。在刚体相对定系运动过程中,刚体上的每一点相对定系都在运 动(包括相对定系的静止)。在动点的合成运动分析中,动系中与动点重合的点的运动(即 运动刚体上与动点占有同一几何空间位置的刚体上的点的运动)起着重要的作用。动系中 与动点重合的点,在动点的合成运动分析中称为牵连点。牵连点相对定系的运动称为牵连 运动。 牵连运动:动系上与动点占有相同几何空间位置的点相对定参考系的运动称为牵连运 动。牵连运动对应的运动方程(矢量表示),速度矢量,加速度矢量分别记为r=r(1); v=v2(D);a2=al(1) 绝对运动,相对运动(对动点而言)和牵连运动(对牵连点而言)都是对质点而言
3 ∴ θ A A A A θ r ξ η ξ η ω× A = k × ( α + β) = ( β − α) r r r dt ~ d A ω A A = + × 转 r e0 r r e0 r dt d ~ dt ~ d A r A ω A r A = ( + )= + × + §8-2 相对运动、牵连运动、绝对运动 对质点的合成运动分析，在理论上如果已知了质点相对定系（或动系）的运动方程和 定系与动系之间的运动方程来确定动系中动点的运动量（速度矢量、加速度矢量），在数学 上是很容易处理的。对实际问题的处理时，通常并不需要直接确定动点的运动方程，而只 是确定任意给定时刻的各运动量之间在不同参考系中的表示之间的关系。这种动点相对不 同参考系中表示之间的相关分析就是动点的合成运动分析。 对所选定的定参考系和动参考系，动点的运动分别依据其相对的参考系分为绝对运动 和相对运动。 绝对运动：动点相对定参考系的运动称为绝对运动。绝对运动对应的运动方程（矢量 表示），速度矢量，加速度矢量分别记为 (t) a a r = r ； (t) a a v = v ； (t) aa = aa 。 相对运动：动点相对动参考系的运动称为相对运动。相对运动对应的运动方程（矢量 表示），速度矢量，加速度矢量分别记为 (t) r r r = r ； (t) r r v = v ； (t) r r a = a 。 在动点的合成运动分析中，除动点的相对运动和绝对运动外，定系和动系之间也存在 相对运动。动系相对定系的运动本质上是固连在动系上给定的坐标系相对固连在定系上的 坐标系之间的坐标变换。且对不同时刻 t 所对应的坐标变换一般是不同的，即依赖于时间 参数的坐标变换。将动系取为运动的刚体，则动系相对定系的运动就是运动刚体相对惯性 参考系为定系的刚体运动。在刚体相对定系运动过程中，刚体上的每一点相对定系都在运 动（包括相对定系的静止）。在动点的合成运动分析中，动系中与动点重合的点的运动（即 运动刚体上与动点占有同一几何空间位置的刚体上的点的运动）起着重要的作用。动系中 与动点重合的点，在动点的合成运动分析中称为牵连点。牵连点相对定系的运动称为牵连 运动。 牵连运动：动系上与动点占有相同几何空间位置的点相对定参考系的运动称为牵连运 动。牵连运动对应的运动方程（矢量表示），速度矢量，加速度矢量分别记为 (t) e e r = r ； (t) e e v = v ； (t) ae = ae 。 绝对运动，相对运动（对动点而言）和牵连运动（对牵连点而言）都是对质点而言
其r、υ、an;r、ν、an;r、v、a分别称为绝对位置矢量、绝对速度矢量、绝 对加速度矢量:相对位置矢量、相对速度矢量、相对加速度矢量:牵连位置矢量、牵连速 度矢量、牵连加速度矢量。绝对运动、相对运动和牵连运动各自对应的加速度矢量是速度 矢量对时间参数的导数:;速度矢量是位置矢量对时间参数的导数。 例8-1如图8-4所示。大圆环绕过O点垂直纸面的轴作定轴转动运动。大圆环上的小环 在大圆环上相对大圆环运动。试分析当小环作为动点时的合成运动分析。 解 动点牵连点 在t=0时 定系:oxy或,i,j 动系:0xy或0,, r=-2Ri -2Ri 牵连点 动点 在t时 定系:∞y或;i,j t=0 动系:oxy”或{0”,,门 ra=-[ 8 +Rcos(e +OJi+[Rsin 0e+ rsin(0e +8)1i r,=-Rcos 8. +rcos(8 +OJi+[Rsin 8+rsin(e, +e)lj r=- Rcos e,i+ Rsin 6,j” §8-3动点合成运动速度合成定理 当给定定系和动系后,动点的合成运动分析中,动点的绝对速度矢量v、相对速度矢 ν及牵连点的牵连速度矢量ν之间的关系由速度合成定理确定 定理:在给定的定系和动系中,动点的绝对速度矢量v、相对速度矢量ν及牵连点的
