第五章轴向拉伸和压缩 【学时】10(其中习题课2) 基本要求:【基本要求】 1.理解内力和应力的概念2]。 2.掌握轴力的计算和轴力图的绘制[l 3.掌握拉(压)杆横截面的应力叫 4.掌握轴向拉伸和压缩时的变形计算凹]。 5.掌握低碳钢和铸铁和的拉(压)试验叫。 6.理解容许应力、安全系数的概念[2]。 7.了解应力集中的概念3。 8.掌握拉(压)超静定问题的解法。 9.掌握剪切和挤压的实用计算。 【重点】内力、轴力、截面法。应力、应变、虎克定律及拉(压)强度条件,应 掌握它们的概念,且熟悉掌握轴力的计算,轴力图的绘制及拉(压)强度条件的 应用,低碳钢的应力一一应变曲线图及特征点。 【难点】拉压超静定问题。剪切面和挤压面面积的计算
第五章 轴向拉伸和压缩 【学 时】10（其中习题课 2） 基本要求：【基本要求】 1．理解内力和应力的概念[2]。 2．掌握轴力的计算和轴力图的绘制[1]。 3．掌握拉（压）杆横截面的应力 [1]。 4．掌握轴向拉伸和压缩时的变形计算 [2]。 5．掌握低碳钢和铸铁和的拉（压）试验 [1]。 6．理解容许应力、安全系数的概念[2]。 7．了解应力集中的概念[3]。 8．掌握拉（压）超静定问题的解法[1]。 9．掌握剪切和挤压的实用计算[1]。 【重点】内力、轴力、截面法。应力、应变、虎克定律及拉（压）强度条件，应 掌握它们的概念，且熟悉掌握轴力的计算，轴力图的绘制及拉（压）强度条件的 应用，低碳钢的应力——应变曲线图及特征点。 【难点】拉压超静定问题。剪切面和挤压面面积的计算
§5-1轴向拉压的概念及实例 【工程实例】曲柄连杆机构中连杆 受力特点:外力(或外力的合力)的作用线与杆件的轴线重合 变形特点:杆件产生沿轴线方向的伸长或缩短。 §5-2、轴向拉伸和压缩时的内力 内力 1、内力的概念一一由于外力作用而引起的内力的改变量,称为“附加内力”, 简称内力。 2、求内力的方法一一截面法 例如:截面法求N。 P 截开: 简图 代替 X=0 平衡: ①截开:在所求内力的截面处,假想地用截面将杆件一分为 ②代替:任取一部分,其弃去部分对留下部分的作用,用作用在截开面上相 应的内力(力或力偶)代替
§5–1 轴向拉压的概念及实例 【工程实例】曲柄连杆机构中连杆 受力特点：外力（或外力的合力）的作用线与杆件的轴线重合。 变形特点：杆件产生沿轴线方向的伸长或缩短。 §5-2、轴向拉伸和压缩时的内力 一、内力： 1、内力的概念——由于外力作用而引起的内力的改变量，称为“附加内力”， 简称内力。 2、求内力的方法——截面法： 例如： 截面法求N。 X = 0 P − N = 0 P = N P A P 简图 A P P P A N 截开： 代替： 平衡： ① 截开：在所求内力的截面处，假想地用截面将杆件一分为二。 ②代替：任取一部分，其弃去部分对留下部分的作用，用作用在截开面上相 应的内力（力或力偶）代替
③平衡:对留下的部分建立平衡方程,根据其上的已知外力来计算杆在截开 面上的未知内力(此时截开面上的内力对所留部分而言是外力) 3、轴力一一由于轴向拉压引起的内力与杆的轴线一致,称为轴向内力,简 称轴力。 符号约定:拉伸引起的轴力为正值,指向背离横截面;压缩引起的轴力为负 值,指向向着横截面。 、轴力图: 轴力图—一为了直观地表示整个杆件各截面轴力的变化情况,用平行于杆轴 线的坐标表示横截面的位置,用垂直于杆轴线的坐标按选定的比例表示对应截面 轴力的正负及大小。这种表示轴力沿轴线方向变化的图形称为轴力图 例1:一直杆受外力作用如图所示,求此杆各段的轴力,并作轴力图 型 「HI lI刪
