第三章力偶理论 在第二章中对刚体上作用的力系为汇交(包括共点)力系的合成与平衡进行了 分析,并用几何法和解析法分别给出了由F1、…、Fn表示的主矢(或合力)及平衡 条件。刚体上作用力系构成汇交(共点)力系是刚体静力学问题的一种基本情况 除这种情况外,当刚体上作用二个F1、F2力,且F1、F2大小相等、方向相反,作 用线平行(但不共线),此时作用在刚体上的F1、F2构成静力学基本问题的另一种 基本情况。即刚体受力偶作用的问题 §3-1力偶的基本概念 如图3-1所示,刚体上作用F、F'两个大小 相等、方向相反、作用线平行(但不共线)的力。 由二力平衡公理可知 此时刚体未处于平衡状态。即刚体在一对大小相 等、方向相反、作用线平行(但不共线)的F、F′ 力作用处于运动状态。且称作用在刚体上的一对 F、F'构成的特殊力系为力偶 图3-1 力偶:一对大小相等、作用方向相反、作用线平行(但不共线)的力F、F所 构成的力系称为力偶,记为(F、F') 当刚体上作用一力偶(实际上是一个特殊的力系)时,由二力平衡公理可知其
1 第三章 力偶理论 在第二章中对刚体上作用的力系为汇交（包括共点）力系的合成与平衡进行了 分析，并用几何法和解析法分别给出了由 F1、…、Fn 表示的主矢（或合力）及平衡 条件。刚体上作用力系构成汇交（共点）力系是刚体静力学问题的一种基本情况。 除这种情况外，当刚体上作用二个 F1、F2 力，且 F1、F2 大小相等、方向相反，作 用线平行（但不共线），此时作用在刚体上的 F1、F2 构成静力学基本问题的另一种 基本情况。即刚体受力偶作用的问题。 §3-1 力偶的基本概念 如图 3-1 所示，刚体上作用 F、 F′两个大小 相等、方向相反、作用线平行（但不共线）的力。 由二力平衡公理可知> 此时刚体未处于平衡状态。即刚体在一对大小相 等、方向相反、作用线平行（但不共线）的 F、F′ 力作用处于运动状态。且称作用在刚体上的一对 F、 F′构成的特殊力系为力偶。 图 3-1 力偶：一对大小相等、作用方向相反、作用线平行（但不共线）的力 F、F′所 构成的力系称为力偶，记为（F、 F′）。 当刚体上作用一力偶（实际上是一个特殊的力系）时，由二力平衡公理可知其 F F
处于运动状态。并称这种运动状态为刚体的转动状态。所谓刚体的转动状态,实质 上就是力偶对钢体作用时刚体的力学效应,或称为转动效应。 应当特别注意的是转动效应(或转动状态)与定轴转动不能完全等同。或者说, 在力偶作用下的刚体处于转动状态,但刚体上作用力偶并不唯一地给出(定轴)转 。只有当刚体在力偶的作用下,且刚体上的两点的位移被约束为相对惯性参考系 (体)静止时,刚体的转动状态被称为绕以被约束的两点所在直线(该直线上的所 有点同样被约束为相对惯性参系静止)为轴的定轴转动。 设刚体上作用力偶(F、F')。将F、F'作为不限制作用点的自由矢量,由自 由矢量的加法运算可得 R=F+F=F+(F) =-F+F=0 该式表明力偶(F、F)的主矢为零矢量。显然,当刚体上作用的力系的主矢为零 矢量时刚体并不一定处于平衡状态。同时力偶的主矢为零矢量还表明力偶不可能与 不为零的力对刚体的力学效应等效。因为如果力偶(F、F')与不为零的F等效 (力学效应相同),则用F代替力偶(F、F'),刚体的力学效应应该完全相同。(F F')与F的主矢不相等,这与力学效应相同相予盾。因此力偶不能与不为零的力 等效。力偶当然也不能与一个为零的力相等效。因为刚体在为零的力作用下处于平 衡状态。而在力偶不能与一个力(无论是为零的力,还是不为零的力)相等效。因 此力偶是力学问题分析中的一个基本量 力偶(F、F")的性质: (1)力偶(F、F)中F、F'的作用线所确定的平面称为力偶作用面。 (2)力偶(F、F')中F、F'的作用线之间的距离称为力偶臂。力偶臂通常用 字母d表示