4 其 ar 、 a v 、 aa ； rr 、 r v 、 r a ； er 、 e v 、ae 分别称为绝对位置矢量、绝对速度矢量、绝 对加速度矢量；相对位置矢量、相对速度矢量、相对加速度矢量；牵连位置矢量、牵连速 度矢量、牵连加速度矢量。绝对运动、相对运动和牵连运动各自对应的加速度矢量是速度 矢量对时间参数的导数；速度矢量是位置矢量对时间参数的导数。 例 8-1 如图 8-4 所示。大圆环绕过 O 点垂直纸面的轴作定轴转动运动。大圆环上的小环 在大圆环上相对大圆环运动。试分析当小环作为动点时的合成运动分析。 解： 在 t = 0 时； 定系：oxy 或{ } 0; i, j 动系：o′x′y′或{ } 0′; i′, j′ r Ri a = −2 r Ri e = −2 r = −Ri′ r 在 t 时： 定系：oxy 或{ } 0; i, j 动系：o′′x′′y′′ 或{ } 0′′; i′′, j′′ 图 8-4 r [ cos cos( )]i [ sin sin( )]j a = − R θ e + R θ e +θ r + R θ e + R θ e +θ r r [ cos cos( )]i [ sin sin( )]j e = − R θ e + R θ e +θ r + R θ e + R θ e +θ r r = − i′′ + j′′ r R θ r R θ r cos sin §8-3 动点合成运动速度合成定理 当给定定系和动系后，动点的合成运动分析中，动点的绝对速度矢量 a v 、相对速度矢 量 r v 及牵连点的牵连速度矢量 e v 之间的关系由速度合成定理确定。 定理：在给定的定系和动系中，动点的绝对速度矢量 a v 、相对速度矢量 r v 及牵连点的 动点 牵连点 θe '' '' ' r y t t=0 θ 动点 牵连点 0 x ' R y' 0' x' y x 0
牵连速度矢量v满足 (8-2) 证明 如图8-5所示。0点为定系中的固定点。 动系oxy’相对定系的运动为动系由(1)o 至o’的平动运动;(2)在绕过o点与oxy × 面正交的转动轴的转动运动(在该t时刻可 视为是定轴转动)。 r dtdt dt e+“+0×F =v+v+0×r 由图8-5中可知牵连点(与动点M占具同一几 图 何空间位置r的动系上的点)的速度 v=v+×r 最后得: 例82:如图86所示矩形板。板上开有/女 01 半径为r的圆形槽,槽内一小球(视为 质点)相对矩形板作均速运动,其速度 大小为v。试求图示位置时 1.当矩形板在水平面内作刚体平动 动(o1点作以O点为圆心的均速圆周 云动,其速度在小为V),槽内小球的绝 对速度矢量ν=? 2.当矩形板在水平面内绕过O点 图8-6(a)
5 牵连速度矢量 e v 满足： a e r v = v + v （8-2） 证明： 如图 8-5 所示。o 点为定系中的固定点。 动系 o′x′y′ 相对定系的运动为动系由⑴ o 至o′ 的平动运动；⑵ 在绕过o′ 点与o′x′y′ 面正交的转动轴的转动运动（在该 t 时刻可 视为是定轴转动）。 a e r r = r + r 0 dt d dt d dt d a e r r r r ~ 0 = + r e0 r dt d dt d ω r r r = + + × a e0 r r v = v + v + ω× r 由图 8-5 中可知牵连点（与动点 M 占具同一几 图 8-5 何空间位置 a r 的动系上的点）的速度 e e0 r v = v + ω× r 最后得： a e r v = v + v 例 8-2：如图 8-6 所示矩形板。