第七章刚体的基本运动 由刚体的定义,刚体作为一个在三维空间中占具确定的位置,具有确定不变的形状 和大小的连续分布质点系,其在三维空间具有六个自由度。或者说刚度上任意一物质点 的三维空间的运动(包括运动方程,点的速度矢量,点的加速度矢量)都能够用确定点 的空间位置的六个参数和时间参数完全描述。对刚体,利用第六章质点运动的结果,对 刚体上的一点的运动确定其相关运动规律(运动方程,速度矢量方程,加速度矢量方程)。 根据刚体在刚体的运动过程中,其内的任意两点间的距离保持不变的性质,确定刚体上 一点相对已知运动点的相对运动规律,是刚体运动规律分析的基本方法。本章在第六章 质点运动规律分析结果基础上,给出刚体两种基本运动规律的分析,即刚体平动运动规 律分析和刚体定轴转动运动规律分析。 §7-1刚体的平动运动 设刚体上某确定点,M的运动方程为: Pu=r 刚体上任意异于M点的N点运动方程为 IN() 若刚体在其全部的运动过程中都有: IN(O=ry(t)+M (7-1) 且MN为保持大小、方向不变的常自由矢量 则刚体所处的运动状态为刚体平动运动状态。 或称刚体的平动状态为刚体的平动。 当刚体处于刚体平动运动状态时,刚体的A 平动运动有如下性质: 1.有刚体平动过程中,刚体上任意两点 B2 的连线和其初始时刻这两点的连线 平行。 如图7-1所示。1时刻刚体上的M、N两 (t 点占具三维空间的A、B1两点。其位置矢量 分别为rA(1)、rB(1);t2时刻刚体上的M、N两点占具三维空间的A2、B2两点。其位 置矢 图7-1 量分别为rA(12)、rB(t2)。对刚体的平动有
1 第七章 刚体的基本运动 由刚体的定义，刚体作为一个在三维空间中占具确定的位置，具有确定不变的形状 和大小的连续分布质点系，其在三维空间具有六个自由度。或者说刚度上任意一物质点 的三维空间的运动（包括运动方程，点的速度矢量，点的加速度矢量）都能够用确定点 的空间位置的六个参数和时间参数完全描述。对刚体，利用第六章质点运动的结果，对 刚体上的一点的运动确定其相关运动规律（运动方程，速度矢量方程，加速度矢量方程）。 根据刚体在刚体的运动过程中，其内的任意两点间的距离保持不变的性质，确定刚体上 一点相对已知运动点的相对运动规律，是刚体运动规律分析的基本方法。本章在第六章 质点运动规律分析结果基础上，给出刚体两种基本运动规律的分析，即刚体平动运动规 律分析和刚体定轴转动运动规律分析。 §7-1 刚体的平动运动 设刚体上某确定点，M 的运动方程为： rM = rM (t) 刚体上任意异于 M 点的 N 点运动方程为： (t) N N r = r 若刚体在其全部的运动过程中都有： rN (t) = rM (t) + MN （7-1） 且 MN 为保持大小、方向不变的常自由矢量。 则刚体所处的运动状态为刚体平动运动状态。 或称刚体的平动状态为刚体的平动。 当刚体处于刚体平动运动状态时，刚体的 平动运动有如下性质： 1． 有刚体平动过程中，刚体上任意两点 的连线和其初始时刻这两点的连线 平行。 如图 7-1 所示。 1t 时刻刚体上的 M、N 两 点占具三维空间的 A1、B1 两点。其位置矢量 分别为 ( ) 1t Ar 、 ( ) 1t Br ； 2t 时刻刚体上的 M、N 两点占具三维空间的 A2、B2 两点。其位 置矢 图 7-1 量分别为 ( ) 2t Ar 、 ( ) 2t Br 。对刚体的平动有： rA(t2) rB(t2) rB(t1) rA(t1) A2 B2 B1 A1
