第十五章虚位移原理 质点系可分为自由质点系和非质点系。如果质点系的各质点不受任何限制,可以在空 间自由运动,它们的运动轨迹决定于质点系的外力和内力,则这种质点系称为自由质点系。 例如,各星体组成的太阳系。如果质点系的各质点受到一定限制,在空间不能自由运动 它们的位置或速度必须遵循一定的限制条件,则这种质点系称为非自由质点系。例如,用 刚杆连接的两质点,它们之间的距离保持不变。在工程实际中,经常遇到的是非自由质点 系 静力学中,以静力学公理为基础,以矢量分析为特点,通过主动力与约束力的关系表 达了刚体的平衡条件,称为矢量静力学( Vectorial statics)或刚体静力学。刚体的平衡条 件对于任意非自由质点系来说,只是必要的,并非充分的 本章讨论的虚位移原理( Principle of virtual displacement),是用数学分析的方法研究 任意非自由质点系的平衡问题,平衡条件表现为主动力在系统的虚位移上所做虚功的关 系。虚位移原理给出任意非自由质点系平衡的必要与充分条件,是解决质点系平衡问题的 普遍原理,可称为分析静力学( Analytical statics)。 §15-1约束及其分类 1.约束( Constraints)与约束方程( Contraint equations) 质点系各质点在空间的位置的集合,称为质点系的位形( Configuration),位形表示了 该系内各质点的位置分布所构成的几何形象。在非自由质点系中,那些预先给定的限制质 点系位形或速度的运动学条件称为约束。例如限制刚体内任意两点间的距离不变的条件, 限制车轮在直线轨道上滚动而不滑动的条件等都是约束。如果将非自由质点系的运动限制 条件用数学方程式表示,则称此方程为质点系的约束防程。 例如,图15-1所示单摆,由于刚性摆杆的长度l不变,摆锤A被限制xy平面内作圆 周运动,摆锤A的坐标满足约束方程 12 又如图15-2所示的曲柄滑块机构,曲柄销A只能在以曲柄长r为半径的圆周上运动;滑 O xi,j A 图15
1 第十五章 虚位移原理 质点系可分为自由质点系和非质点系。如果质点系的各质点不受任何限制，可以在空 间自由运动，它们的运动轨迹决定于质点系的外力和内力，则这种质点系称为自由质点系。 例如，各星体组成的太阳系。如果质点系的各质点受到一定限制，在空间不能自由运动， 它们的位置或速度必须遵循一定的限制条件，则这种质点系称为非自由质点系。例如，用 刚杆连接的两质点，它们之间的距离保持不变。在工程实际中，经常遇到的是非自由质点 系。 静力学中，以静力学公理为基础，以矢量分析为特点，通过主动力与约束力的关系表 达了刚体的平衡条件，称为矢量静力学（Vectorial statics）或刚体静力学。刚体的平衡条 件对于任意非自由质点系来说，只是必要的，并非充分的。 本章讨论的虚位移原理（Principle of virtual displacement），是用数学分析的方法研究 任意非自由质点系的平衡问题，平衡条件表现为主动力在系统的虚位移上所做虚功的关 系。虚位移原理给出任意非自由质点系平衡的必要与充分条件，是解决质点系平衡问题的 普遍原理，可称为分析静力学（Analytical statics）。 §15-1 约束及其分类 1．约束（Constraints）与约束方程（Contraint equations） 质点系各质点在空间的位置的集合，称为质点系的位形（Configuration），位形表示了 该系内各质点的位置分布所构成的几何形象。在非自由质点系中，那些预先给定的限制质 点系位形或速度的运动学条件称为约束。例如限制刚体内任意两点间的距离不变的条件， 限制车轮在直线轨道上滚动而不滑动的条件等都是约束。如果将非自由质点系的运动限制 条件用数学方程式表示，则称此方程为质点系的约束防程。 例如，图 15-1 所示单摆，由于刚性摆杆的长度 l 不变，摆锤 A 被限制 xy 平面内作圆 周运动，摆锤 A 的坐标满足约束方程 2 2 2 x + y = l （a） 又如图 15-2 所示的曲柄滑块机构，曲柄销 A 只能在以曲柄长 r 为半径的圆周上运动；滑 x l y A (x , y) O 图 15-1 φ B(x2 , y2) O x y r l A(x1 , y1) 图 15-2
块B被限制在水平滑道Ox中运动;A、B两点间的距离被连杆的长度l所限制。因此,曲 柄滑块机构的约束方程可表示为 2+y2=r2 x2-x1)2+(v2-y1)2=P2 (b) y2=0 再如图15-3所示的圆轮,沿水平直线轨迹作纯滚动,由于轮心C作直线运动,约束条件 为轮心C的坐标y保持不变,即 Vo 又因为圆轮作纯滚动,轮心速度x与轮的角速度q 必须满足约束方程 O 2.约束分类 根据约束对质点系运动限制条件的不同,可将约 图15-3 束分类如下 (1)定常约束( Steady constraint)和非定常约束( Unsteady constraint)。如果在约束 方程中不显含时间t,即约束不随时间而变,这种约束称为定常约束或稳定约束。以上各 例都是定常约束。如果在约束方程中显含t,则称其为非定常约束。例如图15-1中的单摆, 悬挂点O若以匀速v沿x轴向右运动,这时约束方程成为 (x-vi+y2=l (e) 约束方程中显含时间t。可见,悬挂点移动的单摆的约束是非定常约束。 (2)双面约束( Bilateral constraint)与单面约束( Unbilateral constraint)。