③平衡：对留下的部分建立平衡方程，根据其上的已知外力来计算杆在截开 面上的未知内力（此时截开面上的内力对所留部分而言是外力）。 3、轴力——由于轴向拉压引起的内力与杆的轴线一致，称为轴向内力，简 称轴力。 符号约定：拉伸引起的轴力为正值，指向背离横截面；压缩引起的轴力为负 值，指向向着横截面。 二、轴力图： 轴力图——为了直观地表示整个杆件各截面轴力的变化情况，用平行于杆轴 线的坐标表示横截面的位置，用垂直于杆轴线的坐标按选定的比例表示对应截面 轴力的正负及大小。这种表示轴力沿轴线方向变化的图形称为轴力图。 例 1：一直杆受外力作用如图所示，求此杆各段的轴力，并作轴力图：
解:根据外力的变化情况,各段内轴力各不相同,应分段计算: (1)、AB段:用截面1-1假想将杆截开,取左段研究,设截面上的轴力为 正方向,受力如图所示。列平衡方程式 ∑FX=0:N1-6=0 ∴N1=6(拉力); (2)、BC段,取22截面左段研究,N2设为正向,受力如图所示,列平衡 方程式: ∑FX=0:N2+10-6=0 ∴N2=-4(压力); (3)、CD段,取3-3截面右段研究,N3设为正,受力如图所示,列平衡方 程式 ∑FX=0:4N3=0 ∴N3=4(拉力)。 画轴力图的总结 当自左向右画轴力图时,遇向左的轴向外力向上突变,遇向右的轴向外力向 下突变。 §5-3、拉压杆的应力 、应力的概念: 1、引入应力的原因
解：根据外力的变化情况，各段内轴力各不相同，应分段计算： （1）、AB 段：用截面 1-1 假想将杆截开，取左段研究，设截面上的轴力为 正方向，受力如图所示。列平衡方程式： ∑FX=0：N1-6=0 ∴N1=6（拉力）； （2）、BC 段，取 2-2 截面左段研究，N2 设为正向，受力如图所示，列平衡 方程式： ∑FX=0：N2+10-6=0 ∴N2= - 4（压力）； （3）、CD 段，取 3-3 截面右段研究，N3 设为正，受力如图所示，列平衡方 程式： ∑FX=0：4-N3=0 ∴N3=4（拉力）。 画轴力图的总结： 当自左向右画轴力图时，遇向左的轴向外力向上突变，遇向右的轴向外力向 下突变。 §5-3、拉压杆的应力 一、应力的概念： 1、引入应力的原因：
两根相同材料做成的粗细不同的直杆在相同拉力作用下,用截面法求得的两 杆横截面上的轴力是相同的。若逐渐将拉力增大,则细杆先被拉断。这说明杆的 强度不仅与内力有关,还与内力在截面上各点的分布集度有关。当粗细二杆轴力 相同时,细杆内力分布的密集程度较粗杆要大一些。 2、应力一一内力的密集程度(或单位面积上的内力)。 、轴向拉压杆横截面上的应力: 1、平面假设 杆变形后各横截面仍保持为平面,这个假设称为平面截面假设,简称平面假 2、应力计算 (1)、拉压杆橫截面上各点的应力是均匀分布的 原因:设想杆件由无数根纵向纤维所组成,根据平面截面假设可以推断出两 平面之间所有纵向纤维的伸长相同。又由材料是均匀连续的,可以推知,横截面 上的轴力是均匀分布的,由此可得,拉压杆横截面上各点的应力是均匀分布的, 其方向与轴力一致。 (2)、计算公式: 横截面上的应力的方向垂直于横截面,称为“正应力”并以“σ”表示 σ的符号规定与轴力相同,当轴力为正时,a为拉应力,取正号;当轴力为
