第七章截面的几何性质 【学时】2 内容:静距、惯性矩、惯性积、惯性半径,简单图形和组合图形静矩的计算及形 心位置的确定。简单图形惯性矩和惯性积的计算;平行移轴公式、转轴公式;组 合图形惯性矩和惯性积的计算。形心主惯性轴和形心主惯性知 【基本要求】 1.理解静距、惯性矩、惯性积、惯性半径的概念。 2.掌握简单图形和组合图形静矩的计算及形心位置的确定叫。 3.掌握简单图形惯性矩和惯性积的计算叫。 4.掌握平行移轴公式叫。 5.了解转轴公式3 6.掌握组合图形惯性矩和惯性积的计算叫。 7.了解形心主惯性轴和形心主惯性矩。 【重点】简单图形和组合图形静矩的计算及形心位置的确定,简单图形惯性矩的 计算;平行移轴公式;组合图形惯性矩的计算。 【难点】组合图形惯性矩的计算,转轴公式,形心主惯性矩
第七章 截面的几何性质 【学 时】2 内容：静距、惯性矩、惯性积、惯性半径，简单图形和组合图形静矩的计算及形 心位置的确定。简单图形惯性矩和惯性积的计算；平行移轴公式、转轴公式；组 合图形惯性矩和惯性积的计算。形心主惯性轴和形心主惯性矩。 【基本要求】 1．理解静距、惯性矩、惯性积、惯性半径的概念[2]。 2．掌握简单图形和组合图形静矩的计算及形心位置的确定[1]。 3．掌握简单图形惯性矩和惯性积的计算[1]。 4．掌握平行移轴公式[1]。 5．了解转轴公式[3]。 6．掌握组合图形惯性矩和惯性积的计算 [1]。 7．了解形心主惯性轴和形心主惯性矩 [3]。 【重点】简单图形和组合图形静矩的计算及形心位置的确定，简单图形惯性矩的 计算；平行移轴公式；组合图形惯性矩的计算。 【难点】组合图形惯性矩的计算,转轴公式，形心主惯性矩
§7-1面积矩与形心位置 、面积(对轴)矩: ds, =dAy =dA.x S-as = yda 、形心: 例1试确定下图的形心。 解:用正负面积法解之。 C1(0,0) 1用正面积法求解, C2(-35,60) 图形分割及坐标如图x二不4+电 A A1+A2 35×10×110 10×10+80020.3 C1(0,0) 60x10×110 2(5,5) 10×110+80×10 2用负面积法求解 图形分割及坐标如图 ∑xA4+x425(-7010) 20.3 A A+A,120x80-70x110
§7-1 面积矩与形心位置 一、面积（对轴）矩： S A y x d =d S Ax y d =d = = = = A A y y A A x x S S x A S S y A d d d d 二、形心： 例 1 试确定下图的形心。 解 ：用正负面积法解之。 1.用正面积法求解， 图形分割及坐标如图 1 2 1 1 2 2 A A x A x A A x A x i i + + = = 20.3 10 110 80 10 35 10 110 =− + − = 34.7 10 110 80 10 60 10 110 = + y= 2.用负面积法求解， 图形分割及坐标如图 1 2 1 1 2 2 A A x A x A A x A x i i + + = = 20.3 120 80 70 110 5 ( 70 110) =− − − = dA x y y x 80 120 10 10 x y C2 C1 C1(0,0) C2(-35,60) C1（0,0） C2（5,5） C 2 负面积 C 1 x y
§7-2惯性矩、惯性积、极惯性矩 惯性矩 1 =yda I A 极惯性矩 ld=+, 三、惯性积 如果x或y是对称轴,则kxy=0 (1)惯性矩是对一定的轴而言的,同一图形对不同的轴的惯性矩一般不同 (2)惯性矩恒为正值,其量纲和单位与极惯性矩相同。 (3)图形对任一点的极惯性矩,等于图形对通过此点且在其平面内的任一对正 交轴惯性矩之和。 (4)图形对一对正交轴的惯性矩和对坐标原点的极惯矩的几何关系 p2=y+z 将上述关系式代入上式得 ∫p3d4=J(2+=2)l1即1n=1+1
