第六章扭转 学时】4 内容:扭转的概念及工程实例;传动轴的功率、转速与外力偶矩间的关系;扭矩 和扭矩图。簿壁圆筒扭转,纯剪切的概念,剪切虎克定律,剪应变,剪切弹性 模量,剪应力互等定理。圆轴扭转的剪应力;极惯性矩,抗扭截面模量;扭转强 度条件。扭转超静定问题。矩形截面杆扭转的主要结果。 【基本要求】 1.理解扭转的概念凹2]。 2.掌握扭矩的计算和扭矩图图的绘制1。 3.理解纯剪切的概念[2]。 4.掌握剪切虎克定律和剪应力互等定理叫。 5.掌握圆轴扭转的剪应力及其强度条件叫]。 6.掌握圆轴扭转时的变形及其刚度条件l。 7.了解矩形截面杆扭转的主要结果3l 【重点】扭矩和扭矩图的绘制,剪应力和扭转角及其强度和刚度的计算 【难点】纯剪切的概念,剪切虎克定律及剪应力互等定理
第六章 扭转 【学 时】4 内容：扭转的概念及工程实例；传动轴的功率、转速与外力偶矩间的关系；扭矩 和扭矩图。 簿壁圆筒扭转，纯剪切的概念，剪切虎克定律，剪应变，剪切弹性 模量，剪应力互等定理。圆轴扭转的剪应力；极惯性矩，抗扭截面模量；扭转强 度条件。扭转超静定问题。矩形截面杆扭转的主要结果。 【基本要求】 1．理解扭转的概念[2]。 2．掌握扭矩的计算和扭矩图图的绘制[1]。 3．理解纯剪切的概念 [2]。 4．掌握剪切虎克定律和剪应力互等定理 [1]。 5．掌握圆轴扭转的剪应力及其强度条件[1]。 6．掌握圆轴扭转时的变形及其刚度条件[1]]。 7．了解矩形截面杆扭转的主要结果 [3]。 【重点】扭矩和扭矩图的绘制，剪应力和扭转角及其强度和刚度的计算 【难点】纯剪切的概念，剪切虎克定律及剪应力互等定理
§6-1、外力偶矩的计算 扭转的概念和实例: 受力特点:构件两端受到两个作用面与杆的轴线垂直的、大小相等的、转向 相反的力偶矩作用, 变形特点:使杆件的横截面绕轴线发生相对转动,这时任意两横截面间有相 对角位移,称为扭转角。 实例 轴一一以扭转变形为主的杆件在工程上统称为轴 二、外力偶矩的计算: 在工程实例中,作用在轴上的外力偶的大小常常不直接给出,而是给定轴所 传递的功率和轴的转速。其关系为: M=9550 当传递的功率P的单位为PS(马力,1PS=7355W)上式变为: M=7030 §6-2、扭矩和扭矩图 扭转时的内力计算 1、内力的大小计算:
§6-1、外力偶矩的计算 一、扭转的概念和实例： 受力特点：构件两端受到两个作用面与杆的轴线垂直的、大小相等的、转向 相反的力偶矩作用， 变形特点：使杆件的横截面绕轴线发生相对转动，这时任意两横截面间有相 对角位移，称为扭转角。 实例： 轴——以扭转变形为主的杆件在工程上统称为轴。 二、外力偶矩的计算： 在工程实例中，作用在轴上的外力偶的大小常常不直接给出，而是给定轴所 传递的功率和轴的转速。其关系为： n P M = 9550 当传递的功率 P 的单位为 PS（马力，1PS=735.5W）上式变为： n P M = 7030 §6-2、扭矩和扭矩图 一、扭转时的内力计算： 1、内力的大小计算：
( 左 右 采用截面法 假想用截面将其截开,并取左段研究,为保持平衡,该截面上必定有内力偶 作用。其力偶矩称为扭矩,用T表示: 由平衡方程式得:TM。 2、内力的方向 采用右手螺旋法则: 如果用右手四指表示扭转的转向,则拇指的指向离开截面时规定扭矩为正 若拇指指向截面时,则扭矩为负 注意: 当轴上同时有几个外力偶矩作用时,一般而言,各段截面上的扭矩是不同的 必须分段求出,其一般步骤为:“假截留半,内力代换,内外平衡”。也可用简捷 方法计算而无须画出分离体受力图。其方法为: 受扭转杆件某截面上的扭矩等于截面任一侧外力矩的代数和。外力偶矩的正 负号仍可用右手螺旋法则:以右手四指表示外力偶矩转向,拇指指向离开该截面 (欲求扭矩的截面)时取正值,指向该截面时取负值