2 处于运动状态。并称这种运动状态为刚体的转动状态。所谓刚体的转动状态，实质 上就是力偶对钢体作用时刚体的力学效应，或称为转动效应。 应当特别注意的是转动效应（或转动状态）与定轴转动不能完全等同。或者说， 在力偶作用下的刚体处于转动状态，但刚体上作用力偶并不唯一地给出（定轴）转 动。只有当刚体在力偶的作用下，且刚体上的两点的位移被约束为相对惯性参考系 （体）静止时，刚体的转动状态被称为绕以被约束的两点所在直线（该直线上的所 有点同样被约束为相对惯性参系静止）为轴的定轴转动。 设刚体上作用力偶（F、 F′）。将 F、 F′作为不限制作用点的自由矢量，由自 由矢量的加法运算可得 0 ( ) = − ′ + ′ = = + ′ = + − F F R F F F F 该式表明力偶（F、 F′）的主矢为零矢量。显然，当刚体上作用的力系的主矢为零 矢量时刚体并不一定处于平衡状态。同时力偶的主矢为零矢量还表明力偶不可能与 一不为零的力对刚体的力学效应等效。因为如果力偶（F、F′）与不为零的 F 等效 （力学效应相同），则用 F 代替力偶（F、F′），刚体的力学效应应该完全相同。（F、 F′）与 F 的主矢不相等，这与力学效应相同相予盾。因此力偶不能与不为零的力 等效。力偶当然也不能与一个为零的力相等效。因为刚体在为零的力作用下处于平 衡状态。而在力偶不能与一个力（无论是为零的力，还是不为零的力）相等效。因 此力偶是力学问题分析中的一个基本量。 力偶（F、 F′）的性质： （1）力偶（F、 F′）中 F、 F′的作用线所确定的平面称为力偶作用面。 （2）力偶（F、F′）中 F、F′的作用线之间的距离称为力偶臂。力偶臂通常用 字母 d 表示
(3)对力偶(F、F')定义: M=Fd|=±Fa (3-1) 式中M称为力偶(F、F)的力偶矩。M表示力偶(F、F)对刚体产生的转动 效应的强弱;而M的符号表示转动的转向。通常对观察者,或对给定的坐标系,当 力偶(F、F")使刚体作逆时针转动时, 力偶矩为正;反之为负。 <<注:(3-1)式给出的是在力偶作用平 面内的力偶矩定义。如图所示坐标系中, (3-1)给出的是力偶作用面为xoy面时 的力偶矩定义。对于空间一般情况下(力 (a) 偶作用面为图3-2(a)中ABC面的情况), 力偶矩的定义是由 F+r×F (b) 所定义的。如图3-2(b)所示。 F F=(r×aa)×F=( 图3- M=r×F+rxF=×F+r'×(-F) (r+d)×F-r'xF=d×F d是F、F'作用线上与F、F'垂直的直线的交点所确定的矢量,d是常矢量,d的 模就是F、F'两作用线的距离。因此 M=dxF=dFn (i) n是F、F'按右手法则确定的方向上单位矢量。即ABC面的单位外法线方向。显然 由(i)式定义的力偶矩是一个矢量。力偶矩矢量M的大小M=M=Fd。若ABC面就
3 （3）对力偶（F、 F′）定义： M =| Fd |= ±F′d （3-1） 式中 M 称为力偶（F、 F′）的力偶矩。|M|表示力偶（F、 F′）对刚体产生的转动 效应的强弱；而 M 的符号表示转动的转向。通常对观察者，或对给定的坐标系，当 力偶（F、F′）使刚体作逆时针转动时， 力偶矩为正；反之为负。 <<注：（3-1）式给出的是在力偶作用平 面内的力偶矩定义。如图所示坐标系中， （3-1）给出的是力偶作用面为 xoy 面时 的力偶矩定义。对于空间一般情况下（力 偶作用面为图3-2（a）中ABC面的情况）， 力偶矩的定义是由 M = r × F + r′× F′ 所定义的。如图 3-2（b）所示。 F r F F r×F = ( r × )× F = ( r × aa )× = × F aa 图 3-2 ∴ r d F r F d F M r F r F r F r F = ′ + × − ′× = × = × + ′× = × + ′× − ( ) ( ) d 是 F、 F′作用线上与 F、 F′垂直的直线的交点所确定的矢量，d 是常矢量，d 的 模就是 F、 F′两作用线的距离。因此 M = d × F = dFn （i） n 是 F、F′按右手法则确定的方向上单位矢量。即 ABC 面的单位外法线方向。显然 由（i）式定义的力偶矩是一个矢量。力偶矩矢量 M 的大小|M|=M=Fd。若 ABC 面就 a a (b) F r r O r' r r' r y B x A C z F F ' d (a) O