约束方程中 用等号表示的约束,称为双面约束或不可离约束。这种约束能限制两个相反方向的运动 由方程(a)、(b)表示的约束都是双面约束。由不等式表示的约束称为单面约束或可离约 束。例如图15-1中的单摆,将摆杆以细绳代替,因绳子不能受压,约束方程成为 (f) 显然,单面约束只能限制物体某个方向的运动,而不能限制相反方向的运动。图15-3中 轨道对圆轮的约束亦属单面约束。但在实际问题中,质点系没有脱离约束的主动力作用时, 单面约束仍理解为具有双面约束的性质。例如单摆在运动过程中,绳不可能受压,绳与杆 并无差别。又如沿水平面滚动的圆轮,若脱离轨道而跳起,就是自由刚体的运动,这显然 是与研究前提相矛盾的 (3)完整约束( Holonomic constraint)与非完整约束( Nonholonomic constraint)。通 过以上各例的约束方程,我们已注意到约束不仅对质点系的几何位形起限制作用,而且还
2 块 B 被限制在水平滑道 Ox 中运动；A、B 两点间的距离被连杆的长度 l 所限制。因此，曲 柄滑块机构的约束方程可表示为 ( )( ) ⎪ ⎪ ⎭ ⎪ ⎪ ⎬ ⎫ = − + − = + = 0 2 2 2 2 1 2 2 1 2 2 1 2 1 y x x y y l x y r （b） 再如图 15-3 所示的圆轮，沿水平直线轨迹作纯滚动，由于轮心 C 作直线运动，约束条件 为轮心 C 的坐标 y 保持不变，即 yC = R （c） 又因为圆轮作纯滚动，轮心速度 Cx′ 与轮的角速度ϕ′ 必须满足约束方程 xC ′ − Rϕ′ = 0 （d） 2．约束分类 根据约束对质点系运动限制条件的不同，可将约 束分类如下： （1）定常约束（Steady constraint）和非定常约束（Unsteady constraint）。如果在约束 方程中不显含时间 t，即约束不随时间而变，这种约束称为定常约束或稳定约束。以上各 例都是定常约束。如果在约束方程中显含 t，则称其为非定常约束。例如图 15-1 中的单摆， 悬挂点 O 若以匀速 v 沿 x 轴向右运动，这时约束方程成为 ( )2 2 2 x − v t + y = l （e） 约束方程中显含时间 t。可见，悬挂点移动的单摆的约束是非定常约束。 （2）双面约束（Bilateral constraint）与单面约束（Unbilateral constraint）。约束方程中 用等号表示的约束，称为双面约束或不可离约束。这种约束能限制两个相反方向的运动， 由方程（a）、（b）表示的约束都是双面约束。由不等式表示的约束称为单面约束或可离约 束。例如图 15-1 中的单摆，将摆杆以细绳代替，因绳子不能受压，约束方程成为 2 2 2 x + y ≤ l （f） 显然，单面约束只能限制物体某个方向的运动，而不能限制相反方向的运动。图 15-3 中 轨道对圆轮的约束亦属单面约束。但在实际问题中，质点系没有脱离约束的主动力作用时， 单面约束仍理解为具有双面约束的性质。例如单摆在运动过程中，绳不可能受压，绳与杆 并无差别。又如沿水平面滚动的圆轮，若脱离轨道而跳起，就是自由刚体的运动，这显然 是与研究前提相矛盾的。 （3）完整约束（Holonomic constraint）与非完整约束（Nonholonomic constraint）。通 过以上各例的约束方程，我们已注意到约束不仅对质点系的几何位形起限制作用，而且还 ϕ C x y φ Cx R 图 15-3 O
可能与时间、速度有关。因而,约束方程的一般形式可表示为 r)=0 (15-1) G=12 式中,n为质点系中质点的个数,s为约束方程的个数。 约束方程中显含坐标对时间的导数,称为运动约束。如果运动约束能积分成有限形式, 则称这种约束为完整约束。例如约束方程(d),可以积分为xc-Rp=常数,故为完整约 束。约束方程中若不显含坐标对时间的导数,这种约束称为几何约束。几何约束也属完整 约束。几何约束方程的一般形式为 ∫(x1,y,=1;…xn,yn,=n;1)=0 (15-2) 综上所述,几何约束及可积分的运动约束统称为完整约束。实际上,对于可积分的运 动的约束,积分后方程中不再包含坐标的导数,此时的运动约束成为几何约束。因而,在 以后的讨论中,对几何约束与完整的约束不再区分。 一般情况下,含有坐标导数的方程不能积分成有限形式,则这种约束称为非完整约束 非完整约束方程的一般形式为式(15-1)。因为非完整约束方程表现为微分形式,故又称 为不可积分约束。应理解为在任意约定的位形中,质点系各点速度应满足的条件。 个质点系可以同时受到完整和非完整约束,只受完整约束的质点系称为完整系统 只要质点受到非完整约束,则称为非完整系统。如果约束都是定常的,则称质点系为定常 系统。否则,称为非定常系统。 特别注意,本章只讨论双面、定常的几何约束。这种约束方程的一般形式为 f, xu,,yu,E=0 G=1,2,…,s) (15-3 §15-2虚位移与自由度 1.虚位移( Virtual displacement) 由于约束的限制,非自由质点或质点系中的质点,其运动不可能完全自由。即约束限 制了质点某些方向的位移,但也容许质点沿另一些方向的位移。因此,我们定义: 质点或质点系在给定位置(或瞬时),为约束所容许的任何无限小位移,称为质点或 质点系在该位置的虚位移。质点的虚位移记为 Or=Sxi+dyj+d=k (15-4) 式中,δx,y,z是虚位移在各直角坐标轴上的投影;而虚角位移用或O6表示 应注意,δ是变分( Variation)符号。δr表示函数r()的变分,变分表示函数自变量(时 间1)不变时,由函数本身形状在约束所许可的条件下微小改变而产生的无限小增量。除 了δt=0之外,变分运算与微分运算相类似
