第十八章 单自由度系统的振动
第十八章 单自由度系统的振动
动力号 振动是日常生活和工程实际中常见的现象 例如:钟摆的往复摆动汽车行驶时的颠簸,电动机、机 床等工作时的振动,以及地震时引起的建筑物的振动等。 1.振动-系统在平衡位置附近作往复运动。 2.振动的利弊: 利:振动给料机 弊:磨损,减少寿命,影响强度 振动筛 引起噪声,影响劳动条件 振动沉拔桩机等消耗能量,降低精度等 3.研究振动的目的:消除或减小有害的振动,充分利用振动 为人类服务
振动是日常生活和工程实际中常见的现象。 例如：钟摆的往复摆动,汽车行驶时的颠簸，电动机、机 床等工作时的振动，以及地震时引起的建筑物的振动等。 利：振动给料机 弊：磨损，减少寿命，影响强度 振动筛 引起噪声，影响劳动条件 振动沉拔桩机等 消耗能量，降低精度等。 3. 研究振动的目的：消除或减小有害的振动，充分利用振动 为人类服务。 2. 振动的利弊： 1. 振动-----系统在平衡位置附近作往复运动
动力号 4.振动的分类: 单自由度系统的振动 按振动系统的自由度分类多自由度系统的振动 弹性体的振动 按振动产生的原因分类: 自由振动:无阻尼的自由振动 有阻尼的自由振动(衰减振动) 强迫振动:「无阻尼的强迫振动 有阻尼的强迫振动 自激振动
4. 振动的分类： 单自由度系统的振动 按振动系统的自由度分类 多自由度系统的振动 弹性体的振动 按振动产生的原因分类： 自由振动： 无阻尼的自由振动 有阻尼的自由振动（衰减振动） 强迫振动： 无阻尼的强迫振动 有阻尼的强迫振动 自激振动
动力学 实际中的振动往往很复杂,为了便于研究,需简化为力 学模型。 电动机 振体 质量一弹 簧系统 基础 弹性地基
实际中的振动往往很复杂，为了便于研究，需简化为力 学模型。 质量—弹 簧系统 振 体
动力号 O平衡位置 运动过程中,使物体回到平衡位置的力称为恢复力
运动过程中，使物体回到平衡位置的力称为恢复力
动力号 §12-1单自由度系统无阻尼自由振动 只需用一个独立坐标就可确定振体的位置,这种系统 称为单自由度系统。物体受到初干扰后,仅在恢复力作用 下的振动称为无阻尼自由振动 、振动的微分方程: 图示质量弹簧系统,以平衡位置为0k 坐标原点,则 mg -F=mx F=k(x+8) δ.一振体静止平衡时弹簧的 变形:mg=kδ g x
§12-1 单自由度系统无阻尼自由振动 一、振动的微分方程： 只需用一个独立坐标就可确定振体的位置，这种系统 称为单自由度系统。物体受到初干扰后，仅在恢复力作用 下的振动称为无阻尼自由振动 图示质量——弹簧系统，以平衡位置为 坐标原点，则 mg − F = m x ( ) st F = k x + st st mg k 变形： = — 振体静止平衡时弹簧的
动力号 mx=mg-F=mgk(x+8)=hx 令 k k 则:+2x=0 这就是质量—弹簧系统无阻尼自由振动的 微分方程。 对于其他类型,同理可得。如 mng 9+O+=0 单摆:平 衡 (O=g/7) 位 直
mx mg F mg k x kx = − = − ( + st) = − m k n = 2 令 0 2 则： x + n x = 这就是质量——弹簧系统无阻尼自由振动的 微分方程。 ( / ) 0 2 2 g l n n = + = 对于其他类型，同理可得。如 单摆：
动力号 +n9=0 复摆: 平衡 (of=mga/D) 位置 对于任何一个单自由度系统,以q为广义坐标(从平 衡位置开始量取),则自由振动的微分方程的标准形式: g+ang=0 解为: q= Asin(ant +a q=A@ cos(@t +a)
复摆： ( / ) 0 2 2 mga J n n = + = 对于任何一个单自由度系统，以 q 为广义坐标（从平 衡位置开始量取 ），则自由振动的微分方程的标准形式： 0 2 q +n q = 解为： q = Asin( t +) n q = A cos( t +) n n
动力号 设t=0时,q=q0,q=9o代入上两式得: A=290 ongo a= arc ctg 或 q=C coSan t+Casina,t C1,C2由初始条件决定为C1=q0,C2=q/n q=q0 COSO,t+40 SIn o
0 0 2 2 2 0 0 , arctg q q q A q n n = + = 设 t = 0 时， q = q0 , q = q 0 代入上两式得： 或： q C t C t n n = 1 cos + 2 sin C1，C2由初始条件决定为 q n C1 =q0 , C2 = 0 / t q q q t n n n cos sin 0 0 = +
动力号 A—振体离开平衡位置的最大位移,称为振幅 o+a—相位,决定振体在某瞬时t的位置 α——初相位,决定振体运动的起始位置 T—周期,每振动一次所经历的时间 7=2 f—频率,每秒钟振动的次数,单位:Hz,f=1/7 圆频率,振体在2π秒内振动的次数。On=2x On、f都称为系统的固有频率或自然频率
ωn—— 圆频率，振体在2秒内振动的次数。 ωn=2πf ωn、f 都称为系统的固有频率或自然频率 A——振体离开平衡位置的最大位移，称为振幅 n t + ——相位，决定振体在某瞬时 t 的位置 ——初相位，决定振体运动的起始位置 n T 2 T ——周期，每振动一次所经历的时间 = f —— 频率，每秒钟振动的次数，单位：HZ ， f = 1 / T