板上开有 半径为 r 的圆形槽，槽内一小球（视为 质点）相对矩形板作均速运动，其速度 大小为 v。试求图示位置时： 1．当矩形板在水平面内作刚体平动 运动（o1 点作以 o 点为圆心的均速圆周 运动，其速度在小为 V），槽内小球的绝 对速度矢量v a = ？ 2．当矩形板在水平面内绕过 o 点 图 8-6（a） Ve0 SO' Ve转=ω×rr Ve平=Ve0 Ve M rr ra x' y' O' θ reo O 4r ω= V O1 v V M 30° r y x
垂直于oxy面内的转动轴作定轴转动运动时(a=V/4r)时,槽内小球的绝对速度矢量 解 1.动系取平动运动的矩形板 动点取槽内运动的小球 牵连点为与小球重合的矩形板上的点 30 在动点位置处画出v、v、v的速度分析图 如图8-6(b)所示。 建立My坐标系,应用速度合成定理求解得: v=(vcos60°-1)i+vsin60°j 30 01 2.动系取为定轴转动运动矩板; 动点取为槽内运动的小球; 牵连点为与小球重合的矩形板上点 在动点位置处画出vn、v、v的速度分析图。如图8-6 (c)所示 建立My坐标系,应用速度合成定理求解得; v,=(vcos60-v cos)i+(vcos300-ve sing)j 图8-6(b)(c) (OM)=r+(4r)"-2r (4r)cos 120 =r2+16r2+4r2=21r2 (OM)o=√2lV/4 sinsin I20° ;smnφ= COSp=
6 垂直于 o x y 面内的转动轴作定轴转动运动时（ω = V / 4r ）时，槽内小球的绝对速度矢量 v a = ？ 解： 1．动系取平动运动的矩形板； 动点取槽内运动的小球； 牵连点为与小球重合的矩形板上的点。 在动点位置处画出 a v 、 r v 、 e v 的速度分析图。 如图 8-6（b）所示。 建立 Mxy 坐标系，应用速度合成定理求解得： v = (v cos60° −V )i + v sin 60°j a v V i v j 2 3 2 1 = ( − ) + va = v +V − vV 2 2 2．动系取为定轴转动运动矩板； 动点取为槽内运动的小球； 牵连点为与小球重合的矩形板上点； 在动点位置处画出 n v 、 r v 、 e v 的速度分析图。如图 8-6 （c）所示。 建立 Mxy 坐标系，应用速度合成定理求解得； v (vcos60 v cosϕ) i (vcos30 v sinϕ) j a e − e = ° − + ° 图 8-6（b）（c） ( ) = + (4 ) − 2 (4 ) cos120° 2 2 2 oM r r r r 2 2 2 2 = r +16r + 4r = 21r v (oM ) 21 V 4 e = ω = r 21 r sin sin120° = ϕ ； 14 7 sinϕ = ； 14 189 cosϕ = 30° vr va ve ψ M 30° O1 ψ O y x vr ψ M y ve x va 30°
va=y-(√2V/4)189/4 r-(2I/414 2 √3√3 =132+22-24 例8-3:如图8-7所示。刚体以角速度o(常数)绕垂 直于oxy面过O点的转动轴作定轴转动运动。若动点 M M相对动系,Oxy’的运动方程为 x'=A(1 y=G t Asin o t 试求动点M的绝对轨迹方程。 解 绝对运动轨迹方程的表达形式取决于定系中的坐 标系的选取(绝对运动轨迹不变,但绝对运动轨迹在 坐标系中的坐标表示随坐标系的不同选择而变)。在图 8-7示ay定参考系和oxy动参考系中r和r是同 o'不重合(如图)在分析结果中取0=0就得到O0QIm0~0t u 位置矢量。为了更清楚地看出相对运动和绝对运动的 关系,将定参考系上的坐标系作一平移,使得O点和 点和o’点重合的结果。 图 8-7 r=A(1-cos @1)i+Asin@ t = ro(cos 0i+sin j) cos p i+ sin j Ii'=-sin o i+ cosoj r,=A(1-cos a t(cost i+sin@)
