第十一章应力状态和强度理论 【学时】6(其中习题课2) 内容:应力状态的概念,单元体,主应力和主平面;应力状态的分类。二向应力 状态下的应力分析一一解析法,斜截面上的应力,主应力和主平面的确定。三向 应力状态的举例与(简单)分析,最大正应力。广义虎克定律;比能,体积改变 比能和形状改变比能。强度理论的概念;最大拉应力理论:最大伸长线应变理论 最大剪应力理论;形状改变比能理论;相当应力;各种强度理论的使用范围。 【基本要求】 1.理解应力状态、单元体、主应力和主平面的概念凹2]。 2.了解应力状态的分类。 3.掌握二向应力状态下应力分析的解析法山。 4.掌握斜截面上的应力,主应力和主平面的确定 5.掌握广义虎克定律。 6.了解体积改变比能和形状改变比能B。 理解强度理论的概念2 8.掌握四个常用强度理论 9.了解各种强度理论的使用范围[3。 【重点】平面应力状态的解析法,广义虎克定律,四个常用强度理论 【难点】应力状态的概念,强度理论的概念
第十一章 应力状态和强度理论 【学 时】6（其中习题课 2） 内容：应力状态的概念，单元体，主应力和主平面；应力状态的分类。二向应力 状态下的应力分析——解析法，斜截面上的应力，主应力和主平面的确定。三向 应力状态的举例与（简单）分析，最大正应力。广义虎克定律；比能，体积改变 比能和形状改变比能。强度理论的概念；最大拉应力理论；最大伸长线应变理论； 最大剪应力理论；形状改变比能理论；相当应力；各种强度理论的使用范围。 【基本要求】 1．理解应力状态、单元体、主应力和主平面的概念[2]。 2．了解应力状态的分类[3]。 3．掌握二向应力状态下应力分析的解析法[1]。 4．掌握斜截面上的应力，主应力和主平面的确定[1]。 5．掌握广义虎克定律[1]。 6．了解体积改变比能和形状改变比能[3]。 7．理解强度理论的概念[2]。 8．掌握四个常用强度理论[1]。 9．了解各种强度理论的使用范围[3]。 【重点】平面应力状态的解析法，广义虎克定律，四个常用强度理论 【难点】应力状态的概念，强度理论的概念
§11-1概述 【问题的提出】 拉压、扭转及弯曲等基本变形的强度条件 < 对于更复杂的受力状态, 如图中A截面上的a点? ①全面研究一点处各截面的应力 一一应力状恋理论的任务。 材料在复杂应力状态下的破坏规律一 一强度理论的任务 §11-2平面应力状态的应力分析 【问题的提出】 铸铁与低碳钢的拉、压、扭试验现象是怎样产生的? 铸铁拉伸 铸铁压缩 低碳钢 铸铁
§11–1 概述 【问题的提出】 拉压、 扭转及弯曲等基本变形的强度条件 max max 对于更复杂的受力状态， 如图中 A 截面上的 a 点? ①全面研究一点处各截面的应力 ——应力状态理论的任务。 ②材料在复杂应力状态下的破坏规律— —强度理论的任务。 §11–2 平面应力状态的应力分析 【问题的提出】 铸铁与低碳钢的拉、压、扭试验现象是怎样产生的？ M 低碳钢 P P 铸铁拉伸 P 铸铁压缩 铸铁 a P P a A B Q x x a
、应力状态的概念 1.一点的应力状态:过一点有无数的截面,这一点的各个截面上应力情况集合 2.研究方法:取单元体为研究对象 ①单元体—构件内的点的代表物,是包围被研究点 的无限小的几何体,常用的是正六面体。y ②单元体的性质—a、同一面上,应力均布 b、平行面上,应力相等。 例1画出下列图中的A、B、C点的已知单元体。 3.平面应力状态:只在四个侧面上作用由应力。 G 等价 Or
一、应力状态的概念 1．一点的应力状态：过一点有无数的截面，这一点的各个截面上应力情况集合。 2．研究方法：取单元体为研究对象 ①单元体——构件内的点的代表物，是包围被研究点 的无限小的几何体，常用的是正六面体。 ②单元体的性质——a、同一面上，应力均布； b、平行面上，应力相等。 例 1 画出下列图中的 A、B、C 点的已知单元体。 P P A A x x M P x y z B C zx x x B xz C x y y x 3．平面应力状态：只在四个侧面上作用由应力。 x xy y x y z 等价 x y x xy y O x y z x z y xy
斜截面上的应力 【分析方法】:利用α斜截面截取的微元局部的平衡。 符号规定:σa截面外法线同向为正 a绕研究对象顺时针转为正; Q逆时针为正 G 设:斜截面面积为dA,由分离体平衡得: ∑F F, dA-(o, dA cos acos a+(, dA cos a)sina (o, dA sin a)sina+(, dA sin a cos a=0 ,+,O,-6 利用n=zm和三角变换,得:|oa= cos 2a 2 2 同理 2Sn 2a+T cos 2a
