第四章平面任意力系 作用在物体或刚体上的力系(这里的力系包含力偶)中,若所有作用力的作用 线都在同一平面内,则该力系称为平面任意力系。 §4-1力矩 在力偶的度量中定义了力偶(F、F)的力偶矩矢 MErxF+r'xF 显然在定义式中出现了两个矢量的叉积。力偶矩中的叉积 度量了力偶的大小和方向。其实质是对刚体转动效应的度 量。对于刚体的转动效应的观察发现,不仅是只有力偶产 图4-1 生刚体的转动效应。如图4-1所示杆,在A点施加(主动)力F撬起B点的重物。 当AB杆上的F、R、P构成一个力 F 封闭三角形时,由三力平衡汇立定 理可知AB杆处于平衡状态但若F、 R、P不构成力封闭三角形时,AB 杆将会绕过O点垂直于纸平面的轴 产生转动。即作用在刚体上的三个 力(这三个力不能与力偶等效)使 AB杆处于转动状态。因此刚体的转 动效应不仅是只由力偶产生,作用在 图42 刚体上的力同样可以使得刚体转动。为了度量力对刚体的转动效应。这一节引入力
1 第四章 平面任意力系 作用在物体或刚体上的力系（这里的力系包含力偶）中，若所有作用力的作用 线都在同一平面内，则该力系称为平面任意力系。 §4-1 力矩 在力偶的度量中定义了力偶（ F 、 F′）的力偶矩矢 量 M = r × F + r′× F′ 显然在定义式中出现了两个矢量的叉积。力偶矩中的叉积 度量了力偶的大小和方向。其实质是对刚体转动效应的度 量。对于刚体的转动效应的观察发现，不仅是只有力偶产 图 4-1 生刚体的转动效应。如图 4-1 所示杆，在 A 点施加（主动）力 F 撬起 B 点的重物。 当 AB 杆上的 F、R、P 构成一个力 封闭三角形时，由三力平衡汇立定 理可知 AB 杆处于平衡状态。但若 F、 R、P 不构成力封闭三角形时，AB 杆将会绕过 O 点垂直于纸平面的轴 产生转动。即作用在刚体上的三个 力（这三个力不能与力偶等效）使 AB 杆处于转动状态。因此刚体的转 动效应不仅是只由力偶产生，作用在 图 4-2 刚体上的力同样可以使得刚体转动。为了度量力对刚体的转动效应。这一节引入力 ° F R P C A B Fy Fz Fx r F y z x M0 0 z y x
对点的矩的概念 如图42在坐标系{0,ik中的位置矢量 r=xi+yj+=k 所确定的刚体上一点处作用一集中力 F=Fi+Fi+Fk 定义r处的力F对O点的力矩矢量 M。=r×F (4-1) 式中r称为矢径;o点称为矩心 力对点的矩的性质: 1)力矩是矢量 2)力矩M的方向与r矢量线及F作用线所构成的平面正交。且由r、F的右 手规则确定其指向 3)当作用在刚体上的力沿其作用线滑 移时,力对同一点的力矩不变。如图4-3所 示,作用在刚体上A点的力F对O点的力矩 为 M。=r×F 当将F在刚体上沿作用线滑移至B点时, 图43 F对o点的力矩为 M。=F×F ro=r+ AB
2 对点的矩的概念。 如图 4-2 在坐标系{0; i, j, k}中的位置矢量 r = xi + yj + zk 所确定的刚体上一点处作用一集中力 F = Fx i + Fy j + Fzk 定义r 处的力 F 对 o 点的力矩矢量 M0 = r × F （4-1） 式中 r 称为矢径；o 点称为矩心。 力对点的矩的性质： 1）力矩是矢量 2）力矩 M0的方向与 r 矢量线及 F 作用线所构成的平面正交。且由 r、F 的右 手规则确定其指向。 3）当作用在刚体上的力沿其作用线滑 移时，力对同一点的力矩不变。如图 4-3 所 示，作用在刚体上 A 点的力 F 对 o 点的力矩 为 M0 = r × F 当将 F 在刚体上沿作用线滑移至 B 点时， 图 4-3 F 对 o 点的力矩为 M0 = r × F ∵ r0 = r + AB B F F r A x y z 0 r
M。=(r+AB)×F F+ ABx r×F+(F/F)×F rxF=M 4)非零F对F作用线上任意一点的力矩为0矢量。 M0=r×F=F×FF/r=0 对给定的坐标系{o,ik},(41)式还可表示为 j k Fr Fy F =(F: -,)i+(=F -xF2)+(xFy -)k (4-1) 力对轴的矩: y 如图4-4所示,L为一直线,l为直线L的 单位长度沿L直线的矢量。则定义F对L直线 的力矩为 l=M或M1=(r×F)l( 当给定{0,i,k}坐标系时 M1=(r×F)l (=l i+lj+lk;1Fl=1 图