7 v i ( ) ⎥ j ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + − ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = − 21 / 4 7 /14 2 3 ( 21 / 4) 189 /14 2 1 a v V v V i j ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ + − ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = v − V v V 8 3 2 3 8 9 2 1 va 13V 21V 24vV 4 1 2 2 = + − 例 8-3：如图 8-7 所示。刚体以角速度 ω（常数）绕垂 直于 o x y 面过 O 点的转动轴作定轴转动运动。若动点 M 相对动系，ox′y′ 的运动方程为 x′ = A (1− cos ω t) y′ = Asin ω t 试求动点 M 的绝对轨迹方程。 解： 绝对运动轨迹方程的表达形式取决于定系中的坐 标系的选取（绝对运动轨迹不变，但绝对运动轨迹在 坐标系中的坐标表示随坐标系的不同选择而变）。在图 8-7 示 oxy 定参考系和ox′y′ 动参考系中 a r 和 r r 是同一 位置矢量。为了更清楚地看出相对运动和绝对运动的 关系，将定参考系上的坐标系作一平移，使得 O 点和 o′ 不重合（如图）。在分析结果中取 re0 = 0就得到 O 点和o′ 点重合的结果。 图 8-7 a eo r r r = r + r A(1 cos t) i Asin t j r = − ω ′ + ω (cos sin ) 0 0 r = θ i + θ j e e r ∵ ⎩ ⎨ ⎧ ′ = − + ′ = + j i j i i j sin cos cos sin ϕ ϕ ϕ ϕ ∴ r A(1 cos t) (cos t i sin t j) a = − ω ω + ω x y O ψ=ωt x' M y' x' ψ=ωt O x y' M O' rr θ ra reo
+Asin o t(sin a t i+ cosotj+ro(sin 8i+cos8j) r,= A(coS @t-Di+ Asin @ t j A(cOS Ot-1) lya=Asino t xa 例84:如图8-8(a)所示机构中,已知曲柄OA=r,曲柄绕垂直与oxy面过O点的转动 转以角速度O作定轴转动运动。试求当OA杆与水平线成q角时BC杆的速度vBC=? X X (a) (c) E 图8-8 解 机构由可视为质点的滑块A;绕过点O垂直于axy面转动轴作刚体定轴转动的曲柄OA; 沿水平方向作刚体平动运动的BC杆组成。可作为动系的刚体是曲柄OA和BC杆。以下分 别以BC杆作为动系、OA曲柄作为动系进行分析,以确定vC 1.动系取为作刚体平动运动的BC杆 动点取为滑块A(或OA曲柄上的A点) 牵连点为与滑块A重合的BC杆上的点。 在动点处画出v、ν、v的速度分析图。见图88(b)。 建立Axy坐标系,应用速度合成定理求解得 V=1+1