3 可能与时间、速度有关。因而，约束方程的一般形式可表示为 ( ) ( ) j s f x y z x y z x y z x y z t j n n n n n n 1, 2, , 1 , 1 , 1; ; , , ; 1, 1 , 1; ; , , ; 0 " " " = ′ ′ ′ ′ ′ ′ = （15-1） 式中，n 为质点系中质点的个数，s 为约束方程的个数。 约束方程中显含坐标对时间的导数，称为运动约束。如果运动约束能积分成有限形式， 则称这种约束为完整约束。例如约束方程（d），可以积分为 xC − Rϕ = 常数，故为完整约 束。约束方程中若不显含坐标对时间的导数，这种约束称为几何约束。几何约束也属完整 约束。几何约束方程的一般形式为 ( ) , , ; ; , , ; 0 f j x1 y1 z1 " xn yn zn t = （15-2） 综上所述，几何约束及可积分的运动约束统称为完整约束。实际上，对于可积分的运 动的约束，积分后方程中不再包含坐标的导数，此时的运动约束成为几何约束。因而，在 以后的讨论中，对几何约束与完整的约束不再区分。 一般情况下，含有坐标导数的方程不能积分成有限形式，则这种约束称为非完整约束。 非完整约束方程的一般形式为式（15-1）。因为非完整约束方程表现为微分形式，故又称 为不可积分约束。应理解为在任意约定的位形中，质点系各点速度应满足的条件。 一个质点系可以同时受到完整和非完整约束，只受完整约束的质点系称为完整系统， 只要质点受到非完整约束，则称为非完整系统。如果约束都是定常的，则称质点系为定常 系统。否则，称为非定常系统。 特别注意，本章只讨论双面、定常的几何约束。这种约束方程的一般形式为 f ( ) x y z x y z ( j s) j n n n , , ; ; , , 0 1, 2, , 1 1 1 " = = " （15-3） §15-2 虚位移与自由度 1．虚位移（Virtual displacement） 由于约束的限制，非自由质点或质点系中的质点，其运动不可能完全自由。即约束限 制了质点某些方向的位移，但也容许质点沿另一些方向的位移。因此，我们定义： 质点或质点系在给定位置（或瞬时），为约束所容许的任何无限小位移，称为质点或 质点系在该位置的虚位移。质点的虚位移记为 δ r = δ x i +δ y j +δ z k （15-4） 式中，δ x ，δ y ，δ z 是虚位移在各直角坐标轴上的投影；而虚角位移用δϕ 或δθ 表示。 应注意，δ 是变分（Variation）符号。δ r 表示函数 r(t)的变分，变分表示函数自变量（时 间 t）不变时，由函数本身形状在约束所许可的条件下微小改变而产生的无限小增量。除 了δ t = 0 之外，变分运算与微分运算相类似
例如,限制在一个固定平面上的质点A,在平面上的任一个方向上的无限小位移都是 该质点的虚位移。又如图15-4(a)中的曲柄滑块机构,在θ角时处于平衡。但约束容许杆 OA绕O轴转动,我们可给杆OA以逆时针的虚转角a,杆OA转到OA位置,由于杆 AB的长度不变和滑道对滑块B的限制,杆AB只能处于A'B'位置。于是OA'B’表示曲柄 滑块机构的虚位移图。系统内的各质点都产生了虚位移,可见,质点系的虚位移是一组虚 位移,而且彼此并不独立。应注意,虚位移必须指明给定的位置(或瞬时),不同位置, 质点或质点系的虚位移并不相同:其次,虚位移必须为约束所容许,必须是无限小的。否 则就可能破坏原质点系的平衡位置,或者改变作用于质点系上主动力的方向。考虑到虚位 移的任意性,我们也可给杆OA以顺时针的虚转角6O,此时,曲柄滑块机构的虚位移图 为OA"B"(见图15-4(b) P 2 15-4 必须强调,虚位移纯粹是一个几何概念,所谓“虚”主要反映了这种位移的人为假设 性,并非真实的位移。众所周知,处于静止状态的质点系,根本就没有实位移。但我们可 以在系统的约束所容许的前提下,给定系统的任意虚位移。同时虚位移又完全取决于约束 的性质及其限制条件,而不是虚无飘缈,也不可随心所欲地假设。 若质点系在某位置受主动力作用,使系统处于运动状态。这时系统的实位移,将取决 于作用于系统上的主动力以及所经历的时间,其位移可以是无限小的,也可以是有限值, 其方向是惟一的。而质点系在该位置时的虚位移与主动力和时间无关,虚位移只能是无限 小值,方向却可以不止一个。这就是虚位移与实位移的区别所在。但在定常约束条件下 质点系在某位置所发生的微小实位移必是其虚位移中的一个(或一组)。因为质点的虚位 移和其无限小实位移都受约束限制,是约束所容许的位移 2.自由度( Degree of freedom) 由于约束的限制,质点系内各质点的虚位移并不独立。那么,一个非自由质点系究竟 有多少个独立的虚位移?于是,把质点系独立的虚位移(或独立坐标变分)数目,称为质 点系的自由度。因为每个独立的虚位移反映了系统一个独立的虚位移形式,自由度数就反 映了系统独立的虚位移形式的数目。例如图15-4中的曲柄滑块机构,独立的虚位移可为 δθ,δθ一旦给定,系统的虚位移形式(虚位移图)就完全确定了,而且任一点的虚位 移都可以用δ表示。 具有定常几何约束的质点系,设质点系包括n个质点,受到s个约束,约束方程为式