采用截面法： 假想用截面将其截开，并取左段研究，为保持平衡，该截面上必定有内力偶 作用。其力偶矩称为扭矩，用 T 表示： 由平衡方程式得：T=M。 2、内力的方向： 采用右手螺旋法则： 如果用右手四指表示扭转的转向，则拇指的指向离开截面时规定扭矩为正； 若拇指指向截面时，则扭矩为负。 注意： 当轴上同时有几个外力偶矩作用时，一般而言，各段截面上的扭矩是不同的， 必须分段求出，其一般步骤为：“假截留半，内力代换，内外平衡”。也可用简捷 方法计算而无须画出分离体受力图。其方法为： 受扭转杆件某截面上的扭矩等于截面任一侧外力矩的代数和。外力偶矩的正 负号仍可用右手螺旋法则：以右手四指表示外力偶矩转向，拇指指向离开该截面 （欲求扭矩的截面）时取正值，指向该截面时取负值
二、扭矩图 为直观地表示沿轴线各截面上扭矩的变化规律,取平行于轴线的横坐标表示横截 面的位置,用纵坐标表示扭矩的代数值,画出各截面扭矩的变化图,称为扭矩图 、举例: 1、一轴受外力偶作用如图所示,求指定横截面1-1,2-2,3-3,4-4上的扭矩, 并画出其扭矩图 解:1-1截面左侧外力偶个数比右侧少,考虑左侧计算。因1-1截面外法线水 平向右,应用右手螺旋法则,则M为正,M2为负: T=M1M2=2-75=-55KNm,负值说明该截面扭矩为负,所设方向与实际方 向相反。 考虑2-2截面右侧计算T2,该截面外法线水平向左。 T2=-M5-M4=-1-2.5=-3.5KNm。 考虑3-3截面右侧计算T3 T3=Ms=-1KNm。 考虑44截面左侧计算T4 T4=M1=2KNm。 2、试绘制扭矩图,说明图中轴上3个轮子如何布置比较合理? 1kN·m 解:把3个轮子可能的布置情况都画出来,然后分别画出其扭矩图,比较哪种布
二、扭矩图： 为直观地表示沿轴线各截面上扭矩的变化规律，取平行于轴线的横坐标表示横截 面的位置，用纵坐标表示扭矩的代数值，画出各截面扭矩的变化图，称为扭矩图。 三、举例： 1、一轴受外力偶作用如图所示，求指定横截面 1-1，2-2，3-3，4-4 上的扭矩， 并画出其扭矩图。 解：1-1 截面左侧外力偶个数比右侧少，考虑左侧计算。因 1-1 截面外法线水 平向右，应用右手螺旋法则，则 M1 为正，M2 为负： T1=M1-M2=2-7.5= - 5.5KNm，负值说明该截面扭矩为负，所设方向与实际方 向相反。 考虑 2-2 截面右侧计算 T2，该截面外法线水平向左。 T2= - M5-M4= - 1-2.5= - 3.5KNm。 考虑 3-3 截面右侧计算 T3： T3=-M5= - 1KNm。 考虑 4-4 截面左侧计算 T4： T4=M1=2KNm。 2、试绘制扭矩图，说明图中轴上 3 个轮子如何布置比较合理？ 解：把 3 个轮子可能的布置情况都画出来，然后分别画出其扭矩图，比较哪种布
置时Tmax为最小,则哪种布置就合理。 §6-3、圆轴扭转时的应力 变形的几何关系: 取一左端固定的易变形的圆形截面直杆,在此圆轴的表面各画两条相平行的 圆周线和纵向线。 〔O 在轴的右端施加一个力偶矩M使其产生扭转变形,可观察到如下现象: 圆周线的形状和大小不变,相邻两圆周线的间距保持不变,仅绕轴线作 相对转动 2、纵向线均倾斜了一角度。 依上述现象,可作出如下假设:圆轴扭转变形后,横截面仍保持为平面,且 其形状大小不变,横截面上的半径仍保持为直线,即横截面刚性地绕轴线作相对 转动,这就是平面截面假设。当然,不同的横截面转动的角度是不同的,所以截 面间发生了相对错动,这表明,横截面不存在正应力而仅有垂直于半径方向的切 应力 圆轴表面的纵向直线的倾斜角即为其切应变,为了弄清横截面上各点切应变的分
