第十二章组合变形 【学时】4 内容:组合变形的概念及工程实例;斜弯曲时的应力和强度计算;拉(压)与弯 曲组合时应力和强度计算;偏心压缩(拉伸);截面核心;弯曲与扭转组合时的 强度计算。 基本要求:【基本要求】 1.理解组合变形的概念2 2.掌握斜弯曲时的应力和强度计算Ⅲ 3.掌握拉(压)与弯曲组合时应力和强度计算l 4.理解偏心压缩(拉伸)巴2]。 5.了解截面核心的概念围 6.掌握弯曲与扭转组合时的强度计算。 重点:【重点】斜弯曲,弯扭组合时的强度计算 难点:【难点】截面核心
第十二章 组合变形 【学 时】4 内容：组合变形的概念及工程实例；斜弯曲时的应力和强度计算；拉（压）与弯 曲组合时应力和强度计算；偏心压缩（拉伸）；截面核心；弯曲与扭转组合时的 强度计算。 基本要求：【基本要求】 1．理解组合变形的概念[2]。 2．掌握斜弯曲时的应力和强度计算[1]。 3．掌握拉（压）与弯曲组合时应力和强度计算[1]。 4．理解偏心压缩（拉伸）[2]。 5．了解截面核心的概念[3]。 6．掌握弯曲与扭转组合时的强度计算[1]。 重点：【重点】斜弯曲，弯扭组合时的强度计算 难点：【难点】截面核心
§12-1概述 、组合变形:在复杂外载作用下,构件的变形会包含几种简单变形,当几种 变形所对应的应力属同一量级时,不能忽略之,这类构件的变形称为组合变形 、组合变形的研究方法—叠加原理 ①外力分析:外力向形心(后弯心)简化并沿主惯性轴分解 ③内力分析:求每个外力分量对应的内力方程和内力图,确定危险面 ③应力分析:画危险面应力分布图,叠加,建立危险点的强度条件。 §12-2斜弯曲 斜弯曲:挠曲线与外力(横向力)不共面 二、斜弯曲的研究方法: 1.分解:将外载沿横截面的两个形心主轴分解,于是得到两个正交的平面弯曲 2.叠加:对两个平面弯曲进行研究;然后将计算结果叠加起来。 解:1.将外载沿横截面的形心主轴分解 Pi=Psin P=Pcos
§12–1 概 述 一、组合变形 ：在复杂外载作用下，构件的变形会包含几种简单变形，当几种 变形所对应的应力属同一量级时，不能忽略之，这类构件的变形称为组合变形。 二、组合变形的研究方法 —— 叠加原理 ① 外力分析：外力向形心(后弯心)简化并沿主惯性轴分解 ③ 内力分析：求每个外力分量对应的内力方程和内力图，确定危险面 ③应力分析：画危险面应力分布图，叠加，建立危险点的强度条件。 §12–2 斜弯曲 一、斜弯曲：挠曲线与外力（横向力）不共面。 二、斜弯曲的研究方法 ： 1.分解：将外载沿横截面的两个形心主轴分解，于是得到两个正交的平面弯曲。 2.叠加：对两个平面弯曲进行研究；然后将计算结果叠加起来。 解：1.将外载沿横截面的形心主轴分解 Py =Psin P z =Pcos
2.研究两个平面弯曲 ①内力 M.=P (L-x)=P(L-x)sin g =Msin g M=McOS P (2)应力M引起的应力:MM2csM:引起的应力 My My Sig合应力:σ=a'+a"=-M(cop+ (3)中性轴方程 中性轴 /csP+yo tga=o=cto D 可见:仅当Iy=Lz,中性轴与外力才垂直 (4)最大正应力 距中性轴的两侧最远点为拉压最大正应力点 (5)变形计算 当q=B时,即为平面弯曲 【例】矩形截面木檩条,简支在屋架上,跨度/=4m,荷载及截面尺寸(图 中单位:m)如图所示,材料许用应力[σ]=1OMa,试校核檩条强度,并求最大 挠度
2.研究两个平面弯曲 ①内力 cos ( ) ( )sin sin M M M P L x P L x M y z y = = − = − = （ 2 ）应力 My 引 起 的 应 力： cos I M I M z y y y z = − = − M z 引起的应力： sin I M I M y z z z y = − = − 合应力： sin ) I y cos I z M( y z = + = − + （3）中性轴方程 0 0 0 = − + sin ) = I y cos I z M( y z tg ctg 0 0 y z I I z y = = 可见：仅当 Iy = Iz，中性轴与外力才垂直 （4）最大正应力 距中性轴的两侧最远点为拉压最大正应力点 （5）变形计算 当 = 时，即为平面弯曲 【例】 矩形截面木檩条，简支在屋架上，跨度ｌ＝4ｍ，荷载及截面尺寸(图 中单位：mm)如图所示，材料许用应力[σ]＝10MPa，试校核檩条强度，并求最大 挠度。 P z P y y z P D1 D2 中性轴