是xoy面,则xoy面内的力偶(F、F')的力偶矩为 M=Fk或M=-Fk M·k=±Fd 该式即(3-1)式M的定义。> 4)力偶矩的单位为牛顿·米(N·m),或千牛顿·米(kN·m)。 §3-2平面力偶理论 若作用在刚体上的力偶系(若干个力偶的集合)的力偶作用平面都是同一平面。 则称刚体上作用的力偶系为平面力偶系。对平面力偶系,若不说明,其力偶作用平 面取为xoy坐标面 平面二力偶平衡公理 当刚体上作用两个同平面的平面力偶(F、F”),(F2、F2)时,刚体处于无 转动状态的充分必要条件是两力矩的力偶矩大小相等、转向相反。即 1=-M2 平面力偶的等效条件为:两力偶的力偶矩大小相等,转向相同。即 M1=M2 (3-3) 证明 如图3-3所示为 作用在同一刚体上两 种情况的力偶(F F),(F2、F2)。在 刚体上作用图3-3(a)
4 是 xoy 面，则 xoy 面内的力偶（F、 F′）的力偶矩为 M = Fdk 或 M = -Fdk M·k = ±Fd 该式即（3-1）式 M 的定义。>> 4）力偶矩的单位为牛顿·米（N·m），或千牛顿·米（kN·m）。 §3-2 平面力偶理论 若作用在刚体上的力偶系（若干个力偶的集合）的力偶作用平面都是同一平面。 则称刚体上作用的力偶系为平面力偶系。对平面力偶系，若不说明，其力偶作用平 面取为 xoy 坐标面。 平面二力偶平衡公理： 当刚体上作用两个同平面的平面力偶（F、 F′），（F2、 F2 ′）时，刚体处于无 转动状态的充分必要条件是两力矩的力偶矩大小相等、转向相反。即 M1 = -M2 （3-2） 平面力偶的等效条件为：两力偶的力偶矩大小相等，转向相同。即 M1 = M2 （3-3） 证明： 如图 3-3 所示为 作用在同一刚体上两 种情况的力偶（F、 F′），（F2、F2 ′）。在 刚体上作用图 3-3（a） 2 2 d2 1 1 (a) (b) F F ' d1 F ' F
力偶的情况下 在F2作用线上 选定刚体上 点A。按加减平 衡力系公理,加 上一对平衡力 F2、F2;在F2 作用线上选定刚 图3-3 体上一点B。按加减平衡力系公理,加上一对平衡力F、F2。如图3-3(c)所示。 刚体上现在作用有三个力偶(F1、F1),(F2、F2),(F、F2)。且其对应的力偶 矩分别为 M,= Fidi: M,=Frd: M3=-F2d MI=M=-M3 显然按平面力偶平衡公理,(F1、F1)和(F2、F2)构成一对平衡力偶。在由加减 平衡力系公理,在刚体中减去由F1、F'、F2、F2力系构成的平衡力系。最后得 到了(b)图所示的情况。在以下在整个过程中使用了加减平衡力系公理,并未改变 刚体的力学效应。因此(a)、(b)两种情况力学效应等效。即作用在刚体上的力偶 (F1、F')可用(F2、F2)力偶等效,只要两力偶的力偶相等。 平面力偶系的合成: 刚体上作用的n个力偶(F1、F1),…,(F、F)对刚体的作用效应与力偶
5 力偶的情况下， 在 F2 作用线上 选定刚体上一 点 A。按加减平 衡力系公理，加 上一对平衡力 F2、F2 ；在 F2 ′ 作用线上选定刚 图 3-3 体上一点 B。按加减平衡力系公理，加上一对平衡力 F2 ′、F2 。如图 3-3（c）所示。 刚体上现在作用有三个力偶（F1、F1 ′），（F2、F2 ′），（ F2 、F2 ′）。且其对应的力偶 矩分别为： M1 = F1d1 ；M2 = F2d2 ；M3 = -F2d2 ； ∵ M1 = M2 = -M3 显然按平面力偶平衡公理，（F1、F1 ′）和（F2、F2 ′）构成一对平衡力偶。在由加减 平衡力系公理，在刚体中减去由 F1、 F1 ′、 F2 、 F2 ′力系构成的平衡力系。最后得 到了（b）图所示的情况。在以下在整个过程中使用了加减平衡力系公理，并未改变 刚体的力学效应。因此（a）、（b）两种情况力学效应等效。即作用在刚体上的力偶 （F1、 F1 ′）可用（F2、 F2 ′）力偶等效，只要两力偶的力偶相等。 平面力偶系的合成： 刚体上作用的 n 个力偶（F1、 F1 ′），…，（Fn、 Fn ′）对刚体的作用效应与力偶 F2 F2 ' B A F ' F d2 2 2 F F ' d1 1 1 (c)