置时 Tmax 为最小，则哪种布置就合理。 §6-3、圆轴扭转时的应力 一、变形的几何关系： 取一左端固定的易变形的圆形截面直杆，在此圆轴的表面各画两条相平行的 圆周线和纵向线。 在轴的右端施加一个力偶矩 M 使其产生扭转变形，可观察到如下现象： 1、圆周线的形状和大小不变，相邻两圆周线的间距保持不变，仅绕轴线作 相对转动。 2、纵向线均倾斜了一角度。 依上述现象，可作出如下假设：圆轴扭转变形后，横截面仍保持为平面，且 其形状大小不变，横截面上的半径仍保持为直线，即横截面刚性地绕轴线作相对 转动，这就是平面截面假设。当然，不同的横截面转动的角度是不同的，所以截 面间发生了相对错动，这表明，横截面不存在正应力而仅有垂直于半径方向的切 应力。 圆轴表面的纵向直线的倾斜角即为其切应变，为了弄清横截面上各点切应变的分
布规律及其与圆轴表面的切应变的关系,从圆轴中取出长为dx的微段来研究: 设截面2-2相对于截面1-1转过了一个角度d中,微段表面上的纵向线KA由 于扭转而倾斜到KA,表面的切应变为γ。 为了研究距圆心为p的里层圆柱面上的切应变Y,设想将半径为p的圆柱 体取出,其圆柱面上的纵向线LB由于扭转倾斜到LB,Y。为其切应变,可得: AARo y≈tany= Ka d y。≈tao1pDB dx 由图可知dψ/dx=Y/R,所以在同一横截面上dψ/x是一个常数,因此各点 的切应变Y与该点到圆心的距离p成正比 二、应力应变关系: 切应力与切应变之间存在一定的关系,这是剪切虎克定律: T=GY
布规律及其与圆轴表面的切应变的关系，从圆轴中取出长为 dx 的微段来研究： 设截面 2-2 相对于截面 1-1 转过了一个角度 dψ，微段表面上的纵向线 KA 由 于扭转而倾斜到 KA/，表面的切应变为γ。 为了研究距圆心为ρ的里层圆柱面上的切应变γρ，设想将半径为ρ的圆柱 体取出，其圆柱面上的纵向线 LB 由于扭转倾斜到 LB/，γρ为其切应变，可得： dx Rd KA AA = = / tan dx d LB BB = = / tan 由图可知 dψ/dx=γ/R，所以在同一横截面上 dψ/dx 是一个常数，因此各点 的切应变γ与该点到圆心的距离ρ成正比。 二、应力应变关系： 切应力与切应变之间存在一定的关系，这是剪切虎克定律： τ=Gγ
由此可得圆轴扭转时横截面上各点的切应力为 这是横截面上切应力的变化规律,显然,各点的切应力与该点到圆心的距离 p成正比,即轴线处的切应力为零,圆轴外表面切应力最大。 、静力学关系 为计算切应力的数值,必须从静力学方面来考虑,建立切应力与扭矩T之间 的关系。设dA为距截面中心ρ处的微面积,则pτdA为作用在微面积上的力τ dA对截面中心之矩,整个横截面上这些力矩的合成结果应等于扭矩T,即 da RiME T -lpr dA 上式表明了切应力与扭矩的关系
由此可得圆轴扭转时横截面上各点的切应力为： dx d G G = = 这是横截面上切应力的变化规律，显然，各点的切应力与该点到圆心的距离 ρ成正比，即轴线处的切应力为零，圆轴外表面切应力最大。 三、静力学关系： 为计算切应力的数值，必须从静力学方面来考虑，建立切应力与扭矩 T 之间 的关系。设 dA 为距截面中心ρ处的微面积，则ρτdA 为作用在微面积上的力τ dA 对截面中心之矩，整个横截面上这些力矩的合成结果应等于扭矩 T，即： T = dA 上式表明了切应力与扭矩的关系
T=Gy=G dx代入上式得: T=Gp2 da=Gpda 式中的积分J戶a只与圆轴的横截面尺寸有关,称为横截面的极惯性矩,以 Ip表示,即1=p2d 于是上式可写为: T=Glpdψdx或d中/dx=T/GIP) 将上式代入 dx得: p/1 这就是等直圆轴扭转时横截面上任一点处切应力的计算公式,显然,当p=R 时,切应力达到最大值 T ma=TR/Ip. 若设Wp=IP/R,则τm=wpa 式中WP一抗扭截面系数,单位为m3。 为计算圆轴的极惯性矩,可在横截面上距圆心为ρ处取一宽为dρ的圆环形 微面积dA,将dA=2mpdp代入1=Pa得到 Ip=pdA=2xEEp' dp=2a 抗扭截面系数Wp=Ip/R成为 Wp=lp/R=d/16 对于内外径比为dD=α的空心圆截面,其极惯性矩和抗扭截面系数分别为