(t1)=rA(t1)+A1B1 (12)=rA(l2)+A2B2 由(7-1)式可知 A,B1=A2 B 即AB1∥A2B2°1取为初始时刻即得结论。 2.在刚体平动运动的任意两个时刻1、t2,刚体上任意两点M、N运动轨迹曲线 上的连线平行 如图7-1所示: A1A2=rA2)-r1G1) B, B,=rB 2)-rB,) 由(a)式得: rB(t2)-rB(1)=rA(12)-rA(1)=A142 B1B2=A1A2 即A1A2∥B1B2 3.刚体平动时,刚体上各点的速度矢量v相同。 对M、N两点。当刚体作刚体平动运动时,M、N两点的运动方程为 ()=rM(t)+M 由M、N的任意性可得结论 4.刚体平动时,刚体上各点加速度矢量相同 对M、N两点。当刚体作刚体平动运动时,M、N两点的速度方程为 )=vn()
2 ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = + = + 2 2 2 2 1 1 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) t t A B t t A B B A B A r r r r （a） 由（7-1）式可知 A1B1＝A2B2 即 A1B1∥ A2B2。 1t 取为初始时刻即得结论。 2．在刚体平动运动的任意两个时刻 1t 、 2t ，刚体上任意两点 M、N 运动轨迹曲线 上的连线平行。 如图 7-1 所示： ( ) ( ) 1 2 2 1 A A t t A A = r − r ( ) ( ) 1 2 2 1 B B t t B B = r − r 由（a）式得： 2 1 2 1 1 2 rB (t ) − rB (t ) = rA (t ) − rA (t ) = A A B1B2 = A1A2 即 A1A2 ∥ B1B2 。 3．刚体平动时，刚体上各点的速度矢量v 相同。 对 M、N 两点。当刚体作刚体平动运动时，M、N 两点的运动方程为： rM = rM (t) rN = rN (t) = rM (t) + MN M M v = r ( MN ) dt d N N M M v = r = r + = r 由 M、N 的任意性可得结论。 4．刚体平动时，刚体上各点加速度矢量相同。 对 M、N 两点。当刚体作刚体平动运动时，M、N 两点的速度方程为： (t) M M v = v v N = vN (t)= v M (t)
由M、N的任意性可得结论。 §7-2刚体的定轴转动运动 若刚体存在两点A、B,在刚体的运动过程中A、B两点相对惯性参考系静止。则刚 体的运动称为刚体的定轴转动运动。或称为刚体的定轴转动。刚体的定轴转动运动定义 中的A、B两点要求在刚体上。这里的刚体指的是将真实刚体(实际存的具有一定大小 和形状的刚体)抽象成为充满整个几何空间的抽象体。或者说真实刚体可在几何空间的 三个方向任意延拓。因此A、B点可以不在真实刚体 刚体定轴转动运动的运动方程、转动轴 (转轴):刚体在运动过程中保持相对惯性坐 标系静止的刚体上A、B两点所确定的直线 称为刚体定轴转动运动的转动轴。或称为刚 体定轴转动时的转轴。 若L轴是定轴转动运动状态的转动转,则L轴上 任意一点相对惯性参考系静止。即转动轴上任意一点 在刚体定轴转动运动的任意时刻相对惯性参考系静 止。对作定轴转动运动的刚体,设A、B两点相对惯 性参考系静止,C是由A、B两点确定的转动轴L上 任意一点。如图7-2所示。由刚体定轴转动运动定义 rA=rAt=a (a是常矢量) rB=rB()=b (b是常矢量) rc=r-Ca=a+ac r=rr-CB=b-CB 2rc=r+rB+ AC-CB a+b+AC-(AB-AC) a+b-AB-2AC