3 ∴ M0 = (r + AB)× F = r × F + AB × F = r × F + (F / F)× F F M0 = r × = 4）非零 F 对 F 作用线上任意一点的力矩为 0 矢量。 ∵ r = (F / F)r ∴ M0 = r × F = F × F F /r = 0 对给定的坐标系{o; i, j, k}，（4-1）式还可表示为 Fx Fy Fz x y z 0 i j k M = r × F = = ( yFz − zFy )i + (zFx − xF2 ) j + (xFy − yFx )k （4 −1′ ） 力对轴的矩： 如图 4-4 所示，L 为一直线，l 为直线 L 的 单位长度沿 L 直线的矢量。则定义 F 对 L 直线 的力矩为 = Ml M ⋅ l 0 或 M = (r × F)⋅ l l （4-2） 当给定{0; i, j, k}坐标系时 = (r × F)⋅ l Ml (l = l x i + l y j + lzk ; | l |= l = 1 图 4-4 L 0 z y x
1, I 当l=i时 M=M=yF-=F, 当l=j时 (4-3) F M、M,、M分别称为力F对过o点的x轴、y轴、z轴的力矩。 例4-1:如图45所示。试求F1、F2对O点的矩及F1、F2对三个坐标轴的矩。 F=F F2 aFi+-aFk 2 a+ Mo(F=xF=a(i+k)xFj 图4-5 M。(F2)=2XF2=a(i+j×F2(i+k) (i-j-k)
4 x y z x x z F F F x y z i l l = r × F = ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ = = − = = = − = = = − = l z y x l y x z l x z y M M xF yF M M zF xF M M yF zF ： ： ： 当 时 当 时 当 时 l k l j l i （4-3） M x 、 M y 、 M z 分别称为力 F 对过 o 点的 x 轴、y 轴、z 轴的力矩。 例 4-1：如图 4-5 所示。试求 F1、F2 对 o 点的矩及 F1、F2 对三个坐标轴的矩。 解： F j 1 = F1 r = ai + ak 1 F2 a 2 i a 2 k 2 2 2 2 = − F + F r = ai + aj 2 M F r F i k j 0 1 1 1 1 ( ) = × = a( + )× F 图 4-5 ( ) 1 = aF × −i + k ( ) 2 2 ( ) ( ) M0 F2 = r2 × F2 = a i + j × F2 i + k ( ) 2 2 = aF2 i − j − k r2 F2 a a a F1 r1 x y z 0
M0(F)=aF1;M0(F2) F2 Mo(f=-aF: Mo(F=0: M(FD=aF M(F)=aF2: Mo(F2 2a:M0(F)=- §4-2力线平移定理 平面任意力系上作用的力系即不是汇交力系,也不是平面力偶系。因此对平面 任意力系的合成与平衡分析必须建立一个新的等效模型。平面任意力系所对应的等 效模型基于一个基本定理—力线平移定理 力线平移定理 作用在刚体上任意确定的A点处的力F对钢体的力学效应与作用在刚体上异于 A点的B点处的力F和作用在A点处的F对B的力矩r8×F的共同作用的力学效 应等效。 证明 如图4-6所示,在刚体上的任意选定的B点 处,由加减平衡力系公理加上一对平衡力F、F。 由于F、F是一对平衡的力,因此 当所加的一对平衡力F1、F满足条件 图46 F1=F;-F1