H解:(1)外力分析: 将均布荷载q沿对称轴y和z分解,得 q =gcos =2 x cos 25=1. 81kN/ q=gsin 2 xsin 25=0.85kN/m —(2)内力计算:跨中截面为危险截面 M2=q,12/8=181×42/8=362kNm M,=q:12/8=0.85×42/8=1.70kNm (3)强度计算:跨中截面离中性轴最远的A点有最 大压应力,C点有最大拉应力,它们的值大小相等,是危险点。 W=bh2/6=120×1802/6=648×105mm3 W.=hb2/6=180×1202/6=432×105mm w.=648X105+432×105 9.52MPa< 檩条满足强度要求。 (4)挠度计算 木材E=1Gpa。跨中截面产生最大挠度。 f,=384B1z384×10×10+0 oq =10.35mm =59. 5×085×40004 =101.93m 384EI 384×10x103、l 80×120
解：（1）外力分析： 将均布荷载ｑ沿对称轴ｙ和ｚ分解，得 q q k N m q q k N m z y sin 2 sin 25 0.85 / cos 2 cos 25 1.81 / = = = = = = （2）内力计算： 跨中截面为危险截面 M q l kNm M q l kNm y z z y /8 0.85 4 /8 1.70 /8 1.81 4 /8 3.62 2 2 2 2 = = = = = = （3）强度计算：跨中截面离中性轴最远的Ａ点有最 大压应力，Ｃ点有最大拉应力，它们的值大小相等，是危险点。 = + = + = = = = = = = 9.52MPa 4.32 10 1.70 10 6.48 10 3.62 10 W M W M W hb / 6 180 120 / 6 4.32 10 mm W bh / 6 120 180 / 6 6.48 10 mm 5 6 5 6 y y max z z max max 2 2 5 3 y 2 2 5 3 z 檩条满足强度要求。 （4）挠度计算： 木材 E=10Gpa。跨中截面产生最大挠度。 mm EI q l f Z y y 10.35 12 120 180 384 10 10 5 1.81 4000 384 5 3 3 4 4 = = = mm EI q l f y z z 101.93 12 180 120 384 10 10 5 0.85 4000 384 5 3 3 4 4 = = =
f=/2+2=1505mm ga==1.06 §12-3拉伸(压缩)与弯曲的组合 、拉伸(压缩)与弯曲 日 1、外力和内力分析 轴力FN=F 弯矩MA=-Fl 危险截面跨中截面 2、应力分析 轴向拉伸的应力 弯曲正应力为 +M(x)y 因此,该截面上任一点的总应力为 N(x), M(x)y O=ON+OM 式中第二项正负号由计算点处的弯曲正应力的正负号来决定,即弯曲在该点产生
f f y f z 15.05mm 2 2 = + = = = 1.06 y z f f tg = 46.56 §12-3 拉伸（压缩）与弯曲的组合 一、拉伸（压缩）与弯曲 l q 1、外力和内力分析： 轴力 FN = F 弯矩 M Fl max 4 1 = 危险截面 跨中截面 2、应力分析： 轴向拉伸的应力 A N N = 弯曲正应力为 z M I M (x) y = 因此，该截面上任一点的总应力为 z N M I M x y A N(x) ( ) = + = − 式中第二项正负号由计算点处的弯曲正应力的正负号来决定，即弯曲在该点产生
拉应力时取正,反之取负。应力x、σ,和a的分布情形分别如图11-5(d)、 (e)、(f)所示(图中为M|>N|的情况)。 3、强度计算 危险截面上的最大和最小正应力为 A 则强度条件为 n rust W M 以上各式同样适用于拉伸与弯曲组合变形的情况,不过式中第一项应取正号。 【例】悬臂式起重机如图所示。横梁AB为№18工字钢。电动滑车行走于 横梁上,滑车自重与起重量总和为F=30kN,材料的[σ]=16OMPa,试校核横梁 的强度。 解:(1)外力分析 当滑车走到横梁中间D截面位置时,梁内弯矩最大 由平衡条件