4 例如，限制在一个固定平面上的质点 A，在平面上的任一个方向上的无限小位移都是 该质点的虚位移。又如图 15-4(a)中的曲柄滑块机构，在θ 角时处于平衡。但约束容许杆 OA 绕 O 轴转动，我们可给杆 OA 以逆时针的虚转角δθ ，杆 OA 转到OA′ 位置，由于杆 AB 的长度不变和滑道对滑块 B 的限制，杆 AB 只能处于 A′B′ 位置。于是OA′B′ 表示曲柄 滑块机构的虚位移图。系统内的各质点都产生了虚位移，可见，质点系的虚位移是一组虚 位移，而且彼此并不独立。应注意，虚位移必须指明给定的位置（或瞬时），不同位置， 质点或质点系的虚位移并不相同；其次，虚位移必须为约束所容许，必须是无限小的。否 则就可能破坏原质点系的平衡位置，或者改变作用于质点系上主动力的方向。考虑到虚位 移的任意性，我们也可给杆 OA 以顺时针的虚转角δθ ，此时，曲柄滑块机构的虚位移图 为OA′′B′′(见图 15-4(b))。 必须强调，虚位移纯粹是一个几何概念，所谓“虚”主要反映了这种位移的人为假设 性，并非真实的位移。众所周知，处于静止状态的质点系，根本就没有实位移。但我们可 以在系统的约束所容许的前提下，给定系统的任意虚位移。同时虚位移又完全取决于约束 的性质及其限制条件，而不是虚无飘缈，也不可随心所欲地假设。 若质点系在某位置受主动力作用，使系统处于运动状态。这时系统的实位移，将取决 于作用于系统上的主动力以及所经历的时间，其位移可以是无限小的，也可以是有限值， 其方向是惟一的。而质点系在该位置时的虚位移与主动力和时间无关，虚位移只能是无限 小值，方向却可以不止一个。这就是虚位移与实位移的区别所在。但在定常约束条件下， 质点系在某位置所发生的微小实位移必是其虚位移中的一个（或一组）。因为质点的虚位 移和其无限小实位移都受约束限制，是约束所容许的位移。 2．自由度（Degree of freedom） 由于约束的限制，质点系内各质点的虚位移并不独立。那么，一个非自由质点系究竟 有多少个独立的虚位移？于是，把质点系独立的虚位移（或独立坐标变分）数目，称为质 点系的自由度。因为每个独立的虚位移反映了系统一个独立的虚位移形式，自由度数就反 映了系统独立的虚位移形式的数目。例如图 15-4 中的曲柄滑块机构，独立的虚位移可为 δ θ ，δ θ 一旦给定，系统的虚位移形式（虚位移图）就完全确定了，而且任一点的虚位 移都可以用δ θ 表示。 具有定常几何约束的质点系，设质点系包括 n 个质点，受到 s 个约束，约束方程为式 （a） （b） 图 15-4 θ δrA δrB B’ B Q δθ A O A’ P A δrB Q B’’ B A’’ δrA δθ θ O
(15-3),即 x,,y, x,,yu, Im)=0 G=1,2,…s) 对约束方程求一阶变分,则得 6x.+ af,. af ax -Syi a2i 6z|=0(=1,2,…,s) 式(15-5)表示,给质点系的虚位移时,质点系3n个质点的坐标变分应满足s个方程, 也就是说,只有3n-s个变分是独立的。它正好等于质点独立坐标的数目。因此,对于具 有定常几何约束的质点系,确定其几何位置的独立坐标的数目,亦称为质点系的自由度。 3.广义坐标( Generalized coordinates) 在许多实际问题中,采用直角坐标法确定系统的位形并不方便。如上所述,我们可取 3n-s个独立的参数便能完全确定系统的位形,这些定参数可以是长度、角度、弧长等。 能够完全确定质点系位形的独立参数,称为系统的广义坐标。对于定常的几何约束系统, 显然,广义坐标的数目就等于系统的自由度数。 对于我们所讨论的定常的完整系统,如系统具有k=3n-s个自由度,广义坐标以 q,(=1,2,…,k)表示,则任一瞬时系统中每一质点的矢径和直角坐标都可以表示为广义 坐标的函数,即 1,q2 x,=x、(q1 y=y(gr qk (=12…,n) (15-7) 1=2(1,q2 4 图155表示一个在Oxy面内运动二级摆。这个质点系由两个质点组成,受到两个几 何约束,其约束方程为 (g) M1(x1,y2) (x2-x1)2+(v2-y1)2 oM2(x2,y2) 所以,该质点系的广义坐标数(或自由度数)为 k=2 图15-5 系统的位置用两个独立的参变量给定。按照约束方程(g)和(h),两个广义坐标可 以从x1和y中选一个,另一个在x2和y2中选取。也可以选取角仍1和2作为系统的广义 坐标,因为按照约束条件,仍和四2是相互独立的,且一旦给定了1和q2,则质点M和
5 （15-3），即 f (x y z x y z ) ( j s) j n n n , , ; ; , , 0 1, 2, , 1 1 1 " = = " 对约束方程求一阶变分，则得 z ( ) j s z f y y f x x f i i j i i j i i j n i 0 1, 2, , 1 ⎟ ⎟ = = " ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ ∑= δ δ δ （15-5） 式（15-5）表示，给质点系的虚位移时，质点系 3n 个质点的坐标变分应满足 s 个方程， 也就是说，只有 3 n - s 个变分是独立的。它正好等于质点独立坐标的数目。因此，对于具 有定常几何约束的质点系，确定其几何位置的独立坐标的数目，亦称为质点系的自由度。 3．广义坐标（Generalized coordinates） 在许多实际问题中，采用直角坐标法确定系统的位形并不方便。如上所述，我们可取 3 n - s 个独立的参数便能完全确定系统的位形，这些定参数可以是长度、角度、弧长等。 