5 0 1 1 M (F ) = aF ； 0 2 2 2 2 M (F ) = aF 1 1 M ox (F ) = −aF ； M oy (F1 ) = 0； 1 1 M oz (F ) = aF 2 2 2 2 M ox (F ) = aF ； 2 2 2 2 M oy (F ) = − aF ； 0 2 2 2 2 M z (F ) = − aF §4-2 力线平移定理 平面任意力系上作用的力系即不是汇交力系，也不是平面力偶系。因此对平面 任意力系的合成与平衡分析必须建立一个新的等效模型。平面任意力系所对应的等 效模型基于一个基本定理——力线平移定理。 力线平移定理: 作用在刚体上任意确定的 A 点处的力 F 对钢体的力学效应与作用在刚体上异于 A 点的 B 点处的力 F 和作用在 A 点处的 F 对 B 的力矩rB × F 的共同作用的力学效 应等效。 证明： 如图 4-6 所示，在刚体上的任意选定的 B 点 处，由加减平衡力系公理加上一对平衡力 F1、F1 ′。 由于 F1、 F1 ′是一对平衡的力，因此 F1 F1 = − ′ 当所加的一对平衡力 F1、 F1 ′满足条件 图 4-6 F1 = F ；− F1 ′ = F F F'1 F1 A B rB
显然F,F'构成力偶(F,F1)。通过B点应用加减平衡力系定理,在B点加上 对平衡的力F1=F,一F1=F,刚体的力学效应并为改变。且刚体上在A点作用F 和B点上作用F,F又可以等效为刚体上作用力偶(F,F1)和在B点作用F=F。 根据力偶矩的定义,力偶(F,F1)对刚体的力学效应可由力偶矩 MB(F)=rBXF 度量。因此刚体在A点作用力F对刚体的力学效应与作用在异于A点的B点处的力 F和作用在A点处的F对B点的力矩r×F的共同作用的力学效应等效 力线平移定理提供了力在刚体上作平行移动时的力学效应等效的基本模型。该 模型是一般力系分析(包括合成和平衡)基础 例42:如图47所示。试求梁 (梁视为刚体)B、C处作用的 FBF,F=F力,其作用线分别 平行移动至A点时的等效情况 FB平行移至A点 Fu=Fa= F rB×FB=2Fk或2Fa(,) (p) F平行移至A点 图47 F=F=F
6 显然 F，F1 ′构成力偶（F，F1 ′）。通过 B 点应用加减平衡力系定理，在 B 点加上一 对平衡的力 F1=F，− F1 ′ = F ，刚体的力学效应并为改变。且刚体上在 A 点作用 F 和 B 点上作用 F，F1 ′又可以等效为刚体上作用力偶（F，F1 ′）和在 B 点作用 F1=F。 根据力偶矩的定义，力偶（F， F1 ′）对刚体的力学效应可由力偶矩 MB (F) = rB × F 度量。因此刚体在 A 点作用力 F 对刚体的力学效应与作用在异于 A 点的 B 点处的力 F 和作用在 A 点处的 F 对 B 点的力矩rB × F 的共同作用的力学效应等效。 力线平移定理提供了力在刚体上作平行移动时的力学效应等效的基本模型。该 模型是一般力系分析（包括合成和平衡）基础。 例 4-2：如图 4-7 所示。试求梁 （梁视为刚体）B、C 处作用的 FB=F，Fc=F 力，其作用线分别 平行移动至 A 点时的等效情况。 解： FB平行移至 A 点： FA1 = FB = F rB × FB = 2Fa k 或 2Fa（↵） Fc平行移至 A 点： 图 4-7 FA2 = Fc = F x
r×F=2Fk或2F() FB、F同时平行移至A点: FA=FA×Fn2=2F raxFB+rxF=2Fk-2Fak=0 结果如图4-7(b)所示 §4-3平面任意力系向一点的简化 对作用在刚体上的一般平面任意力系F1,…,Fn;M,…,Mm利用力的力线 平移线定理和平面力偶系的合成定理,将其等效成作用刚体上指定点O处的F1,…, Fn;×F1, r xF,M1,…,M的过程称为一般平面任意力系(向o点)的简 化。而指定点O称为简化中心。 定理:作用在刚体上的一般平面任意力系F1,…,Fn;M1,…,Mmn向简化中 心的简化,其结果是得到了与作用在原刚上的一般平面任意力系力学效应等效的作 用在简化中心的 F=F1+…+Fn (4-4) M=r1×F1+…+r×Fn+M1+…+Mm (4-5) 式中F、M分别称为作用在刚体上F1,…,Fn;M1,…,Mn向简化中心简化的主 矢量和主矩矢量。或称为主矢和主矩。 明 如图48所示。作用一般平面任意力系F1,…,Fn;M Mn的刚体。首 先利用加力线平移定理分别将F,…Fn作用线平移到o点,同时附加F×F1