3 M M a = v N N M a = v = v 由 M、N 的任意性可得结论。 §7-2 刚体的定轴转动运动 若刚体存在两点 A、B，在刚体的运动过程中 A、B 两点相对惯性参考系静止。则刚 体的运动称为刚体的定轴转动运动。或称为刚体的定轴转动。刚体的定轴转动运动定义 中的 A、B 两点要求在刚体上。这里的刚体指的是将真实刚体（实际存的具有一定大小 和形状的刚体）抽象成为充满整个几何空间的抽象体。或者说真实刚体可在几何空间的 三个方向任意延拓。因此 A、B 点可以不在真实刚体 上。 一、 刚体定轴转动运动的运动方程、转动轴 （转轴）：刚体在运动过程中保持相对惯性坐 标系静止的刚体上 A、B 两点所确定的直线 称为刚体定轴转动运动的转动轴。或称为刚 体定轴转动时的转轴。 若 L 轴是定轴转动运动状态的转动转，则 L 轴上 任意一点相对惯性参考系静止。即转动轴上任意一点 在刚体定轴转动运动的任意时刻相对惯性参考系静 止。对作定轴转动运动的刚体，设 A、B 两点相对惯 性参考系静止，C 是由 A、B 两点确定的转动轴 L 上 任意一点。如图 7-2 所示。由刚体定轴转动运动定义 有： rA = rA (t) = a （a 是常矢量） 图 7-2 rB = rB (t) = b （b 是常矢量） rC = rA −CA = a + AC rC = rB −CB = b −CB AB AC AC AB AC C A B AC CB 2 ( ) 2 = + − − = + + − − = + + − a b a b r r r rA rC rB B C A
A、B点相对惯性参考系静止,a、b、AB为常矢量。对任意给定的C点,只要C点在A、 B两点连线上,AC与AB共线同向。对刚体4C保持不变。因此 (a为正实数) r。=(a+b-AB-2aAB)=c(c是常矢量) 即C点相对惯性参考系静止。由C点在A、B两点确定的直线上的任意性可得刚体定轴 转动运动时转动轴L相对惯性参考系静止。 为了描述刚体定轴转动运动,在惯性参考系中取一过转动轴L的平面Po(L轴为Po 面内的直线)。在初始的1时刻(或参考的t时刻)P面与刚体的交面取为P面《P0是 惯性参考图系中的面。P0面相对惯性参考系静止。即在刚体的定轴转动的运动描述中, 刚体的定轴转动相对P面。或者说在刚体定轴转动运动的描述中P0面就是惯性参考系 P面是初始的t时刻(或参考的1时刻)刚体与P0面的交面。P面是刚体上在0时刻与 P0面重合的所有刚体上物质点的集合。且在刚体的全部运动过程中,这个物质点的集合 不变。但这个物质点的集合在刚体定轴转动运动过程中,除转动轴上的点外的所有点在 空间所占具的位置发生变化。因此P面也称为固连于刚体上的动面。》显然,对刚体定 轴转动运动,P0面就是惯性参考系。刚体定轴转动运动《相对惯性参考系的运动》是相 对P0面的运动。在t时刻刚体在三维空间中的位置完全由P面相对P面的位置确定。 如图7-3所示绕O-O轴作刚体定 轴转动运动的刚体。在1时刻刚体上 oa0面与惯性参考系Po面重合《P0与 oa0面,一个是惯性参考体上的面(Po 面),一个是刚体上的面(oao)。》;在 n1时刻刚体上的obo面是作刚体定轴转 运动中,经过时间间隔n1-1后,oo 所在的空间位置《ob0和oao是刚体上 的同一个面,所不的是oao是1时刻在 空间所占具的位置,obo是t1时刻在空间 所占具的位置》。对作定轴转动运动的刚 体,obo面相对oao面的相对位置完全确 定了刚体上每一点的空间位置。即刚体上 lo时刻占具r(0)位置的点在t时刻的空间 位置由位置矢量r(1)完全确定。且由刚 图7-3 体的性质,在刚体作定轴运动过程中两时刻和t对应的r(t0),r(D)标定的空间点到 转动轴的距离保持不变;r(t0)、r(1)所标定空间点到r(o)、r(n)的同一起始点的距 离保持不变。因此刚体上每一点的运动均为圆周运动。对作定轴转动运动刚体上的任意 动点M,若采用弧坐标表示其运动方程:
4 A、B 点相对惯性参考系静止，a、b、AB 为常矢量。对任意给定的 C 点，只要 C 点在 A、 B 两点连线上， AC 与 AB 共线同向。对刚体 AC 保持不变。因此 AC = α AB （α 为正实数） = ( + − − 2 ) = 2 1 rc a b AB α AB c （c 是常矢量） 即 C 点相对惯性参考系静止。由 C 点在 A、B 两点确定的直线上的任意性可得刚体定轴 转动运动时转动轴 L 相对惯性参考系静止。 为了描述刚体定轴转动运动，在惯性参考系中取一过转动轴 L 的平面 P0（L 轴为 P0 面内的直线）。在初始的 t0 时刻（或参考的 t0 时刻）P0 面与刚体的交面取为 P 面《P0是 惯性参考图系中的面。P0 面相对惯性参考系静止。即在刚体的定轴转动的运动描述中， 刚体的定轴转动相对 P0面。或者说在刚体定轴转动运动的描述中 P0 面就是惯性参考系； P 面是初始的 t0 时刻（或参考的 t0时刻）刚体与 P0 面的交面。P 面是刚体上在 t0 时刻与 P0 面重合的所有刚体上物质点的集合。且在刚体的全部运动过程中，这个物质点的集合 不变。但这个物质点的集合在刚体定轴转动运动过程中，除转动轴上的点外的所有点在 空间所占具的位置发生变化。因此 P 面也称为固连于刚体上的动面。》显然，对刚体定 轴转动运动，P0 面就是惯性参考系。刚体定轴转动运动《相对惯性参考系的运动》是相 对 P0 面的运动。在 t 时刻刚体在三维空间中的位置完全由 P 面相对 P0 面的位置确定。 如图 7-3 所示绕 O-O 轴作刚体定 轴转动运动的刚体。在 t0 时刻刚体上 oao 面与惯性参考系 P0 面重合《P0 与 oao 面，一个是惯性参考体上的面（P0 面），一个是刚体上的面（oao）。》；在 t1 时刻刚体上的 obo 面是作刚体定轴转 动运动中，经过时间间隔 t1－t0 后，oao 所在的空间位置《obo 和 oao 是刚体上 的同一个面，所不的是 oao 是 t0 时刻在 空间所占具的位置，obo 是 t1 时刻在空间 所占具的位置》。对作定轴转动运动的刚 体，obo 面相对 oao 面的相对位置完全确 定了刚体上每一点的空间位置。即刚体上 t0 时刻占具 ( ) 0 r t 位置的点在 t 时刻的空间 位置由位置矢量 r（t）完全确定。且由刚 图 7-3 体的性质，在刚体作定轴运动过程中两时刻 t0和 t 对应的 ( ) 0 r t ，r（t）标定的空间点到 转动轴的距离保持不变； ( ) 0 r t 、r（t）所标定空间点到 ( ) 0 r t 、r（t）的同一起始点的距 离保持不变。因此刚体上每一点的运动均为圆周运动。对作定轴转动运动刚体上的任意 动点 M，若采用弧坐标表示其运动方程： r1 r2 r2 r1 r b' c a b
S=S() 该弧坐标表示的运动方程的弧长参考点取为l时刻M点与PO面重合的空间点。当取P1 面与P面之间的夹角为φ时,并按刚体转动轴转向的右手法则规定有大小和方向的量q 《不是矢量。规定中只说明φ是具有大小和方向的量。一个数学量要成为矢量的条件为: 1、有大小;2、有方向;3、满足平行四边形加法法则。如空间点的位置变化(见图7-3), 空间点a发生位移矢量r至b点,在发生位移矢量r2至c点:空间点a发生位移矢量r2 至b点,在发生位移矢量n至c点。显然作为位移矢量的n1、P2是具有大小和方向的量, 且满足矢量加法的平行四边形法则关于加法的交换律: 图7-3 r1+P2=r2+r1 但确实存在具有大小和方向的量不满足矢量加法的平行四边形则关于加法的交换律。