两根相同材料做成的粗细不同的直杆在相同拉力作用下，用截面法求得的两 杆横截面上的轴力是相同的。若逐渐将拉力增大，则细杆先被拉断。这说明杆的 强度不仅与内力有关，还与内力在截面上各点的分布集度有关。当粗细二杆轴力 相同时，细杆内力分布的密集程度较粗杆要大一些。 2、应力——内力的密集程度（或单位面积上的内力）。 二、轴向拉压杆横截面上的应力： 1、平面假设： 杆变形后各横截面仍保持为平面，这个假设称为平面截面假设，简称平面假 设。 2、应力计算： （1）、拉压杆横截面上各点的应力是均匀分布的： 原因：设想杆件由无数根纵向纤维所组成，根据平面截面假设可以推断出两 平面之间所有纵向纤维的伸长相同。又由材料是均匀连续的，可以推知，横截面 上的轴力是均匀分布的，由此可得，拉压杆横截面上各点的应力是均匀分布的， 其方向与轴力一致。 （2）、计算公式： 横截面上的应力的方向垂直于横截面，称为“正应力”并以“ ”表示。 A N = 的符号规定与轴力相同，当轴力为正时， 为拉应力，取正号；当轴力为
负时,为压应力,取负号 (3)、单位: [力长度]2,国际单位为Pa(Pa=1Nm2)。常用的还有Kpa、Mpa、Gpa,其 p 1Kpa=103Pa, IMpa=106Pa, 1Gpa=109Pao 例1:一阶梯杆如图所示,AB段横截面面积为Al=100mm2,BC段横截面 面积为A1=180mm2,试求各段杆横截面上的正应力。 23kN 8kN 15kN N 8kN 15kN 解:(1)、计算各段内轴力:由截面法,求出各段杆的轴力为: AB段:Nl=8KN(拉力) BC段:N2=-15KN(压力)。 (2)、确定应力:根据公式,各段杆的正应力为: AB段:σ=N1/A1=8X103100X10Pa=80Mpa(拉应力); BC段:=N2/A2=-15X103/180X10Pa=-83.3Mpa(压应力)
负时， 为压应力，取负号。 （3）、单位： [力]/[长度]2，国际单位为 Pa(1Pa=1N/m2)。常用的还有 Kpa、Mpa、Gpa，其 中 1Kpa=103Pa，1Mpa=106Pa，1Gpa=109Pa。 例 1：一阶梯杆如图所示，AB 段横截面面积为 A1=100mm2，BC 段横截面 面积为 A1=180mm2，试求各段杆横截面上的正应力。 解：（1）、计算各段内轴力：由截面法，求出各段杆的轴力为： AB 段：N1=8KN（拉力）； BC 段：N2= - 15KN（压力）。 （2）、确定应力：根据公式，各段杆的正应力为： AB 段： 1=N1/A1=8X103 /100X10-6Pa=80Mpa（拉应力）； BC 段： 2=N2/A2= - 15X103 /180X10-6Pa= - 83.3Mpa（压应力）
§5-4、拉压杆的变形 纵向变形一一直杆在轴向拉力或压力作用下,杆件产生轴向伸长或缩短,这 种变形叫做纵向变形。 横向变形一一直杆在轴向拉力或压力作用下,杆件产生横向尺寸的缩小或增 大,这种变形叫做横向变形。 、纵向变形和虎克定律: 1、纵向变形(绝对变形): △L=L1-L。 拉伸时,△L>0,压缩时△L<0。且△L与杆的原长有关。 2、相对变形(纵向线应变 用ε表示: VI -l e在轴向拉伸时为正值,称为拉应变;在压缩时为负值,称为压应变。 3、虎克定律: N
§5-4、拉压杆的变形 纵向变形——直杆在轴向拉力或压力作用下，杆件产生轴向伸长或缩短，这 种变形叫做纵向变形。 横向变形——直杆在轴向拉力或压力作用下，杆件产生横向尺寸的缩小或增 大，这种变形叫做横向变形。 一、纵向变形和虎克定律： 1、纵向变形（绝对变形）： △L=L1 – L。 拉伸时，△L>0，压缩时△L<0。且△L 与杆的原长有关。 2、相对变形（纵向线应变）： 用ε表示： l l l l l − = = 1 ε在轴向拉伸时为正值，称为拉应变；在压缩时为负值，称为压应变。 3、虎克定律： EA Nl l =