§7-2 惯性矩、惯性积、极惯性矩 一、 惯性矩 = = A y A I x y dA I x dA 2 2 二、极惯性矩 x y A I = A=I +I d 2 三、 惯性积 = A I xy xydA 如果 x 或 y 是对称轴，则 Ixy =0 （1）惯性矩是对一定的轴而言的，同一图形对不同的轴的惯性矩一般不同。 （2）惯性矩恒为正值，其量纲和单位与极惯性矩相同。 （3）图形对任一点的极惯性矩，等于图形对通过此点且在其平面内的任一对正 交轴惯性矩之和。 （4）图形对一对正交轴的惯性矩和对坐标原点的极惯矩的几何关系 ρ2 =y 2 +z 2 将上述关系式代入上式得 = + = = + A A A A y dA z dA I dA y z dA 2 2 2 2 2 ( ) 即 Iρ=Iz+Iy dA x y y x
例1、求矩形截面对正交对称轴y、z的惯性矩。 解:先求I。取微面积dA=b.dy,得 l2=「,ybd=2y3by= 12 同理 hd= 例2、求圆截面形心轴y、z的惯性矩 解:圆截面对其圆心的极惯性矩为 TD 32 64 同理可得空心圆截面,过形心的y、z轴的惯性矩为 I=I (D4-d4) 6 式中:a=d
例 1、求矩形截面对正交对称轴 y、z 的惯性矩。 解：先求 Iz。取微面积 dA=b.dy，得 12 3 2 2 2 2 bh I y bdy y bdy h h A z = = = − 同理 12 3 2 2 2 2 hb I z hdz z hdz b b A y = = = − 例 2、求圆截面形心轴 y、z 的惯性矩。 解：圆截面对其圆心的极惯性矩为 32 4 D I = 2 64 4 I D I I p z y = = = 同理可得空心圆截面，过形心的 y、z 轴的惯性矩为 Iy=IZ= (1 ) 64 ( ) 64 4 4 4 4 − = − D D d 式中： D d =
§7-3惯性矩和惯性积的平行移轴定理 、惯性矩和惯性积的平行移轴公式 任意平面图形的形心为C、面积为A,z、y为一对正交的形心轴,z、y1为与形心轴平 行的另一对正交轴,平行轴间的距离分别为a和b。已知图形对形心轴的惯性矩I2、I,和惯 性积Ix,现求图形对z1、y轴的惯性矩Ia、Iy和惯性积Ⅰ.。根据惯性矩的定义得: 14=「,y2d4=J(y+a3 da+ 1,+2asz +a'A 因z轴为形心轴,故S2=0,因此可得 同理 Ⅰ=+b2A 以上两式称为惯性矩和惯性积的平行移轴公式。公式表明:平面图形对任一轴的惯性矩 等于图形对平行于该轴的形心轴的惯性矩,加上图形面积与两轴间距离平方的乘积。图形对 任一对正交轴的惯性积,等于图形对平行于该正交轴的正交形心轴的惯性积,加上图形面积 与其形心坐标的乘积。由于乘积a2A、b2A恒为正,因此,图形对于形心轴的惯性矩是对所有 平行轴的惯性矩为最小。 注意平行移轴公式应用条件:(1)即y、z轴心须是通过形心的轴。(2)z1、y轴必须分 别与y、z轴平行 、组合截面惯性矩计算
§7-3 惯性矩和惯性积的平行移轴定理 一、惯性矩和惯性积的平行移轴公式 任意平面图形的形心为 C、面积为 A，z、y 为一对正交的形心轴，z1、y1 为与形心轴平 行的另一对正交轴，平行轴间的距离分别为 a 和 b。已知图形对形心轴的惯性矩 Iz、Iy 和惯 性积 Izy，现求图形对 z1、y1 轴的惯性矩 IZ1、Iy1 和惯性积 1 1 z y I 。