如 对刚体定轴转动运动规定的φ。如图7-4所示短形图形(可视为一刚体)的两个90°的 有限转动。显然 0,≠O+ 叩1 图7-4 因此@虽然规定了大小和方向,但不是矢量》。则M点的孤坐标表示的运动方程可表示 为 S=r(tgb=r(.PD)tg0=-pp (7-2) 显然在与刚体转动轴的距离p给定后,刚体作定轴转动运动时,刚体上任意点的运动完 全取决于所规定的有大小和方向的量q。即刚体定轴转动运动由
5 S = S(t) 该弧坐标表示的运动方程的弧长参考点取为 t0时刻 M 点与 P0面重合的空间点。当取 P1 面与 P0 面之间的夹角为ϕ 时，并按刚体转动轴转向的右手法则规定有大小和方向的量ϕ 《不是矢量。规定中只说明ϕ 是具有大小和方向的量。一个数学量要成为矢量的条件为： 1、有大小；2、有方向；3、满足平行四边形加法法则。如空间点的位置变化（见图 7-3）， 空间点 a 发生位移矢量 r1 至 b 点，在发生位移矢量 r2 至 c 点；空间点 a 发生位移矢量 r2 至b′ 点，在发生位移矢量 r1至 c 点。显然作为位移矢量的 r1、r2 是具有大小和方向的量， 且满足矢量加法的平行四边形法则关于加法的交换律： 图 7-3 r1 + r2 = r2 + r1 但确实存在具有大小和方向的量不满足矢量加法的平行四边形则关于加法的交换律。如 对刚体定轴转动运动规定的ϕ 。如图 7-4 所示短形图形（可视为一刚体）的两个 90°的 有限转动。显然 ϕ1 +ϕ 2 ≠ ϕ 2 +ϕ1 i i i i i i i i i i i i i i i ψ ° ψ ° ψ ° i ψ °i 图 7-4 因此ϕ 虽然规定了大小和方向，但不是矢量》。则 M 点的孤坐标表示的运动方程可表示 为： S = r(t)⋅ϕ tgθ = r(t)⋅(−ϕ l)tgθ = −ρϕ （7-2） 显然在与刚体转动轴的距离 ρ 给定后，刚体作定轴转动运动时，刚体上任意点的运动完 全取决于所规定的有大小和方向的量ϕ 。即刚体定轴转动运动由
Q=q(1) (7-3) 确定。称为相对Po面的转角,(7-3) 式称为刚体定轴转动运动时的转运 方程。φ的正向或p的正负取决于坐 标系的选取。若取标准正交坐标系 W(+) y(-) ik}或az《坐标系为右手坐 标系》,且φ的正向取为k(z轴为转 动轴)的指向规定为由x轴正向转 动y轴正向为正。反之为负。如图7-5所示。 图75 、刚体定轴转动运动的角速度和角加速度 对作定轴转动运动的刚体,其运动方程在{o,ik}或az坐标系中,转动轴在k 的作用线上的表示为: p=o(Ok (7-3a) 定义角速度O为: k=k=k=ok 定义角加速度a为: k =ok=@k=ok=ak 由(7-4)、(7-5)式定义的角速度O和原, 角加速度a《由于q不是矢量,因此 和a也不是矢量。这里需说明的是q虽 然不满足平行四边形法则的加法交换目 律(即有限转角不满足平行四边形法 则的加法交换律)但无限小转角d满§B 足平行四边形法则的加法交换律,即恳下 d1+d2=d2+d X 作为一个抽象的数学量,有限转角φ不 是矢量,无限小转角dq是矢量。d作 图7-6 为一个具有具体物理含义物理量,则d还应该满足物理规律对坐标变换的不变性。而 实际上的d不满足这一不变性。如图7-6所示为AB直线到AB的转动示意图。oxyz为 右手坐标系的AB转动正:左手坐标系oxy(图76中镜内的像)为负。且无论q 多小都是这个结果。即dq在坐标变换的不变性要求下不构成矢量(实质上d是反对称 阶张量)。》的量纲分别为弧度秒(rad)和孤度秒·秒(rads2)