F1+F2+…+Fn,F1+F2+…+F d/=(F,F)对刚体的作用效 应相同。且称(F、F)力偶是(F1、F1),…,(Fn、F")这几个力偶的合成力 偶。或称为合力偶 证明: 如图3-4所示,在F1作用线上 加上一个力F22;在F作用线上 加上一个力Fa,显然F2a d,构成 个力偶 Fd Fad d F2,F22|。该力偶的力偶矩 F 为M2=F202d1=F2d2=M2即 . d 力偶F,2,F-2与(F2、F') d, d, 等效。因此可在刚体上用力偶 F22,F22等效代替(F2、F2)力偶。依次对(F3、F),…(Fn、F" 作同样的等效代替最后得到与(F1、F1),…,(Fn、F)等效的
6 , ( , ) 1 1 2 1 2 1 1 2 F1 F2 F F F F = F F′ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + + + ′+ ′ + + ′ d d d d d d d d n n n " n " 对刚体的作用效 应相同。且称（F、 F′）力偶是（F1、 F1 ′），…，（Fn、 Fn ′）这几个力偶的合成力 偶。或称为合力偶。 证明： 如图 3-4 所示，在 F1作用线上 加上一个力 1 2 2 d d F ；在 F1 ′作用线上 加上一个力 1 2 2 d d F′ 。显然 1 2 2 d d F 、 1 2 2 d d F′ 构成一个力偶 ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ′ 1 2 2 1 2 2 , d d d d F F 。该力偶的力偶矩 为 1 2 2 2 1 2 2 2 d F d M d d M = F = = 即 力偶 ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ′ 1 2 2 1 2 2 , d d d d F F 与（F2、F2 ′） 等效。因此可在刚体上用力偶 图 3-4 ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ′ 1 2 2 1 2 2 , d d d d F F 等效代替（F2、 F2 ′）力偶。依次对（F3、 F3 ′），…，（Fn、 Fn ′） 作同样的等效代替最后得到与（ F1 、 F1 ′ ）， … ，（ Fn 、 Fn ′ ）等效的 Fn ' dn Fn F ' 1 n d1 d F ' F2 n ' d2 d1 1 Fn dn d1 d d2 F1 F d1 2 2 2 d2 F F
d, F1+F2+…+F、F+F+…+F =(F、F)合力偶。合力偶 (F1、F')的力偶矩为 FF+F2+…+F,FF…、F的作用线相 ∴|FF±F|±|F2|+…+"|Fn=F M=Fd=±F1d±F2d2+…+Fndn (3-4) 试式表明,刚体上作用n个平面力偶时,其合力偶的力偶矩是n个力偶的力偶矩的 代数 平面力偶系的平衡 平面力偶系平衡的充分必要条件是:作用在刚体上所有平面力偶的力偶矩矢量 和为零矢量。即 +Mm=0 由(3-4)式,对平面力偶系作用的刚体,刚体平衡的充分必要条件为:作用在刚体 上的m个力偶的力偶矩的代数和为零。即 +Mm=0 例3-1如图3-5所示机构在两力偶作用下平衡。已知:M=100Nm,O1A=40cn O2B=60cm,各杆自重不计。试求M=? 7