8 sin ( sin cos ) (sin cos ) 0 + ω − ω i + ω j + θ i + θ j e A t t t r 当 re0 = 0 时（re0 = 0） r A t i A t j a = (cos ω −1) + sinω ⎩ ⎨ ⎧ = = − y A t x A t a a ω ω sin (cos 1) 2 2 2 (xa + A) + ( ya ) = A 例 8-4：如图 8-8（a）所示机构中，已知曲柄 OA = r，曲柄绕垂直与 oxy 面过 O 点的转动 转以角速度ω 作定轴转动运动。试求当 OA 杆与水平线成ϕ 角时 BC 杆的速度vBC =？ (a) E B C A D ω x y O ψ vr y ψ x va ve (b) (c) y x ve va vr ψ 图 8-8 解： 机构由可视为质点的滑块 A；绕过点 O 垂直于 oxy 面转动轴作刚体定轴转动的曲柄 OA； 沿水平方向作刚体平动运动的 BC 杆组成。可作为动系的刚体是曲柄 OA 和 BC 杆。以下分 别以 BC 杆作为动系、OA 曲柄作为动系进行分析，以确定 vBC。 1．动系取为作刚体平动运动的 BC 杆； 动点取为滑块 A（或 OA 曲柄上的 A 点）； 牵连点为与滑块 A 重合的 BC 杆上的点。 在动点处画出 a v 、 r v 、 e v 的速度分析图。见图 8-8（b）。 建立 Axy 坐标系，应用速度合成定理求解得： ⎩ ⎨ ⎧ = + = + ay ry ey ax rx ex v v v v v v
Va cosp= vr ve =rosin p Vr=ro pp 由于BC杆作刚体平动运动,BC杆上各点处的速度与牵连点处的速度相同。最后得: VBc =va=rosin p 2.动系取为绕过点O垂直于oy面转动轴作刚体定轴转动运动的曲柄OA; 动点取为BC杆上与滑块A重合的点 牵连点为滑块A(或OA曲柄上的A点)。 在动点处画出v、v、V的速度分析图。见图8-8(c) 建立Axy坐标系,应用速度合成定理求解得: 'av =Vn +ve ve sin 0 Va =ro sin o Vr=r@cos p 由于BC杆作刚体平动运动,BC杆上各点处的速度与动点处的速度相同。最后得 v=ro sIr 在该例中,由于动系的选取不同,νBC分别对应着ve、wa。同样两种情况的v分别是相 对其对应的动系而言的,因此第一种情况v是向上;第二种情况v是向下。 例85:如图89所示。已知半圆柱凸轮半径为r,在图8-9所示q=30°位置时,向左以 速度u运动,并推动杆OA绕过O点垂直于ox面的转动轴作刚体定轴转动运动。试求该 瞬时OA杆绕转动轴转动的角速度On4=? 本例中涉及半圆柱凸轮和作定轴转动的杆。凸轮水平向左的刚体平动通过凸轮与杆在 B点的接触传递运动。且接触点(无论是凸轮上还是杆上)在不同的时刻对应着不同的点 即接触点随时间而变。为了选取相对运动为简单(直线或圆周运动)运动的动点,考虑图
9 ⎩ ⎨ ⎧ = − = − a r a e v v v v ϕ ϕ cos sin ∵ va = r ω ∴ ve = r ω sinϕ ； vr = r ω cosϕ 由于 BC 杆作刚体平动运动，BC 杆上各点处的速度与牵连点处的速度相同。最后得： vBC = va = r ω sinϕ 2．动系取为绕过点 O 垂直于 oxy 面转动轴作刚体定轴转动运动的曲柄 OA； 动点取为 BC 杆上与滑块 A 重合的点； 牵连点为滑块 A（或 OA 曲柄上的 A 点）。 在动点处画出 a v 、 r v 、 e v 的速度分析图。见图 8-8（c）。 建立 Axy 坐标系，应用速度合成定理求解得： ⎩ ⎨ ⎧ = + = + ay ry ey ax rx ex v v v v v v ⎩ ⎨ ⎧ = − − = − e r a e 0 v cos v v v sin ϕ ϕ ∵ ve = r ω ∴ va = r ω sinϕ ； vr = r ω cosϕ 由于 BC 杆作刚体平动运动，BC 杆上各点处的速度与动点处的速度相同。最后得： vBC = va = r ω sinϕ 在该例中，由于动系的选取不同，vBC分别对应着 ve、va。同样两种情况的 vr 分别是相 对其对应的动系而言的，因此第一种情况 vr 是向上；第二种情况 vr 是向下。 例 8-5：如图 8-9 所示。已知半圆柱凸轮半径为 r，在图 8-9 所示ϕ = 30°位置时，向左以 速度 u 运动，并推动杆 OA 绕过 O 点垂直于 oxy 面的转动轴作刚体定轴转动运动。试求该 瞬时 OA 杆绕转动轴转动的角速度ωoA =？ 解： 本例中涉及半圆柱凸轮和作定轴转动的杆。凸轮水平向左的刚体平动通过凸轮与杆在 B 点的接触传递运动。且接触点（无论是凸轮上还是杆上）在不同的时刻对应着不同的点。 即接触点随时间而变。为了选取相对运动为简单（直线或圆周运动）运动的动点，考虑图