6 ϕ = ϕ (t) （7-3） 确定。ϕ 称为相对 P0 面的转角，（7-3） 式称为刚体定轴转动运动时的转运 方程。ϕ 的正向或ϕ 的正负取决于坐 标系的选取。若取标准正交坐标系 { } o; i, j, k 或 oxyz《坐标系为右手坐 标系》，且ϕ 的正向取为 k（z 轴为转 动轴）ϕ 的指向规定为由 x 轴正向转 动 y 轴正向为正。反之为负。如图 7-5 所示。 图 7-5 二、刚体定轴转动运动的角速度和角加速度 对作定轴转动运动的刚体，其运动方程在{o; i, j, k}或 oxyz 坐标系中，转动轴在 k 的作用线上的表示为： ϕ = ϕ (t) k （7-3a） 定义角速度ω为： ω k ϕk ϕ k ω k ϕ = = = = dt d （7-4） 定义角加速度α 为： k ωk ω k ϕ k α k ω = = ＝ = = dt d α （7-5） 由（7-4）、（7-5）式定义的角速度ω 和 角加速度α《由于ϕ 不是矢量，因此ω 和α 也不是矢量。这里需说明的是ϕ 虽 然不满足平行四边形法则的加法交换 律（即有限转角ϕ 不满足平行四边形法 则的加法交换律）。但无限小转角 dϕ 满 足平行四边形法则的加法交换律，即 ϕ1 ϕ 2 ϕ 2 ϕ1 d + d = d + d 作为一个抽象的数学量，有限转角ϕ 不 是矢量，无限小转角 dϕ 是矢量。 dϕ 作 图 7-6 为一个具有具体物理含义物理量，则 dϕ 还应该满足物理规律对坐标变换的不变性。而 实际上的 dϕ 不满足这一不变性。如图 7-6 所示为 AB 直线到 AB 的转动示意图。oxyz 为 右手坐标系的 AB 转动ϕ 正；左手坐标系o′x′y′z′（图 7-6 中镜内的像）ϕ 为负。且无论ϕ 多小都是这个结果。即 dϕ 在坐标变换的不变性要求下不构成矢量（实质上 dϕ 是反对称 二阶张量）。》的量纲分别为弧度/秒（rad/s）和孤度/秒·秒（rad/s2 ）。 ψ x ψ ψ ψ x
刚体定轴轻运动时的φ,φ=0),=a完全描述了刚体上P面相对Po面的运动。因 此φ,@,也是完全描述刚体定轴转动时的基本量 三、刚定轴匀速转动和匀加速转动 ↓z 在图7-7所示绕z轴作定轴转动运动的刚体,若O在移 过程中保持不变。则刚体的定轴传动运动称为定轴均速转 动。由(7-3a)、(7-4)、(7-5)得 P=o(k Ok=ok a=ok=o(k=ak 常数 ∴φ() 图7-7 dt 0 =o+(t-to) 因此有定轴均速转动刚体 9= 常数 (7-6) 在图7-7所示绕ε轴作定轴轻动运动的刚体,若a在转动过程中保持不变。则刚体 的定轴转动运动称定轴均加速转动。由(7-3a)、(7-4)、(7-5)得 oOk ok=ak =ok=o(tk=ak 常数
7 刚体定轴轻运动时的ϕ,ϕ = ω，ϕ = α 完全描述了刚体上 P 面相对 P0 面的运动。因 此ϕ ，ϕ ，ϕ也是完全描述刚体定轴转动时的基本量。 三、刚定轴匀速转动和匀加速转动 在图 7-7 所示绕 z 轴作定轴转动运动的刚体，若ω 在移 动过程中保持不变。则刚体的定轴传动运动称为定轴均速转 动。由（7-3a）、（7-4）、（7-5）得： ϕ = ϕ (t) k ω = ϕ (t) k = ω k α = ω k = ϕ(t) k = α k ∵ ω = 常数 ∴ ϕ(t) = ω ω ϕ = dt d 图 7-7 d d t t t ϕ ω ϕ ∫ϕ ∫ = 0 0 ϕ = ϕ 0 + (t − t0 )ω 因此有定轴均速转动刚体 ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = = = + − 0 ( ) 0 0 α ω ϕ ϕ ω 常数 t t （7-6） 在图 7-7 所示绕 z 轴作定轴轻动运动的刚体，若α 在转动过程中保持不变。则刚体 的定轴转动运动称定轴均加速转动。由（7-3a）、（7-4）、（7-5）得： ϕ = ϕ (t)k ω = ϕ (t)k = ωk α = ω k = ϕ(t) k = α k ∵ α = 常数 ∴ ω = α α ϕ = dt d ψ