二、斜截面上的应力 【分析方法】：利用 斜截面截取的微元局部的平衡。 符号规定： 截面外法线同向为正； 绕研究对象顺时针转为正； 逆时针为正。 x y x xy y O y xy x x y O n 设：斜截面面积为 dA，由分离体平衡得： Fn =0 ( ) ( ) − ( ) + ( ) = 0 − + dAsin sin dAsin cos dA dAcos cos dAcos sin y yx x xy 利用 xy yx = 和三角变换，得： cos 2 sin 2 2 2 xy x y x y − − + + = 同理： sin 2 cos2 2 xy x y + − =
三、极值应力和主应力 1.极值正应力 若以ao表示极值正应力所在截面的外法线n与x轴的夹角, 人 (o-o, bin 2ao-2T- cos2ao-0 得tg2 由此得两个驻点和两个极值: 即:gwx与qm所在平面互相垂真。 mar 0 2 2 G 多游6 单元 可以证明:cmax必在 切应力相对的象限
三、极值应力和主应力 1．极值正应力 若以 表示极值正应力所在截面的外法线 n 与 x 轴的夹角， : ( )sin2 0 2 cos2 0 0 0 =− − − = = x y xy d d 令 得 x y xy − = − 2 tg2 0 由此得两个驻点和两个极值： 、（ ） 2 01 01 + 即：max 与min所在平面互相垂直。 2 2 ) 2 ( 2 xy x y x y min max + − + = x y x xy y O x y x xy y O 2 1 主 单元体 可以证明：max 必在 切应力相对的象限 内
2.极值切应力 令 即(G x-a,kosa,, sin 2a,=0 得tg2a、n 由于1g2a0·1g2ax1=-1 a0=a1+4—极值切应力所在截面与极值正应力所在截面成45°角 2 3.主应力 (1)主平面—-0的平面。总可切出具有三个主平面的单元体 (2)主应力—主平面上的正应力 (3)主单元体各侧面上剪应力均为零的单元体 (4)主应力排列规定:按代数值大小,σ>σ2≥03 一点应力状态常用三个主应力表示 应力状态分类 (1)单向应力状态:一个主应力数值不等于应力状态 (2)二向应力状态:一个主应力数值等于零的应力状态 (3)三向应力状态:三个主应力数值不等于零的应力状态
2．极值切应力 0 d d : 1 = = 令 即 ( x − y )cos21 − 2 xy sin 21 = 0 得 xy x y 2 tg2 1 − = 由于 tg2 0 • tg21 = −1 4 0 1 = + ——极值切应力所在截面与极值正应力所在截面成 45°角。 2 2 ) 2 ( xy x y min max + − = 3．主应力 （1）主平面——=0 的平面。总可切出具有三个主平面的单元体。 （2）主应力——主平面上的正应力 （3）主单元体——各侧面上剪应力均为零的单元体。 （4）主应力排列规定：按代数值大小， 1 2 3 一点应力状态常用三个主应力表示。 4、应力状态分类： （1）单向应力状态：一个主应力数值不等于应力状态。 （2）二向应力状态：一个主应力数值等于零的应力状态。 （3）三向应力状态：三个主应力数值不等于零的应力状态
§11-3三向应力状态简介 、三向应力圆 弹性理论证明,图a单元体内任意截面上的应力都对应着图b的应力圆上或 阴影区内的一点。 、最大应力 nITi 0163 §11-4广义虎克定律一、单拉下的应力-应变关系=o,6=o
§11–3 三向应力状态简介 一、三向应力圆 弹性理论证明，图 a 单元体内任意截面上的应力都对应着图 b 的应力圆上或 阴影区内的一点。 二、最大应力 max =1 2 1 3 − max = §11–4 广义虎克定律一、单拉下的应力--应变关系 z x E =− y x E =− E x x = 0 (i,j x,y,z) ij =
纯剪的应力一应变关系 E≈0(=x,y,-)y=yx20 复杂状态下的应力一应变关系 依叠加原理,得 (,+O E E 同理得 ELr-u( :+a, E 61=[o1-(2+a3 主应力-主应变关系E2=[2-(o3+a1 83 三个弹性常数间的关系G= E 1+v §11-5材料破坏形式和强度理论的概念 概念 单向拉压:简单荷载引起的变形,以致于发生破坏,为了安全,这样建立的