式中E为材料的弹性模量,单位为Pa,不同的材料,E的数值不同,由上式 可知,对N、1相同的杆件,EA越大则变形△L越小,所以EA称为杆件的抗拉 刚度。 将σ=N/A,ε=△LL代入上式得: FE 上式表明在弹性范围内,杆件任一点的正应力与线应变成正比。 横向变形: 若以ε/表示横向应变,则有: Vb b,-b b b 同一种材料,在弹性变形范围内,横向应变ε/和纵向应变ε之间有如下关系: μ称为横向变形系数或泊松比。由于μ取绝对值,而ε与ε/总是符号相反, 故 E=-μe
式中 E 为材料的弹性模量，单位为 Pa，不同的材料，E 的数值不同，由上式 可知，对 N、l 相同的杆件，EA 越大则变形△L 越小，所以 EA 称为杆件的抗拉 刚度。 将 =N/A，ε=△L/L 代入上式得： =Eε。 上式表明在弹性范围内，杆件任一点的正应力与线应变成正比。 二、横向变形： 若以ε/表示横向应变，则有： b b b b b − = = / 1 同一种材料，在弹性变形范围内，横向应变ε/和纵向应变ε之间有如下关系： = / μ称为横向变形系数或泊松比。由于μ取绝对值，而ε与ε/总是符号相反， 故 ε/ = -με
例2:一钢制阶梯杆如图所示,已知轴向外力P1=50KN,P2=20KN,各段杆 长为11=150mm,12=13=120mm,横截面面积A=A2=600mm,A3=300mm,钢的 弹性模量E=200Gpa,试求各段杆的纵向变形和线应变。 PI I 解:(1)、作轴力图: N1=-30KN,N2=N3=20KN。 (2)、计算各段杆的纵向变形: V=N1_-30×103×150×103 3.75×10-5n EA200×10°×600×10- V=N2l2_20×103×120×103 EA2200×10×600×105=20×10-5m Vn=N42=20×10×120×10 =40×10-3m EA3200×10×300×10 Vl1-3.75 2.5×10-4 0.15
例 2：一钢制阶梯杆如图所示，已知轴向外力 P1=50KN，P2=20KN，各段杆 长为 l1=150mm，l2=l3=120mm，横截面面积 A1=A2=600mm，A3=300mm，钢的 弹性模量 E=200Gpa，试求各段杆的纵向变形和线应变。 解：（1）、作轴力图： N1= - 30KN，N2=N3=20KN。 （2）、计算各段杆的纵向变形： m EA N l l 5 9 6 3 3 1 1 1 1 3.75 10 200 10 600 10 30 10 150 10 − − − = − − = = ； m EA N l l 5 9 6 3 3 2 2 2 2 2.0 10 200 10 600 10 20 10 120 10 − − − = = = ； m EA N l l 5 9 6 3 3 3 3 3 3 4.0 10 200 10 300 10 20 10 120 10 − − − = = = 。 4 5 1 1 1 2.5 10 0.15 3.75 10 − − = − − = = l l ；
Vl,2×10 167×10-4 l20.12 vl24×10-5 =3.33×10-4 0.12 (3)、求各段杆的线应变:
4 5 2 2 2 1.67 10 0.12 2 10 − − = = = l l ； 4 5 3 3 3 3.33 10 0.12 4 10 − − = = = l l ； （3）、求各段杆的线应变：