能够完全确定质点系位形的独立参数，称为系统的广义坐标。对于定常的几何约束系统， 显然，广义坐标的数目就等于系统的自由度数。 对于我们所讨论的定常的完整系统，如系统具有 k = 3 n - s 个自由度，广义坐标以 q ( ) i k i =1,2,", 表示，则任一瞬时系统中每一质点的矢径和直角坐标都可以表示为广义 坐标的函数，即 ( ) q q q (i n) i i k , , , 1,2, , r = r 1 2 " = " （15-6） ( ) ( ) ( ) ( ) i n z z q q q y y q q q x x q q q i i k i i k i i k 1,2, , , , , , , , , , , 1 2 1 2 1 2 " " " " = ⎪ ⎭ ⎪ ⎬ ⎫ = = = （15-7） 图 15-5 表示一个在 Oxy 面内运动二级摆。这个质点系由两个质点组成，受到两个几 何约束，其约束方程为 2 1 2 1 2 1 x + y = l （g） ( )( ) 2 2 2 2 1 2 2 1 x − x + y − y = l （h） 所以，该质点系的广义坐标数（或自由度数）为 k = 2n − s = 2 系统的位置用两个独立的参变量给定。按照约束方程（g）和（h），两个广义坐标可 以从 x1 和 y1中选一个，另一个在 x2和 y2 中选取。也可以选取角ϕ1 和ϕ 2 作为系统的广义 坐标，因为按照约束条件，ϕ1 和ϕ 2 是相互独立的，且一旦给定了ϕ1 和ϕ 2 ，则质点 M1和 l2 l1 θ2 θ1 O x y M2(x2，y2) M1(x1，y2) 图 15-5
M2的位置就能惟一地确定。 总之,对于一个给定的非自由质点系,其广义坐标的个数是确定的,但广义坐标的取 法则可有不同。 又如,图15-6中所示的曲柄滑块机构,它在O面内运动。曲柄O4作定轴转动, 需要用一个独立参数确定其位置:连杆AB作平面 运动,需要用三个独立参数确定其位置,两个刚体十 则需要四个独立的参数确定其位置。但对曲柄滑块 机构来说受到如下三个几何约束的限制 2-y1)2+(x2-x2)2 因此,曲柄滑块机构的广义坐标只有一个。可以选取曲柄OA的转角φ作为广义坐标,也 可以取滑块B的坐标xB作为广义坐标,等等。 4.虚位移分析 由于质点系的虚位移中,各质点的虚位移并不独立,正确分析并确定各主动力作用点 的虚位移将成为解题的关键。根据具体问题给定的条件,可选用下列方法分析质点系的虚 位移。 (1)几何法。应用几何学或运动学的方法求各点虚位移间的关系,称为几何法。在几 何法中,首先应根据系统的约束条件,确定系统的自由度,给定系统的虚位移,并正确画 出该系统的虚位移图,然后应用运动学的方法求有关点虚位移间的关系。在运动学中质点 的无限小位移与该点的速度成正比,即dr=νdt。因此,两质点无限小位移大小之比等 于两点速度大小之比。如果把对应于虚位移的速度称之为虚速度,则两质点虚位移大小之 比必等于对应点虚速度大小之比。这样,就可以应用运动学中的速度分析方法(如瞬心法 速度投影法、速度合成定理等)去建立虚位移间的关系。这种方法也称为虚速度法。例如 图15-4(a)中,连杆AB作平面运动,其瞬心为P,A、B两点虚位移大小之比为 Sy, AP·d0AP dyBP·6BP (2)解析法。解析法是指通过变分运算建立虚位移间的关系。若已知质点系的约束方 程,通过变分运算可得虚位移投影间的关系如式(15-5)。一般情况下,将质点系中各质 点的矢径或直角坐标先表示为广义坐标的函数,如式(15-6)或式(15-7),通过一阶变 分,可得 0r,64 qk (=12,…n
6 M2 的位置就能惟一地确定。 总之，对于一个给定的非自由质点系，其广义坐标的个数是确定的，但广义坐标的取 法则可有不同。 又如，图 15-6 中所示的曲柄滑块机构，它在 Oxy 面内运动。曲柄 OA 作定轴转动， 需要用一个独立参数确定其位置；连杆 AB 作平面 运动，需要用三个独立参数确定其位置，两个刚体 则需要四个独立的参数确定其位置。但对曲柄滑块 机构来说受到如下三个几何约束的限制 ( )( ) 0 2 2 2 2 2 2 = − + − = + = B B A B B A A y y y x x l x y r 因此，曲柄滑块机构的广义坐标只有一个。可以选取曲柄 OA 的转角ϕ 作为广义坐标，也 可以取滑块 B 的坐标 xB作为广义坐标，等等。 4．虚位移分析 由于质点系的虚位移中，各质点的虚位移并不独立，正确分析并确定各主动力作用点 的虚位移将成为解题的关键。根据具体问题给定的条件，可选用下列方法分析质点系的虚 位移。 （1）几何法。应用几何学或运动学的方法求各点虚位移间的关系，称为几何法。在几 何法中，首先应根据系统的约束条件，确定系统的自由度，给定系统的虚位移，并正确画 出该系统的虚位移图，然后应用运动学的方法求有关点虚位移间的关系。在运动学中质点 的无限小位移与该点的速度成正比，即dr = v dt 。因此，两质点无限小位移大小之比等 于两点速度大小之比。如果把对应于虚位移的速度称之为虚速度，则两质点虚位移大小之 比必等于对应点虚速度大小之比。这样，就可以应用运动学中的速度分析方法（如瞬心法、 速度投影法、速度合成定理等）去建立虚位移间的关系。这种方法也称为虚速度法。例如 图 15-4（a）中，连杆 AB 作平面运动，其瞬心为 P，A、B 两点虚位移大小之比为 BP AP BP AP B A = ⋅ ⋅ = δ θ δ θ δ γ δ γ （2）解析法。解析法是指通过变分运算建立虚位移间的关系。若已知质点系的约束方 程，通过变分运算可得虚位移投影间的关系如式（15-5）。一般情况下，将质点系中各质 点的矢径或直角坐标先表示为广义坐标的函数，如式（15-6）或式（15-7），通过一阶变 分，可得 q ( ) i n q q q q q k k i i i i 0 1, 2, , 2 2 1 1 " = = " ∂ ∂ + + ∂ ∂ + ∂ ∂ δ = δ δ δ r r r r （15-8） ϕ B O x y r l A 图 15-6