7 rc × Fc = 2Fa k 或 2Fa（↑ ） FB 、 Fc 同时平行移至 A 点： FA = FA1 × FA2 = 2F rB × FB + rc × Fc = 2Fa k − 2Fak = 0 结果如图 4-7（b）所示。 §4-3 平面任意力系向一点的简化 对作用在刚体上的一般平面任意力系 F1，…，Fn；M1，…，Mm 利用力的力线 平移线定理和平面力偶系的合成定理，将其等效成作用刚体上指定点 o 处的 F1，…， Fn； 1 F1 r × ， n Fn r × ，M1，…，Mn 的过程称为一般平面任意力系（向 o 点）的简 化。而指定点 o 称为简化中心。 定理：作用在刚体上的一般平面任意力系 F1，…，Fn；M1，…，Mm 向简化中 心的简化，其结果是得到了与作用在原刚上的一般平面任意力系力学效应等效的作 用在简化中心的 F = F1 +"+ Fn （4-4） n Fn M Mm M = r1 × F1 +"+ r × + 1 +"+ （4-5） 式中 F、M 分别称为作用在刚体上 F1，…，Fn；M1，…，Mm向简化中心简化的主 矢量和主矩矢量。或称为主矢和主矩。 证明： 如图 4-8 所示。作用一般平面任意力系 F1，…，Fn；M1，…，Mn 的刚体。首 先利用加力线平移定理分别将 F1，…Fn 作用线平移到 o 点，同时附加 1 F1 r × ，…
rnXF。此时刚体上作用的F1,…,Fn;M1,…,Mm被力学效应等效的汇交于简 化中心O点的F1,…Fn和平面力偶系M1, m;r×F1,…,rnxF等效代 替。对汇交于简化中心O点的F1,…,Fn求其 矢量和得到主矢 F=F1+…+F 对平面力偶系M1,…,Mm;F×F1…,FnxF rnx 利用平面力偶系的合成定理得其主矩 M=M1+…+Mm+×F1+…+rn×Fn 定理得证。 由定理的证明过程可以清楚地看到,主矢 图48 与简化中心点到底是哪一点无关。即无论简化中心取在刚体上的哪一点,(44)式 的矢量和所确定的主矢F都是同一矢量。但应当注意的是对作用在刚体上一般平面 任意力系,提及主矢时必须说明是向哪一点简化的主矢。即说到主矢,必须明确是 对哪一个简化中心而言的主矢。因为尽管作用在刚体上一般平面任意力系,向任一 点的简化的主矢不变,但向不同点简化其主矩却不同。作用在刚体上一般平面任意 力系的力学效应等效是对主矢和主矩而言的,而不仅是只对主矢而言的。 另一方面,对于刚体上作用一般平面任意力系向简化中心的简化所得的主矩是 平面力偶系的力偶矩矢量和。而平面力偶系中任意力偶的力偶矩矢量都是与力偶所 在平面正交的。若将力偶所在平面取为纸平面,且在纸平面内取oxy坐标系。x坐标 轴正向指向右为正:y坐标轴正向指向上为正。则按右手法则,z坐标轴垂直纸平面 向外为正。这样的坐标系中,平面力偶系中每一力偶的力偶矩矢量可表示为逆时针 转向为正;顺时针转向为负。在这样的坐标系中,(4-5)式的主矩可用代数和表示
8 n Fn r × 。此时刚体上作用的 F1，…，Fn；M1，…，Mm被力学效应等效的汇交于简 化中心 o 点的 F1，…Fn 和平面力偶系 M1，…，Mm； 1 F1 r × ，…， n Fn r × 等效代 替。对汇交于简化中心 o 点的 F1，…，Fn求其 矢量和得到主矢 F = F1 +"+ Fn 对平面力偶系 M1，…，Mm； 1 F1 r × …， n Fn r × 利用平面力偶系的合成定理得其主矩 m n Fn M = M1 +"+ M + r1 × F1 +"+ r × 定理得证。 由定理的证明过程可以清楚地看到，主矢 图 4-8 与简化中心点到底是哪一点无关。即无论简化中心取在刚体上的哪一点，（4-4）式 的矢量和所确定的主矢 F 都是同一矢量。但应当注意的是对作用在刚体上一般平面 任意力系，提及主矢时必须说明是向哪一点简化的主矢。即说到主矢，必须明确是 对哪一个简化中心而言的主矢。因为尽管作用在刚体上一般平面任意力系，向任一 点的简化的主矢不变，但向不同点简化其主矩却不同。作用在刚体上一般平面任意 力系的力学效应等效是对主矢和主矩而言的，而不仅是只对主矢而言的。 另一方面，对于刚体上作用一般平面任意力系向简化中心的简化所得的主矩是 平面力偶系的力偶矩矢量和。而平面力偶系中任意力偶的力偶矩矢量都是与力偶所 在平面正交的。若将力偶所在平面取为纸平面，且在纸平面内取 oxy 坐标系。x 坐标 轴正向指向右为正；y 坐标轴正向指向上为正。则按右手法则，z 坐标轴垂直纸平面 向外为正。这样的坐标系中，平面力偶系中每一力偶的力偶矩矢量可表示为逆时针 转向为正；顺时针转向为负。在这样的坐标系中，（4-5）式的主矩可用代数和表示 2 1 r F r F r2 F2 r r1 r2 F F F2 F2 F1 F1