8-(b)所示机构。在该机构中若将滑块(或半圆柱凸轮上的B点)作为动点,AB杆作为 动系,由于动点在半圆柱凸轮上的位置 固定,因此动点的相对运动是沿AB杆 内滑槽的直线运动。对于图8-9(a)而 若将动点取为半圆柱凸轮与杆的接 触处的B点上,由于半圆柱凸轮上B点 的位置随时间的变化而取的相对运动不0 在是直线运动。即对于动点随时间的不 同而不断变化时,其相对运动一般情况 B 下都不是简单的直线运动或圆周运动。 因此在点的合成运动分析中,动点的选 取要求其不应当随时间的不同而变化。 在本例中接触点B不满足这一要求《这m 要求并不是说随时间变化的接触点B 不能作为动点,而是因为将接触点B作 为动点,其相对运动通常都是比较复杂 e 的运动。对点的合成运动分析而言,总 (c) 是希望相对运动为直线运动或圆周运 动》。同时若取半圆柱凸轮作为动系 ,AB杆上的点,除O点不动外《O点不 图8-9 能作为动点》,其它各点的相对运动都不是直线运动或圆周运动。因此,动系只能取作定轴 转动的OA杆。动点只能取半圆柱凸轮上的点。半圆柱凸轮上C点在运动过程中则始终保 持到OA杆的距离不变。即半圆柱凸轮上的C点的相对运动是直线运动。因此动点选为半 圆柱凸轮上的C点。 动系取为绕过O点垂直于axy面转动轴作定轴转动运动的OA杆 动点取为作刚体平动运动的半圆柱凸轮上的C点 牵连点取为OA杆上与圆柱凸轮上C点重合的点; 在动点处画出v、v、V的速度分析图。见图8(c) 0=v-Cos60° =2√3
10 8-9（b）所示机构。在该机构中若将滑块（或半圆柱凸轮上的 B 点）作为动点，AB 杆作为 动系，由于动点在半圆柱凸轮上的位置 固定，因此动点的相对运动是沿 AB 杆 内滑槽的直线运动。对于图 8-9（a）而 言，若将动点取为半圆柱凸轮与杆的接 触处的 B 点上，由于半圆柱凸轮上 B 点 的位置随时间的变化而取的相对运动不 在是直线运动。即对于动点随时间的不 同而不断变化时，其相对运动一般情况 下都不是简单的直线运动或圆周运动。 因此在点的合成运动分析中，动点的选 取要求其不应当随时间的不同而变化。 在本例中接触点 B 不满足这一要求《这 一要求并不是说随时间变化的接触点 B 不能作为动点，而是因为将接触点 B 作 为动点，其相对运动通常都是比较复杂 的运动。对点的合成运动分析而言，总 是希望相对运动为直线运动或圆周运 动》。同时若取半圆柱凸轮作为动系 ，AB 杆上的点，除 O 点不动外《O 点不 图 8-9 能作为动点》，其它各点的相对运动都不是直线运动或圆周运动。因此，动系只能取作定轴 转动的 OA 杆。动点只能取半圆柱凸轮上的点。半圆柱凸轮上 C 点在运动过程中则始终保 持到 OA 杆的距离不变。即半圆柱凸轮上的 C 点的相对运动是直线运动。因此动点选为半 圆柱凸轮上的 C 点。 动系取为绕过 O 点垂直于 oxy 面转动轴作定轴转动运动的 OA 杆； 动点取为作刚体平动运动的半圆柱凸轮上的 C 点； 牵连点取为 OA 杆上与圆柱凸轮上 C 点重合的点； 在动点处画出 a v 、 r v 、 e v 的速度分析图。见图 8-9（c）； ⎩ ⎨ ⎧ = + = + ay ry ey ax rx ex v v v v v v ⎩ ⎨ ⎧ = − ° − = − ° 0 cos 60 cos30 e r r v v u v e A u v rw0 = 3 = 2 3 r u w A 6 3 0 = 30° y x (c) (b) C A B O u x B y (a) A O C ve va vr