7 F F F F F F = ( ) F F′ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + + + ′+ ′ + + ′ 、 d d d d 、 d d d d n n n n 1 1 2 1 2 1 1 2 1 2 " " 合力偶。合力偶 （F1、 F1 ′）的力偶矩为 M = Fd ∵ 1 1 2 1 2 1 1 2 1 2 | | , d d 、 、 d d 、 d d d d n n n F = F + F +"+ Fn F F " F 的作用线相 同。 ∴ | F |= ± | F | ± | F | + + | F |= F 1 2 1 2 1 n n d d d d " ∑= = + + = = = ± ± + + n i n i n n M M M M Fd F d F d F d 1 1 1 2 2 " " （3-4） 试式表明，刚体上作用 n 个平面力偶时，其合力偶的力偶矩是 n 个力偶的力偶矩的 代数和。 平面力偶系的平衡 平面力偶系平衡的充分必要条件是：作用在刚体上所有平面力偶的力偶矩矢量 和为零矢量。即 M = M1 + … + Mm = 0 由（3-4）式，对平面力偶系作用的刚体，刚体平衡的充分必要条件为：作用在刚体 上的 m 个力偶的力偶矩的代数和为零。即 M1 + … + Mm = 0 例 3-1 如图 3-5 所示机构在两力偶作用下平衡。已知：M1=100N·m，O1A=40cm， O2B=60cm，各杆自重不计。试求 M2=？
首先分析机构整体。O1、O2处为固 定铰支座约束。即在O1、O2处可分别用 MI 相互正交的约束反力表示固定铰支座对 机构的约束。且这两处的四个约束反力 均为未知,同时也不构成汇交力系。因 M2(a) 此无法用汇交力系的平衡条件去求解。 由于对机构整体无法求解。因此只 FoB 能考虑对机构中各构件进行分析。 FABB B O2B杆:O2处受图定铰支座的( 对正交)约束反力;杆上作用未知力偶 A FAL 12;B处受AB杆作用的(一对正交)约Fa 束反力。所有力不构成汇交力系 M AB杆:二力构件 (b) O1A杆:O1处受固定铰座的(一对 正交)的约束反力:杆上作用已知M1;A 图3-5 处受AB杆作用的(一对正交)约束反力。所有力不构成汇交力系 由AB杆为二力构件可确定,O1A杆在A点所受AB杆的作用力FAA的作用线 沿AB杆AB两点连线(二力杆是分析问题的突破口)因此选择O1A杆为分析对象 受力分析图见图(b) O1A杆在A点受FABA,杆上受力偶M作用,在O1点受固定铰支座的约束反力 作用。由于力偶只能与力偶平衡的特点。显然当O1A平衡时,O1处的约束约束反力 必须与FABA构成一力偶(Fo1,FABA。且该力偶与M1力偶平衡。即二力偶矩满足
8 解： 首先分析机构整体。O1、O2 处为固 定铰支座约束。即在 O1、O2 处可分别用 相互正交的约束反力表示固定铰支座对 机构的约束。且这两处的四个约束反力 均为未知，同时也不构成汇交力系。因 此无法用汇交力系的平衡条件去求解。 由于对机构整体无法求解。因此只 能考虑对机构中各构件进行分析。 O2B 杆：O2 处受图定铰支座的（一 对正交）约束反力；杆上作用未知力偶 M2；B 处受 AB 杆作用的（一对正交）约 束反力。所有力不构成汇交力系。 AB 杆：二力构件。 O1A 杆：O1 处受固定铰座的（一对 正交）的约束反力；杆上作用已知 M1；A 图 3-5 处受 AB 杆作用的（一对正交）约束反力。所有力不构成汇交力系。 由 AB 杆为二力构件可确定，O1A 杆在 A 点所受 AB 杆的作用力 FABA 的作用线 沿 AB 杆 AB 两点连线。（二力杆是分析问题的突破口）。因此选择 O1A 杆为分析对象。 受力分析图见图（b）。 O1A 杆在 A 点受 FABA，杆上受力偶 M1作用，在 O1点受固定铰支座的约束反力 作用。由于力偶只能与力偶平衡的特点。显然当 O1A 平衡时，O1 处的约束约束反力 必须与 FABA 构成一力偶（F01，FABA）。且该力偶与 M1 力偶平衡。即二力偶矩满足： FO2 FABB (b) M2 B O2 FABA M1 FO1 O1 A FO2BB FO AA 1 B A M1 M2 O2 O1 B A ° (a)