二、纯剪的应力--应变关系 G xy xy = 0 (i x,y,z) i = yz = zx 0 三、复杂状态下的应力 --- 应变关系 依叠加原理,得: ( ) x y z x y z x E E E E = − − = − + 1 同理得 ( ) ( ) ( ) = − + = − + = − + 1 1 1 z z x y y y z x x x y z E E E = = = G G G zx zx yz yz xy xy 主应力 --- 主应变关系 ( ) ( ) ( ) = − + = − + = − + 1 1 1 3 3 1 2 2 2 3 1 1 1 2 3 E E E 三个弹性常数间的关系 ( + ) = 2 1 E G §11－5 材料破坏形式和强度理论的概念 一、概念 单向拉压：简单荷载引起的变形，以致于发生破坏，为了安全，这样建立的
强度条件将拉断的力算出应力,工作时控制在此范围 复杂应力状态呢?若也采取试验的方法就不太实际了。因为有三向应力, 还有其组合的比例可以千差万别,而各种比例都可发生破坏 建立复杂应力状态下强度条件就成为人们研究的课题。 、强度理论:是关于“构件发生强度失效起因”的假说。三、材料的破坏形 式 (1)脆断破坏--断裂型。例铸铁拉伸。 (2)屈服破坏--剪切型。例铸铁压缩,低碳钢拉伸。 同种材料在不同应力状态下可能发生不同类型破坏。例:螺栓拉;大理石三 面压 §11-6几个基本的强度理论 两类破坏:屈服、脆断 最大拉应力理论(第一强度理论) 破坏形式:断裂 破坏主因:最大拉应力。不论复杂、简单的应力状态,只要第一主应力达到 单向拉伸时的强度极限,即断裂。 破坏条件:G1=G 强度条件:a1≤[o] 使用范围:适用脆性材料受拉。如铸铁拉伸,扭转,但未考虑其它 二主应力影响,对无应力状态不能用
强度条件:将拉断的力算出应力，工作时控制在此范围。 复杂应力状态呢？若也采取试验的方法就不太实际了。因为有三向应力， 还有其组合的比例可以千差万别，而各种比例都可发生破坏。 建立复杂应力状态下强度条件就成为人们研究的课题。 二、强度理论：是关于“构件发生强度失效起因”的假说。三、材料的破坏形 式： (1) 脆断破坏----断裂型。例铸铁拉伸。 (2) 屈服破坏----剪切型。例铸铁压缩，低碳钢拉伸。 同种材料在不同应力状态下可能发生不同类型破坏。例：螺栓拉；大理石三 面压。 §11－6 几个基本的强度理论 两类破坏：屈服、脆断 一、最大拉应力理论（第一强度理论） 破坏形式：断裂 破坏主因：最大拉应力。不论复杂、简单的应力状态，只要第一主应力达到 单向拉伸时的强度极限，即断裂。 破坏条件： 1 = b 强度条件： [ ] 1 使用范围：适用脆性材料受拉。如铸铁拉伸，扭转，但未考虑其它 二主应力影响，对无应力状态不能用
缺点:未考虑其它两主应力。 最大伸长线应变理论(第二强度理论 破坏形式:断裂 破坏主因:最大伸长线应变。不论复杂、简单的应力状态,只要第一主应变 达到单向拉伸时的极限值,即断裂 破坏假设:直到发生断裂,仍可用虎克定律算。 脆断破坏条件:51=E Vo,+σ E 破坏条件:σ1-v(σ2+a3)=σ6 强度条件:σ1-va2+a3≤[a] 使用范围:适于石料、混凝土轴向受压的情况。但按此理,单向比多向拉更 危险,但实验不能证实。 缺点:不能广泛解释脆坏一般规律。 最大剪应力理论(第三强度理论 破坏形式:屈服 破坏主因:τ(不论复杂、简单的应力状态,只要最大切应力达到单向拉 伸时的极限切应力值,即屈服。)
缺点： 未考虑其它两主应力。 二、最大伸长线应变理论（第二强度理论） 破坏形式：断裂。 破坏主因：最大伸长线应变。不论复杂、简单的应力状态，只要第一主应变 达到单向拉伸时的极限值，即断裂。 破坏假设：直到发生断裂，仍可用虎克定律算。 脆断破坏条件： E b u 1 = = [ ( )] E 1 1 2 3 1 = − + 破坏条件： b 1 −( 2 + 3 ) = 强度条件： [ ] 1 −( 2 + 3 ) 使用范围：适于石料、 混凝土轴向受压的情况。但按此理，单向比多向拉更 危险，但实验不能证实。 缺点：不能广泛解释脆坏一般规律。 三、最大剪应力理论（第三强度理论） 破坏形式：屈服 破坏主因： max （不论复杂、简单的应力状态，只要最大切应力达到单向拉 伸时的极限切应力值，即屈服。）