ax ax 6x;"0q 6q1+- q1 q2 axis 0 =y41+y693+…+Oy8 6y;0q1 (=1,2,…n)(19) 084aq2 6=;0q q 084k 式中,δx1、y、61、6q1分别为坐标x;,y1,-,q的变分,q称为广义虚位 E(Generalized virtual displacement) 15-3虚位移原理 在研究虚位移原理时,我们先建立虚功与理想约束的概念。 1.虚功( Virtual work) 作用于质点上的力在其虚位移上所作的功称虚功。设作用于质点上的力F,质点的虚 位移为δr,则力F在虚位移δr上的虚功δW为 6W=F·6r (15-10) 由于虚位移是元位移,所以虚功只有元功的形式,其计算同力在真实小位移上所做的元功。 虚功强调了力与位移的彼此独立性 2.理想约束( Ideal constraint) 在动能定理中,我们曾经讨论过理想约束,现在给出确切定义:若约束反力在质点系 的任一组虚位移上所作虚功之和等于零,则称此约束为理想约束。设第i个质点的反力为 FN,虚位移为δr,理想约束条件可表示为 ∑FNr=0 (15-11) 一般常见的理想约束包括:光滑支承面,各种光滑铰链、轴承、铰链支座,无重刚杆 及不可伸长的柔索,刚体纯滚动时的支承面等。理想约束反映了约束的基本力学特性,无 论是静力学问题或是动力学问题同样适用。理想约束是对实际约束在一定条件下的近似而 今后若无特别说明,非自由质点系则一概视为具有理想约束的质点系,对于哪些需要 考虑虚功的约束反力(如滑动摩擦力)则按主动力处理。 3.虚位移原理 虚位移原理是分析力学的普遍原理之一,在求解静力学问题中有着广泛的应用。虚位 移原理可陈述为 具有双面、定常、理想约束的静止质点系,其继续保持静止的充分与必要条件是:所 有主动力在质点系任何虚位移上的虚功之和等于零。即
7 ( ) i n q q z q q z q q z z q q y q q y q q y y q q x q q x q q x x k k i i i i k k i i i i k k i i i i 1, 2, , 0 0 0 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 " " " " = ⎪ ⎪ ⎪ ⎭ ⎪ ⎪ ⎪ ⎬ ⎫ = ∂ ∂ + + ∂ ∂ + ∂ ∂ = = ∂ ∂ + + ∂ ∂ + ∂ ∂ = = ∂ ∂ + + ∂ ∂ + ∂ ∂ = δ δ δ δ δ δ δ δ δ δ δ δ （15-9） 式中， i δ x 、 i δ y 、 i δ z 、δ qi 分别为坐标 i x ， i y ， i z ， qi 的变分，δ qi 称为广义虚位 移（Generalized virtual displacement）。 §15-3 虚位移原理 在研究虚位移原理时，我们先建立虚功与理想约束的概念。 1．虚功（Virtual work） 作用于质点上的力在其虚位移上所作的功称虚功。设作用于质点上的力 F，质点的虚 位移为δ r ，则力 F 在虚位移δ r 上的虚功δ W 为 δ W = F ⋅δ r （15-10） 由于虚位移是元位移，所以虚功只有元功的形式，其计算同力在真实小位移上所做的元功。 虚功强调了力与位移的彼此独立性。 2．理想约束（Ideal constraint） 在动能定理中，我们曾经讨论过理想约束，现在给出确切定义：若约束反力在质点系 的任一组虚位移上所作虚功之和等于零，则称此约束为理想约束。设第 i 个质点的反力为 FN i，虚位移为 i δ r ，理想约束条件可表示为 ∑ ⋅ = 0 N i i F δ r （15-11） 一般常见的理想约束包括：光滑支承面，各种光滑铰链、轴承、铰链支座，无重刚杆 及不可伸长的柔索，刚体纯滚动时的支承面等。理想约束反映了约束的基本力学特性，无 论是静力学问题或是动力学问题同样适用。理想约束是对实际约束在一定条件下的近似而 已。 今后若无特别说明，非自由质点系则一概视为具有理想约束的质点系，对于哪些需要 考虑虚功的约束反力（如滑动摩擦力）则按主动力处理。 3．虚位移原理 虚位移原理是分析力学的普遍原理之一，在求解静力学问题中有着广泛的应用。虚位 移原理可陈述为： 具有双面、定常、理想约束的静止质点系，其继续保持静止的充分与必要条件是：所 有主动力在质点系任何虚位移上的虚功之和等于零。即