将 dx d G G = = 代入上式得： = = dA dx d dA G dx d T G 2 2 式中的积分 dA 2 只与圆轴的横截面尺寸有关，称为横截面的极惯性矩，以 IP 表示，即 IP= dA 2 于是上式可写为： T=GIPdψ/dx 或 dψ/dx=T/(GIP) 将上式代入 dx d G G = = 得： τρ=Tρ/IP。 这就是等直圆轴扭转时横截面上任一点处切应力的计算公式，显然，当ρ=R 时，切应力达到最大值： τmax=TR/IP。 若设 WP=IP/R，则τmax=T/WP。 式中 WP——抗扭截面系数，单位为 m3。 为计算圆轴的极惯性矩，可在横截面上距圆心为ρ处取一宽为 dρ的圆环形 微面积 dA，将 dA=2πρdρ代入 IP= dA 2 得到： 32 2 4 2 0 2 3 d I dA d d P = = = 抗扭截面系数 WP=IP/R 成为： WP=IP/R=πd 3 /16 对于内外径比为 d/D=α的空心圆截面，其极惯性矩和抗扭截面系数分别为：
D §6-4、圆轴扭转时的强度计算 强度条件: 圆轴扭转时橫截面上的最大切应力发生在距截面中羽最远处,为了保证圆轴 扭转时具有足够的强度,必须使轴内横截面上的最大切应力不超过轴的许用切应 力,故其强度条件为 T 、举例: 1、机床变速箱第I轴如图所示,轴传递的功率为P=5.5KW,转速n=200r/min, 材料为45号钢,[τ}40Mpa,试按强度条件初步设计直径d
( ) ( ) 4 3 4 4 1 16 1 32 = − = − D W D I P P §6-4、圆轴扭转时的强度计算 一、强度条件： 圆轴扭转时横截面上的最大切应力发生在距截面中羽最远处，为了保证圆轴 扭转时具有足够的强度，必须使轴内横截面上的最大切应力不超过轴的许用切应 力，故其强度条件为： [ ] max = WP T 二、举例： 1、机床变速箱第 II 轴如图所示，轴传递的功率为 P=5.5KW，转速 n=200r/min， 材料为 45 号钢，[τ]=40Mpa，试按强度条件初步设计直径 d
解:计算外力偶矩:M9550P/=9550X5.5/200=262.5Nm。 设计轴径 ≤[] 262.6×103 > 丌 取d=34mm 2、某矿山机械的减速器中一实心轴,直径d=60mm,材料的许用扭应力 [τ=40Mpa,转速n=1200rmin,试求轴所传递的功率 解:轴所承受的外力偶矩M=T。 zd]=×603×40=16965Nm ∴T≤16 轴所传递的功率为 D、M·n 9550 1696.5×1200 9550=2132KW §6-5、圆轴扭转时的变形和刚度计算 圆轴扭转时的变形和刚度计算: 圆轴扭转时,两横截面相对转过的角度称为这两截面的相对扭转角,简称扭 转角。 由公式可得相距dx的两横截面间的相对扭转角为:
解：计算外力偶矩：M=9550P/n=9550X5.5/200=262.5Nm。 设计轴径： [ ] 16 3 d T ， (mm) T d 32.2 40 16 262.6 10 [ ] 16 3 3 3 = = 取 d=34mm。 2、某矿山机械的减速器中一实心轴，直径 d=60mm，材料的许用扭应力 [τ]=40Mpa，转速 n=1200r/min，试求轴所传递的功率。 解：轴所承受的外力偶矩 M=T。 T≤[τ]W。 ∴T≤ d 60 40 1696.5Nm 16 [ ] 16 3 3 = = 。 轴所传递的功率为： KW M n T n P 213.2 9550 1696.5 1200 9550 9550 = = = 。 §6-5、圆轴扭转时的变形和刚度计算 一、圆轴扭转时的变形和刚度计算： 圆轴扭转时，两横截面相对转过的角度称为这两截面的相对扭转角，简称扭 转角。 由公式可得相距 dx 的两横截面间的相对扭转角为：