根据惯性矩的定义得： I aS a A y dA a ydA a dA I y dA y a dA z Z A A A A A z 2 2 2 2 2 1 2 2 ( ) 1 = + + + + = = = + 因 z 轴为形心轴，故 SZ=0，因此可得 = + = + I I b A I I a A y y z Z 2 2 1 1 I z y = I zy + abA 1 1 以上两式称为惯性矩和惯性积的平行移轴公式。公式表明：平面图形对任一轴的惯性矩， 等于图形对平行于该轴的形心轴的惯性矩，加上图形面积与两轴间距离平方的乘积。图形对 任一对正交轴的惯性积，等于图形对平行于该正交轴的正交形心轴的惯性积，加上图形面积 与其形心坐标的乘积。由于乘积 a 2 A、b 2 A 恒为正，因此，图形对于形心轴的惯性矩是对所有 平行轴的惯性矩为最小。 注意平行移轴公式应用条件：（1）即 y、z 轴心须是通过形心的轴。（2）z1、y1 轴必须分 别与 y、z 轴平行。 二、组合截面惯性矩计算 同理
根据惯性矩的定义可知,组合图形对某一轴的惯性矩,等于其各组成部分简单图形对该 轴惯性矩之和,即 在计算组合图形对z、y轴的惯性矩时,将组合图形分成若干个简单图形,然后利用平 行移轴的公式计算出各简单图形对y、z轴的惯性矩并求和 例5:试计算T形截面对形心轴z、y的惯性矩。图中尺寸单位为m。 解:(1)确定形心位置 由于y轴为截面的对称轴,形心必在y轴上,故z=0。为确定y,选参考坐标系ozy 将T形分割为两个矩形,它们的面积和形心坐标分别为 A2=0.5×0.12=0.06m2 y=0.58+0.06=0.64m A2=0.25×0.58=0.145m2 =0.29m ∑AyAy1+A22006×0.64+0.45×029 0.392n 0.06+0.145 (2)计算截面对形心轴的惯性矩。 整个截面对y、z轴的惯性矩应分别等于组成它的两个矩形对y、z轴惯性矩之和。而两 矩形对z轴的惯性矩应根据平行移轴公式计算,即 12=12+l2=l20+Aa2+l2+A2a2 0.5×0.123 +0.12×0.5×0.248 0.25×0. al =9.33×10-3m4
根据惯性矩的定义可知，组合图形对某一轴的惯性矩，等于其各组成部分简单图形对该 轴惯性矩之和，即 i i y y z z I = I I = I 在计算组合图形对 z、y 轴的惯性矩时，将组合图形分成若干个简单图形，然后利用平 行移轴的公式计算出各简单图形对 y、z 轴的惯性矩并求和。 例 5： 试计算 T 形截面对形心轴 z、y 的惯性矩。图中尺寸单位为 m。 解：（1）确定形心位置 由于 y 轴为截面的对称轴，形心必在 y 轴上，故 zc=0。为确定 yc，选参考坐标系 oz1y。 将 T 形分割为两个矩形，它们的面积和形心坐标分别为 A1=0.5×0.12=0.06m2 y1=0.58+0.06=0.64m A2=0.25×0.58=0.145m2 y2= 0.29m 2 0.58 = m A A A y A Y A A y y i i c 0.392 0.06 0.145 0.06 0.64 0.145 0.29 1 2 1 1 2 2 = + + = + + = = （2）计算截面对形心轴的惯性矩。 整个截面对 y、z 轴的惯性矩应分别等于组成它的两个矩形对 y、z 轴惯性矩之和。而两 矩形对 z 轴的惯性矩应根据平行移轴公式计算，即 3 4 2 3 2 3 2 2 2 2 1 1 9.33 10 0.25 0.58 0.102 12 0.25 0.58 0.12 0.5 0.248 12 0.5 0.12 1 2 1 2 m I z I z I z I z c A a I z c A a − = + + + = = + = + + +