∑F·6r=0 (15-12) 或 ∑(E,δx+F,y+F。6z)=0 (15-13) 式(15-12)和式(15-13)称为虚功方程( Equation of virtual work)。虚功方程又称为静力 学普遍方程。虚位移原理是虚功原理之一。现对原理的必要性和充分性给出证明。 必要性证明:已知质点系处于静止状态,证明式(15-12)必然成立。因为系统处于 静止状态,则系统内每个质点必须处于静止。系统内任一质点的主动力F和约束反力FN 应满足平衡条件 F1+FM1=0 给系统一组虚位移δr(i=1,2,…,n),每个质点上作用力虚功之和等于零。即 (F+F、)r=0(1=1,2,…,n) 对全体求和,得 F,)6r=∑F·。r+∑F;6r=0 (i) 对于理想约束∑FN1r=0,代入式(i),得 F.r=0 必要性得证。 充分性证明:若条件式(15-12)成立,证明系统必继续保持静止。采用反证法。设 在式(15-12)的条件下,系统不平衡,则有些质点(至少一个)必进入运动状态。因质 点系原来处于静止,一旦进入运动状态,其动能必然增加,即在实位移dr中,dT>0 根据质点系动能定理的微分形式,有 dT=∑dW=∑(F+F,)dr>0 对于定常的双面约束,可取微小实位移作为虚位移,即δr=dr。于是式(j)成为 +F)b=∑F·r+∑F。r>0 对于理想约束,∑F18r=0,则
8 ∑ F ⋅δ r = 0 （15-12） 或 ∑ (F x + F y + F z) = 0 xδ yδ zδ （15-13） 式（15-12）和式（15-13）称为虚功方程（Equation of virtual work）。虚功方程又称为静力 学普遍方程。虚位移原理是虚功原理之一。现对原理的必要性和充分性给出证明。 必要性证明：已知质点系处于静止状态，证明式（15-12）必然成立。因为系统处于 静止状态，则系统内每个质点必须处于静止。系统内任一质点的主动力 Fi 和约束反力 FN i 应满足平衡条件 Fi + FNi = 0 给系统一组虚位移 i δ r （i = 1, 2, …, n），每个质点上作用力虚功之和等于零。即 ( ) + ⋅ i = 0 i N i F F δ r （i = 1, 2, …, n） 对全体求和，得 ( ) 0 1 1 1 ∑ + ⋅ = ∑ ⋅ +∑ ⋅ = = = = N i i n i i i n i i N i i n i F F δ r F δ r F δ r （i） 对于理想约束 0 1 ∑ ⋅ = = Ni i n i F δ r ，代入式（i），得 0 1 ∑ ⋅ = = i i n i F δ r 必要性得证。 充分性证明：若条件式（15-12）成立，证明系统必继续保持静止。采用反证法。设 在式（15-12）的条件下，系统不平衡，则有些质点（至少一个）必进入运动状态。因质 点系原来处于静止，一旦进入运动状态，其动能必然增加，即在实位移d r 中，dT > 0。 根据质点系动能定理的微分形式，有 d = ∑ d′ = ∑ ( + )⋅ d > 0 T W i N i i F F r （j） 对于定常的双面约束，可取微小实位移作为虚位移，即 i i δ r = d r 。于是式（j）成为 ∑ ( + )⋅ = ∑ ⋅ + ∑ ⋅ > 0 i N i i i N i i i F F δ r F δ r F δ r 对于理想约束，∑ ⋅ = 0 N i i F δ r ，则
∑F·0r>0 这与题设条件式(15-12)相矛盾。因此,质点系中的每一个质点必须处于静止状态,这 就证明了原理的充分性。 §154虚位移原理的应用 应用虚位移原理可以求解静力学的各种问题:求系统平衡时主动力之间的关系;确定 系统的平衡位置;求静定结构的约束反力。应注意,虚位移原理中并不包含约束反力。欲 求某一约束反力时应将该处的约束解除,代以约束反力,并视其为主动力,这样使系统具 有一定的自由度,就可应用虚位移原理求解。 应用虚位移原理解题的一般步骤是:①以整个系统为对象,分析主动力。②分析系统 的自由度,给出系统的虚位移,求虚位移间的关系。③列虚功方程求解。 例15-1图15-7所示机构中,曲柄OA上作用有力偶M,滑块D上作用水平力P, 机构处于平衡。设曲柄长OA=r,θ角已 r 知,不计摩擦,试求P与M间的关系。 解:本题是求系统平衡时主动力间的 关系,系统具有理想定常约束,可应用虚 位移原理求解 (1)取系统为研究对象,受主动力P 和力偶M作用。 (2)系统具有一个自由度,即具有 个独立的虚位移。取杆OA虚转角δq为独 立虚位移。杆OA和杆BC作定轴转动,杆 图15-7 AB与杆BD作平面运动。A、B、D点的虚位移如图15-7所示。根据虚速度法,则有 dr,cos=era cos 20 8ra cos(90o-20)=8ra sin 20=5yo cos0 可得力P作用点的虚位移 drp=28yB sin 0= 20 ya sin @cos 0/cos 20=rotan 20 (3)根据虚功方程∑F6r=0,得 Mδq-PBrb=0 即 Mδq- Pro otan26=0 由于d的独立性,则得 M= Ertan 26 讨论本题若用静力学方法求解,必须将系统拆开,也必出现内约束反力,求解较烦