拉应力时取正，反之取负。应力 N 、 M 和 的分布情形分别如图 11-5（ｄ）、 （ｅ）、（ｆ）所示（图中为 M > N 的情况）。 3、强度计算： 危险截面上的最大和最小正应力为 Wz M A Nmax max min max = − 则强度条件为 Wz M A Nmax max min max = − ≤[σ] 以上各式同样适用于拉伸与弯曲组合变形的情况，不过式中第一项应取正号。 【例】 悬臂式起重机如图所示。横梁ＡＢ为№18 工字钢。电动滑车行走于 横梁上，滑车自重与起重量总和为Ｆ＝30kN，材料的[σ]＝160MPa，试校核横梁 的强度。 解：（1）外力分析 当滑车走到横梁中间Ｄ截面位置时，梁内弯矩最大。 由平衡条件
8.5MP 13.9MP (A) X ()「□∞ 好11-6 ∑M F 15k N 830°=26kN ∑F1=0, FBx=26k N ∑F=0 5kN (2)内力分析 分别绘出轴力图和弯矩图,得危险截面D处的轴力和弯矩分别为
图 11-6 M A = 0 , 0 2 − = l FByl F 15 2 = = F FBy ｋＮ 26 30 15 = = = tg tg F F By By ｋＮ Fx = 0， FBx = FBx = 26 ｋＮ Fy = 0， FAy = P − FBy = 15 ｋＮ （2）内力分析 分别绘出轴力图和弯矩图，得危险截面Ｄ处的轴力和弯矩分别为
N=F=26kN F30×26 19.5kN (3)应力分析 根据危险截面D的应力分布规律,其上边缘的最大压应力和下边缘的最大拉 应力分别为: -26×10319.5×10 6AW2306×10-4185×10-85-1054=-1139MPa N M =-8.5+1054=969MPa (4)强度校核 危险点:D截面的上边缘各点处,单向应力状态 om=7-|=1139Ma<]=160MPa 所以该横梁是安全的 二、偏心拉(压)
kNm Fl M N FAx kN 19.5 4 30 2.6 4 26 max = = = = = （3）应力分析 根据危险截面Ｄ的应力分布规律，其上边缘的最大压应力和下边缘的最大拉 应力分别为： 8.5 105.4 113.9MPa 185 10 19.5 10 30.6 10 26 10 W M A N 6 3 4 3 z max max = − − = − − − − = − = − − − 8.5 105.4 96.9MPa W M A N z max max = − + = − + = + （4）强度校核 危险点: Ｄ截面的上边缘各点处，单向应力状态 113.9MPa 160MPa max = max = = − 所以该横梁是安全的。 二、偏心拉（压）
应力分析 M 十 十 y P—AP y M 0,=A+11 中性轴方程 P My +L F(E,sF 中性轴y P Pypyo P:p=o P yeyo= A +-20)=01+y+=P
1、应力分析： x y z P My Mz A P xP = z z xM I M y z = y y xM I M z y = y y z z x I M z I M y A P = + + 2、中性轴方程 = + + = 0 y y z z x I M z I M y A P 1 0 2 0 2 0 2 0 2 0 + + = + + ) = i z z i y y ( A P Ai Pz z Ai Py y A P y P z P y P z P 1 0 2 0 2 0 + + = y P z P i z z i y y F（yF , zF） 中性轴 y z
3、危险点(距中性轴最远的点) 三、截面核心 1、截面核心的概念 压力作用区域。当压力作用在此区域内时,横截面上无拉应力 1+ypy+=0=0 已知4,a后,1+y=01+4=0 可求力F的一个作用点vF,)2、常见截面的截面核心
3、危险点（距中性轴最远的点） 三、截面核心 1、截面核心的概念 压力作用区域。当压力作用在此区域内时，横截面上无拉应力。 1 0 2 0 2 0 + + = y P z P i z z i y y 已知 ay， az 后 ，1 0 1 0 2 2 + = + = y F z z F y i z a i y a 可求力 F 的一个作用点(yF， zF)2、常见截面的截面核心