do= d t dt r dp=f[oo+(t-to)aJd t o+0(t-10)+=a(t-t0) 或 do ap=a od d b2=2(q-g0) 因此对定轴均加速转动刚体有: 9=q0+o0(-h1 a(-t0) -t0)a或 2(-0)a a=常数 例7-1:如图78所示在Oxy面内的矩形刚体。若矩形刚体的对角线交点M的轨迹是图 示圆心在O点、半径是R的圆。M点的弧坐标这动方程S(1)=5+412。在t=0时刻 M点在axy坐标系中的坐标为(O、R)。试求: 1.矩形刚体作刚体平动运动时,刚体上A点的运动轨迹方程,速度矢量、加速度 矢量
8 d d t t t ω α ω ∫ω ∫ = 0 0 ω = ω0 + (t − t0 )α dt dϕ ω = d [ ] t t d t t t ϕ ω α ϕ ϕ ( ) 0 0 0 0 = + − ∫ ∫ ( ) 2 1 ( ) 0 0 0 0 ϕ = ϕ +ω t − t + α t − t 或 α ϕ ϕ ω = dt d d d α ϕ ω ω = d d ω ω α ϕ ϕ ϕ ω ω d d ∫ ∫ = 0 0 ω ω 2(ϕ ϕ 0 )α 2 0 2 − = − 因此对定轴均加速转动刚体有： ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ = = + − − = − = + − + − 常数 或 α ω ω α ω ω ϕ ϕ α ϕ ϕ ω α ( ) ( ) ( ) ( ) 0 2 0 2 0 0 0 0 0 0 2 2 1 t t t t t t （7-7） 例 7-1：如图 7-8 所示在 oxy 面内的矩形刚体。若矩形刚体的对角线交点 M 的轨迹是图 示圆心在 O 点、半径是 R 的圆。M 点的弧坐标这动方程 2 S (t) 5t 4t M = + 。在t = 0 时刻， M 点在 oxy 坐标系中的坐标为（o、R）。试求： 1．矩形刚体作刚体平动运动时，刚体上 A 点的运动轨迹方程，速度矢量、加速度 矢量
2.矩形刚体作刚体定轴转动 运动时,刚体上A点的运动轨迹 方程,速度矢量、加速度矢量。 S(平动) 解: 当动质点M运动至B点 时有 OA=OB+BA OA=x,(Oi+y(oj OB=Coso i+Rsin o j BA=bsin30°i-bcos30°j x(t)=(Rcos(+b) 图7-8( LA(=(Rsino-2 1~|=51+ 6t+4t2)/R ( Re S +-6i+(R sin R 2 b)j b)2+( b)2=R v=xi+jj=6+81Fsin oicos o j) 65+81)r 5+8t sin pI t copy a=x i+jj=-8(cospi+sino)