9 ∑ ⋅ > 0 i i F δ r 这与题设条件式（15-12）相矛盾。因此，质点系中的每一个质点必须处于静止状态，这 就证明了原理的充分性。 §15.4 虚位移原理的应用 应用虚位移原理可以求解静力学的各种问题：求系统平衡时主动力之间的关系；确定 系统的平衡位置；求静定结构的约束反力。应注意，虚位移原理中并不包含约束反力。欲 求某一约束反力时应将该处的约束解除，代以约束反力，并视其为主动力，这样使系统具 有一定的自由度，就可应用虚位移原理求解。 应用虚位移原理解题的一般步骤是：①以整个系统为对象，分析主动力。②分析系统 的自由度，给出系统的虚位移，求虚位移间的关系。③列虚功方程求解。 例 15-1 图 15-7 所示机构中，曲柄 OA 上作用有力偶 M，滑块 D 上作用水平力 P， 机构处于平衡。设曲柄长 OA = r，θ 角已 知，不计摩擦，试求 P 与 M 间的关系。 解：本题是求系统平衡时主动力间的 关系，系统具有理想定常约束，可应用虚 位移原理求解。 （1）取系统为研究对象，受主动力 P 和力偶 M 作用。 （2）系统具有一个自由度，即具有一 个独立的虚位移。取杆 OA 虚转角δ ϕ 为独 立虚位移。杆 OA 和杆 BC 作定轴转动，杆 AB 与杆 BD 作平面运动。A、B、D 点的虚位移如图 15-7 所示。根据虚速度法，则有 δ γ A = rδ ϕ δ γ A cosθ = δ γ B cos 2θ δ γ cos(90 2θ ) δ γ sin 2θ δ γ cosθ o B − = B = D 可得力 P 作用点的虚位移 δ γ D = 2δ γ B sinθ = 2δ γ A sinθ cosθ / cos 2θ = r δ ϕ tan 2θ （3）根据虚功方程 ∑F ⋅δ r = 0 ，得 M δ ϕ − Pδ rD = 0 即 M δ ϕ − Prδ ϕ tan 2θ = 0 由于 δ ϕ 的独立性，则得 M = Pr tan 2θ 讨论 本题若用静力学方法求解，必须将系统拆开，也必出现内约束反力，求解较烦。 δrD δrB δrA θ θ P O A B M D C δφ θ 图 15-7
而虚位移原理以整体为研究对象,不出现约束反力,这正是分析静力学的优点。 例15-2图15-8所示机构中,杆AB与BC的长度均为l,B点挂有重为W的重物, D、E两点用弹簧连接,且BD=BE=b。已知弹簧 原长为l,刚度系数为k,不计各杆自重,试求机 构的平衡位置(以θ表示)。 解本题为求系统的平衡位置,系统的约束为 定常理想约束,可应用虚位移原理求解。但应注意, 弹簧的内力在D、E两点的相对虚位移上作功 E (1)以机构系统为研究对象。作功的力有重力 W和弹簧的内力。在平衡位置时,弹簧的变形量 λ=2 bcos e-l,E、D两点的弹性力的大小为 F=kn=k(2b cos0-1o) 图15-8 (2)机构有一个自由度,取O角为广义坐标。以xED表示E、D两点间的相对坐标 应用解析法求虚位移。对图示Axy坐标系 yB=Isin 8, xgp 2b cos 8 对上式作一阶变分,得 (3)根据虚功方程∑F·6r=0。则得 wo Fax=0 即 w Icos0 80-k(2bcos0-lo ) (-2bsin0 50=0 由于的独立性,可得 tan 0(2b cos0-10)=W1/2bk 讨论(1)关于弹簧的内力作功,也可将弹簧去掉,在点D和点E代以弹性力,则 按主动力计算弹性力的功,这是一般常用的方法。 (2)虚位移也可几何法计算,但功的计算较烦。请读者按几何法分析各力作用点的 虚位移 例15-3多跨静定如图15-9(a)所示。求在荷载P、Q作用下,支座D的约束反力 已知P=10kN,Q=20kN,图中的长度单位为m。 解图(a)所示的梁的自由度数等于零,不存在任何为约束所允许的位移。为了用 FNDI P Q C D
10 而虚位移原理以整体为研究对象，不出现约束反力，这正是分析静力学的优点。 例 15-2 图 15-8 所示机构中，杆 AB 与 BC 的长度均为 l，B 点挂有重为 W 的重物， D、E 两点用弹簧连接，且 BD = BE =b。已知弹簧 原长为 l0，刚度系数为 k，不计各杆自重，试求机 构的平衡位置（以θ 表示）。 解 本题为求系统的平衡位置，系统的约束为 定常理想约束，可应用虚位移原理求解。但应注意， 弹簧的内力在 D、E 两点的相对虚位移上作功。 （1）以机构系统为研究对象。作功的力有重力 W 和弹簧的内力。在平衡位置时，弹簧的变形量 0 λ = 2bcosθ − l ，E、D 两点的弹性力的大小为 ( ) 0 F = k λ = k 2b cosθ − l （2）机构有一个自由度，取θ 角为广义坐标。以 xED表示 E、D 两点间的相对坐标， 应用解析法求虚位移。对图示 Axy 坐标系 yB = lsinθ ， xED = 2b cosθ 对上式作一阶变分，得 δ yB = l cosθ δθ ，δ xED = −2bsinθ δθ （3）根据虚功方程 ∑F ⋅δ r = 0 。则得 − − = 0 B ED Wδ y F δx 即 −W l cosθ δθ − k(2bcosθ − l0 )(− 2bsinθ )δθ = 0 由于 δθ 的独立性，可得 tan ( ) 2b cos l W l / 2b k θ θ − 0 = 讨论 （1）关于弹簧的内力作功，也可将弹簧去掉，在点 D 和点 E 代以弹性力，则 按主动力计算弹性力的功，这是一般常用的方法。 （2）虚位移也可几何法计算，但功的计算较烦。请读者按几何法分析各力作用点的 虚位移。 例 15-3 多跨静定如图 15-9（a）所示。求在荷载 P、Q 作用下，支座 D 的约束反力。 已知 P = 10kN，Q = 20kN，图中的长度单位为 m。 解 图（a）所示的梁的自由度数等于零，不存在任何为约束所允许的位移。为了用 θ F F W θ E C A y D B x 图 15-8 δrD δrP δrQ δrB D 1 1 1 1 A B C 2 P 图 15-9 Q D A B C FND P Q （a） （b）