由于y轴通过两个矩形的形心,故可直接计算它们对y轴的惯性矩,即 0.12×0.530.58×0.253 =2×10-3m 12 例6:计算图形对z轴的惯性矩。图中尺寸单位 为mm。 解:图形可看成的矩形减去两个圆形而得到 由 200 ×120×2003=8×107m 1-=2( 2) 2(×804+2×802×502)=291×107mm 12=12-12=8×107-291×107=509×107mm 例7:由两个NO.20a槽钢组成的截面。试问:(1)当两槽钢相距a=50mm时,对形心轴 z、y的惯性矩哪个较大,其值各为多少?(2)如果使I,=I2,a值应为多少? 解:(1)由附录的型钢表查得NO.20a槽钢 A=2.844×103mm2 =178×10°mm1,.=128×10°mm (2)当a=50mm时,I2、I,的值为
由于 y 轴通过两个矩形的形心，故可直接计算它们对 y 轴的惯性矩，即 3 4 3 3 2 10 12 0.58 0.25 12 0.12 0.5 1 2 m I I I y y y − = + = = + 例 6：计算图形对 z 轴的惯性矩。图中尺寸单位 为 mm。 解：图形可看成的矩形减去两个圆形而得到。 由 4 2 2 7 4 2 4 2 3 7 4 3 80 50 ) 2.91 10 4 80 64 2( ) 64 4 2( 120 200 8 10 12 1 12 2 1 mm a D D I mm bh I z z = + = = + = = = 故 7 7 7 4 8 10 2.91 10 5.09 10 I z = I z1 − I z2 = − = mm 例 7： 由两个 NO.20a 槽钢组成的截面。试问：（1）当两槽钢相距 a=50mm 时,对形心轴 z、y 的惯性矩哪个较大，其值各为多少？（2）如果使 Iy=Iz，a 值应为多少？ 解：（1）由附录的型钢表查得 NO.20a 槽钢： A=2.844×103 mm 2 z0=20.1mm 6 4 6 4 I 17.8 10 mm I 1.28 10 mm c c x = y = (2)当 a=50mm 时，Iz、Iy 的值为
.=2=2×178×106=35.6×10°mm4 1,=2×[1+(z+)2.A (3)欲使I=I,确定a的值。由计算 =2×128×10°+(20.1+)2×2884×103 14.292×10°mm 结果可知,I2>I,适当加大a值,可使Iy=I l,=2xx+(=+7)2=l 2×[1.28×10°+(20.1+)2×2884×103]=356×10 解得 a=111.2mm 计算结果表明,当a=111.2m时,截面对z、y轴的惯性矩相等,即I=I,=35.6×10°m'。 §7-4惯性矩和惯性积的转轴定理*截面的主惯性轴和主惯性矩 、惯性矩和惯性积的转轴公式 任意截面图形,已知:图形对z、y轴的惯性矩和惯性积I、I,和Ix,ozy坐标系绕0 点转动一角度a。求图形对z、y1轴的惯性矩和惯性性积l:、l,、l1 可以证明,图形对转动前后两对正交坐标轴的惯性矩和惯性积之间存在如下关系: cos 2a-I sin 2a I+// 三cos2a+Isin2a
6 4 6 2 3 2 0 6 6 4 14.292 10 ) 2.884 10 ] 2 50 2 [1.28 10 (20.1 ) ] 2 2 [ ( 2 2 17.8 10 35.6 10 mm A a I I Z I I mm c c y y z z = = + + = + + = = = （3）欲使 Iy=Iz，确定 a 的值。由计算 结果可知，Iz＞Iy，适当加大 a 值，可使 Iy=I y y z A I a I I z c = + + ) ] = 2 2 [ ( 2 0 即 6 2 3 6 ) 2.884 10 ] 35.6 10 2 2[1.2810 + (20.1+ = a 解得 a=111.2mm 计算结果表明，当 a=111.2mm 时,截面对 z、y 轴的惯性矩相等，即 Iz=Iy=35.6×106 mm 4。 §7-4 惯性矩和惯性积的转轴定理* 截面的主惯性轴和主惯性矩 一、惯性矩和惯性积的转轴公式 任意截面图形，已知：图形对 z、y 轴的惯性矩和惯性积 Iz 、、Iy 和 Izy，ozy 坐标系绕 O 点转动一角度α。求图形对 z1、y1 轴的惯性矩和惯性性积 1 z I 、 1 y I 、 1 1 z y I 。 可以证明，图形对转动前后两对正交坐标轴的惯性矩和惯性积之间存在如下关系： + − − + = − − + + = I a I I I I I I I I I I I z y z y z y y z y z y z y z cos 2 sin 2 2 2 cos 2 sin 2 2 2 1 1
sin 2a+ cos 2a 上式称为惯性矩和惯性积的转轴公式。α角的正负号规定为:从z轴转到z1轴,逆时针 转为正,顺时针转为负。 将式中两式等号两边分别相加,可得 L+l=l+ 上式说明,图形对通过同一点的任意一对正交坐标轴惯性矩之和为一常数 形心主惯性轴(形心主轴)和形心主惯性矩 1、定义:使惯性积Ix等于零的一对正交的坐标轴,x、y称为主惯性轴(主 轴),截面对主轴的惯性矩称为主惯性矩。通过截面形心的主轴称为形心主轴 截面对形心主轴的惯性矩称为形心主惯性矩 2、形心主轴位置的确定 由惯性积的转轴公式知,惯性积Ⅰ是α角的连续函数,设α=ao时,令惯性积等于零, 2 20,+I cos 2a, =0 得 式为确定主轴位置的公式。由此式求出a后,将a。代入惯性矩的计算公式即可算出主惯性 矩的大小 3、形心主主惯性矩是图形对各轴(通过形心)的惯性矩中的最大值和最小值
sin 2 cos 2 2 1 1 zy z y z y I I I I + − = 上式称为惯性矩和惯性积的转轴公式。α角的正负号规定为：从 z 轴转到 z1 轴，逆时针 转为正，顺时针转为负。 将式中两式等号两边分别相加，可得 z y z y I + I = I + I 1 1 上式说明，图形对通过同一点的任意一对正交坐标轴惯性矩之和为一常数。 二、形心主惯性轴（形心主轴）和形心主惯性矩 1、定义：使惯性积 Ixy 等于零的一对正交的坐标轴，x、y 称为主惯性轴（主 轴），截面对主轴的惯性矩称为主惯性矩。通过截面形心的主轴称为形心主轴。 截面对形心主轴的惯性矩称为形心主惯性矩。 2、形心主轴位置的确定 由惯性积的转轴公式知，惯性积 1 1 z y I 是α角的连续函数，设α=α0 时，令惯性积等于零， 即 sin 2 cos 2 0 2 0 + 0 = − zy z y I I I 得 z Y zy I I I tg − = − 2 2 0 式为确定主轴位置的公式。由此式求出α0 后，将α0 代入惯性矩的计算公式即可算出主惯性 矩的大小。 3、形心主主惯性矩是图形对各轴（通过形心）的惯性矩中的最大值和最小值
4、具有对称轴的图形,对称轴就是形心主轴(如果图形有两根对称轴,则该两轴都为 形心主轴。有一根对称轴,则此轴必定是形心主轴,而另一根形心主轴通过形心,并与对称 轴垂直。 5、如果图形具有三根或更多根对称轴,过图形形心的任何轴都是形心主轴,且图形对 其任一形心主轴的惯性矩都相等(等边形状的图形)
4、具有对称轴的图形，对称轴就是形心主轴（如果图形有两根对称轴，则该两轴都为 形心主轴。有一根对称轴，则此轴必定是形心主轴，而另一根形心主轴通过形心，并与对称 轴垂直。 5、如果图形具有三根或更多根对称轴，过图形形心的任何轴都是形心主轴，且图形对 其任一形心主轴的惯性矩都相等（等边形状的图形）