M,+F,,O,Asin30°=0 (此处对平面力偶规定逆时针转动时其力偶矩为正;反之为负) 100 ABA 500N 40×10-2 (此处强调计算表达式中应采用国际标准单位) 与FABA为作用力与反作用力 FO44=FABA: FO4A=500 N FoA与F2B为一对平衡力: OM= FABA: FO,BB=500N 对O2B杆:FAB与FOB为作用力与反作用力 FABB=500 N FBn与F2构成力偶(FB,F2)与M平衡 -Fnab+M=0 M,=500×60×10-2=300N §33空间力偶理论 对每一个给定的力偶,由(i)式给出了与该力偶对应的力偶矩。当力偶系中每 个力偶对应的(i)式中的力偶矩矢量n是同一矢量时。该力偶系称为平面力偶系 而对力偶系中的每一力偶对应的(i)式中的力偶矩矢量n的方向各不相同是。该力 偶系称为空间力偶系
9 sin 30 0 − M1 + FABAO1A ° = （此处对平面力偶规定逆时针转动时其力偶矩为正；反之为负） 500 N 2 1 40 10 100 2 = × × = − FABA （此处强调计算表达式中应采用国际标准单位） 对 AB 杆： FO1AA 与 FABA为作用力与反作用力： FO1AA =-FABA ； FO1AA =500 N FO1AA 与 FO2BB 为一对平衡力： FO2BB = −FO1AA = FABA ； FO2BB =500 N 对 O2B 杆：FABB与 FO2BB 为作用力与反作用力： FABB = −FO2BB = −FABA ； FABB=500 N FABB与 O2 F 构成力偶（FABB， O2 F ）与 M2 平衡。 0 − FABBO2B + M 2 = 500 60 10 300 N 2 2 = × × = − M §3-3 空间力偶理论 对每一个给定的力偶，由（i）式给出了与该力偶对应的力偶矩。当力偶系中每 一个力偶对应的（i）式中的力偶矩矢量 n 是同一矢量时。该力偶系称为平面力偶系。 而对力偶系中的每一力偶对应的（i）式中的力偶矩矢量 n 的方向各不相同是。该力 偶系称为空间力偶系
按力偶对应的(i)式中的力偶矩矢量,对空间力偶系有如下结论 空间两力偶等效的条件:两力偶对应的力偶矩矢量相等。即 1=M2 (3-5) 空间力偶系的合成:n个力偶构成的空间力偶系对刚体的转动效应可以等效为 个力偶对刚体的转动效应。与n个力偶等效的力偶称为这n个力偶的合力偶。且 合力偶对应的力偶矩矢量等于n个力偶对应的力偶矩的矢量和。即 M=M1+…+Mn=∑M=∑M (3-6) 空间力偶系的平衡:空间力偶系平衡的充分必要条件为:合力偶对应的力偶矩 矢量为零矢量。即 M=0:M,+…+M=0 (3-7) 若在惯性参考系(体)上建立标准正交坐标系{O;i、j、k}。则(3-5)、(3-6) (3-7)可在{O;、j、k中表示为 M=M M=M M=M y=M1y+…+M (3-9) M:=M12+…+M
10 按力偶对应的（i）式中的力偶矩矢量，对空间力偶系有如下结论： 空间两力偶等效的条件：两力偶对应的力偶矩矢量相等。即 M1 = M2 （3-5） 空间力偶系的合成：n 个力偶构成的空间力偶系对刚体的转动效应可以等效为 一个力偶对刚体的转动效应。与 n 个力偶等效的力偶称为这 n 个力偶的合力偶。且 合力偶对应的力偶矩矢量等于 n 个力偶对应的力偶矩的矢量和。即 M = M + + M = ∑ M = ∑ M = n i n i 1 1 " （3-6） 空间力偶系的平衡：空间力偶系平衡的充分必要条件为：合力偶对应的力偶矩 矢量为零矢量。即 M=0； M1 +"+ Mn = 0 （3-7） 若在惯性参考系（体）上建立标准正交坐标系{O；i、j、k}。则（3-5）、（3-6）、 （3-7）可在{O；i、j、k}中表示为： M1 = M2 ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = = = z z y y x x M M M M M M 1 2 1 2 1 2 （3-8） M = M1 +"+ Mn ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = + + = + + = + + z z nz y y ny x x nx M M M M M M M M M " " " 1 1 1 （3-9）