为 M=M,+…M+M1+…M (4-6) 式中M1,…,Mm为M1,Mn的代数值;M1,…,Mm为rXF1,…, r xF 的代数值。 对作用在刚体上的一般平面任意力系,若按主矩矢量的代数和表示中取定的 gz坐标系(或{0,ijk,}坐标系)。则(4-4)式的主矢量也可在oxyz坐标系中表 示为 F Fy=Fiy F=F Fn)2+( os(F, 1) cos(F, F 例4-3:如图49所示刚 体。刚体上作用面力系 √F|F F F,F1,F2,F3。且 √2F X F=F1=F2=F3。试 F(a+h) 求该力系向O点;A点 Fr B点简化的主矢和主矩。 1.向o点简化 F=-Fj: F=-Fi: F2=-Fi: F3=-FJ F=F
9 为 M = M1 +"M m + M F1 +"M F 2 （4-6） 式中 M1，…，Mm为 M1 ，Mm 的代数值；M F1，…，M Fn 为 1 F1 r × ，…， n Fn r × 的代数值。 对作用在刚体上的一般平面任意力系，若按主矩矢量的代数和表示中取定的 oxyz 坐标系（或{0; i, j, k, }坐标系）。则（4-4）式的主矢量也可在 oxyz 坐标系中表 示为： ⎪ ⎪ ⎪ ⎭ ⎪ ⎪ ⎪ ⎬ ⎫ = = = + + + + + = + + = + + F F F F F F F F F F F F F F F x y x nx y ny y y ny x x nx cos( , ) ; cos( , ) ( ) ( ) 2 1 2 1 1 1 F i F j " " " " （4-7） 例 4-3：如图 4-9 所示刚 体。刚体上作用面力系 F ，F1，F2，F3。且 F = F1 = F2 = F3 。试 求该力系向 o 点；A 点； B 点简化的主矢和主矩。 解： 1．向 o 点简化： 图 4-9 F = −F j ； F = −F j 1 ； F = −F j 2 ； F = −F j 3 Fx = F F F F F F F a a Fa (a+h) Fh 0 2 2 2 45 45 A 45 h 1 F2 F3 x y
F F=√2F s,D=2F=2(,D=4 M0=-Fa+F1×0+2F2a+F3h F(a+h) 2.向A点简化 F=√2F:(F,)=45° M=-Fatfa+fh 3.向B点简化: F=√2F;(F,i)=45° M =-Fa-2F a 固定端的约束: 对两个方向尺寸远小于另一方向尺寸的细长刚体(也可以是变形体),若对细长 刚体的一个端面上每一点在x方向和y方向 的位移约束相对(地球)惯性参考系为零。 则这种对细长刚体端面约束称为固定端约 束。 固定端约束的表示如图4-10所示。其 约束的几何条件为 图410
10 Fy = F F = 2 F 2 2 2 cos( , ) = = F F F i ；(F,i) = 45° ( ) 0 2 0 1 2 3 F a h M Fa F F a F h = + = − + × + + 2．向 A 点简化： F = 2F ；(F,i) = 45° Fh M A Fa F a F h = = − + 2 + 3 3．向 B 点简化： F = 2F ；(F,i) = 45° Fa M B Fa F a = − = − − 2 1 固定端的约束： 对两个方向尺寸远小于另一方向尺寸的细长刚体（也可以是变形体），若对细长 刚体的一个端面上每一点在 x 方向和 y 方向 的位移约束相对（地球）惯性参考系为零。 则这种对细长刚体端面约束称为固定端约 束。 固定端约束的表示如图 4-10 所示。其 约束的几何条件为： 图 4-10 θ θ A B B A