9 2．矩形刚体作刚体定轴转动 运动时，刚体上 A 点的运动轨迹 方程，速度矢量、加速度矢量。 解： 1． 当动质点 M 运动至 B 点 时有： ∵ OA = OB + BA OA x (t)i y (t) j = A + A OB = Rcosϕ i + Rsinϕ j i j D D BA = bsin 30 − bcos30 ∴ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ = − = + ) 2 3 ( ) ( sin ) 2 1 ( ) ( cos y t R b x t R b A A ϕ ϕ 图 7-8（a） 2 5 4 1 S R t t M ⎟ = + ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = −ϕ π ( t t )/ R 2 5 4 2 = − + π ϕ ； r ( )i ( b)j R S b R sin R S Rcos A 2 3 2 1 = + + − 或 2 2 2 ) 2 3 ) ( 2 1 (xA − b + yA + b = R τ ( )τ ( )( ) s t x y t sin cos A A A A A 5 8 5 8 = = + = + = + − + v v i j ϕ i ϕ j t A v = 5 + 8 ； i j r sinϕ cosϕ ds d s = = − + ( ) τ a = i + j = −8(cosϕ i + sinϕ j) A A A x y 平动） ψ
(s) 65+8)2 a=s,t+ n R 由式(6-23)式 dh nt( cos l-Singy R 2.当动质点运动至B(如图7-8(b)) 点时有: S,=oCz OC=2+R2-2 bRos30°)2 =62+R2-√3bR)2 SM=Ro=5t+ 4t 图7-8(b) q=(5t+4r2)/R W=q=(5+8)/R a===8 [a=(b2+R2-V3bR( cos(o-n)i+sin(p-n)jl p=s|=1 +R2-√3b 62+R2-√3b bro dr(s) -sin(o-r)i+cos(o-n)j b2+R2-、3bRar 例7-2:如图7-9所示,一半径为R=02m圆轮绕垂直oxy面的O轴作定轴转动运动。 其转动方程为q=(-12+41)k。试求
10 a n n R t R s s A A A 2 2 5 8 8 ( ) ( + ) = τ + = τ + 由式（6-23）式 i j τ n ϕ ϕ ϕ = = −cos − sin d d aτ = 8； R t an 2 (5 + 8 ) = 2． 当动质点运动至 B（如图 7-8（b）） 点时有： ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = −ϕ π 2 S A OC 2 1 2 2 2 1 2 2 3 2 30 ( ) ( ) b R bR OC b R bRcos = + − = + − D 2 SM = Rϕ = 5t + 4t 图 7-8（b） (5t 4t )/ R 2 ϕ = + ； − w = ϕ = (5 + 8t)/ R −α = ϕ = ω = 8/ R r ( 3 )[ ] cos( )i sin( ) j 2 2 = b + R − bR ϕ − γ + ϕ − γ A ( ) ( ) ω ϕ 2 1 2 2 2 1 2 2 3 3 b R bR A S A b R bR = + − = = + − v i j r τ sin( ) cos( ) ( ) = = − ϕ − γ + ϕ − γ ds d s v ( ) ωτ 2 1 2 2 A = − b + R − 3bR 例 7-2：如图 7-9 所示，一半径为 R = 0.2m 圆轮绕垂直 oxy 面的 O 轴作定轴转动运动。 其转动方程为 ( 4 ) k 2 ϕ = −t + t 。试求： γ θ 2 3 2 ψ