第十三章压杆稳定 【学时】4 内容:压杆稳定的概念;稳定平衡与不稳定平衡;临界压力:计算细长压杆临界 压力的欧拉公式;杆端约束不同对临界压力的影响;长度系数,临界压力,压杆 柔度;欧拉公式的适用范围。经验公式;临界应力总图。压杆的稳定计算;安全 系数和折减系数法 【基本要求】 1.理解压杆稳定的概念2] 2.掌握临界力的欧拉公式叫。 3.掌握临界应力的欧拉公式 4.了解欧拉公式的适用范围3。 5.理解临界应力总图21。 6.了解压杆稳定的安全计算3。 【重点】压杆稳定的概念,临界压力和临界应力的计算,以及压杆稳定校核的方 法一一安全系数和折减系数法。 【难点】压杆稳定的概念,压杆稳定的安全计算
第十三章 压杆稳定 【学 时】4 内容：压杆稳定的概念；稳定平衡与不稳定平衡；临界压力；计算细长压杆临界 压力的欧拉公式；杆端约束不同对临界压力的影响；长度系数，临界压力，压杆 柔度；欧拉公式的适用范围。经验公式；临界应力总图。压杆的稳定计算；安全 系数和折减系数法。 【基本要求】 1．理解压杆稳定的概念[2]。 2．掌握临界力的欧拉公式[1]。 3．掌握临界应力的欧拉公式[1] 4．了解欧拉公式的适用范围[3]。 5．理解临界应力总图[2]。 6．了解压杆稳定的安全计算[3]。 【重点】压杆稳定的概念，临界压力和临界应力的计算，以及压杆稳定校核的方 法——安全系数和折减系数法。 【难点】压杆稳定的概念，压杆稳定的安全计算
§13-1稳定的概念 、三种平衡状态 稳定平衡 随寓平衡 不稳定平衡 二、弹性稳定 弹性稳定——受力后弹性体平衡状态的稳定性。 Pcr临界力。P(P,稳定平衡; P=P,临界平衡; P》P,不稳定平衡 失稳-—平衡丧失稳定性现象。条件:失稳后,仍处于线弹性 理想压杆与实际压杆的差异: 压杆多有缺陷:截面不完全一样;材料不均:轴不绝对直:荷载偏心等等。这些 偶然因素起干扰力Q作用。 §13-2弹性压杆的临界力 弹性压杆的分叉现象表明:压杆从直线状态的平衡,过渡到微弯状态的平衡,也 即临界力作用下,可能在微弯下平衡。 条件:杆内应力不超出比例极限,用挠曲线近似微分方程
§13–1 稳定的概念 一、三种平衡状态 稳定平衡 随寓平衡 不稳定平衡 二、弹性稳定 弹性稳定---受力后弹性体平衡状态的稳定性。 Pcr 临界力。 P Pcr ，稳定平衡； P = Pcr ，临界平衡； P Pcr ，不稳定平衡。 失稳---平衡丧失稳定性现象。条件：失稳后，仍处于线弹性。 理想压杆与实际压杆的差异： 压杆多有缺陷：截面不完全一样；材料不均；轴不绝对直；荷载偏心等等。这些 偶然因素起干扰力 Q 作用。 §13–2 弹性压杆的临界力 弹性压杆的分叉现象表明：压杆从直线状态的平衡，过渡到微弯状态的平衡，也 即临界力作用下，可能在微弯下平衡。 条件：杆内应力不超出比例极限，用挠曲线近似微分方程
当P=P,M=Py,但M==-Ey”,所以-Ehy"=Py 微弯曲线微分方程:E+Py=0 令k P 所以y”+k2y=0, 有通解:y=c1 cos kx+c2 sin kx,边界条件:x=0,y=0,x=,y=0.稳定方程式 sIn 两端铰支:P=z2E 若为球铰,I当取最小可能的Imin §13-3杆端约束的影响 不同杆端约束的临界力推导可仿照两端铰支的情况。若将两端铰支的挠曲线拿来 做基准,即其是一个正弦波的半波,则其它约束情况,可参照此来确定计算长度。 长度系数u-原杆长相当于半个正弦波的长度与原杆长的商数 计算长度l0=u1
当 P P ,M Py, = cr = 但 EIy EI M = = − ，所以− EIy = Py ， 微弯曲线微分方程： EIy + Py = 0, 令 EI P k = 2 ，所以 0 2 y + k y = ， 有通解： y c cos kx c sin kx = 1 + 2 ，边界条件： x = 0, y = 0; x = l, y = 0. 稳定方程式： sinkl=0. 两端铰支： 2 2 l EI Pcr = 。 若为球铰，I 当取最小可能的 Imin. §13–3 杆端约束的影响 不同杆端约束的临界力推导可仿照两端铰支的情况。若将两端铰支的挠曲线拿来 做基准，即其是一个正弦波的半波，则其它约束情况，可参照此来确定计算长度。 长度系数μ---原杆长相当于半个正弦波的长度与原杆长的商数。 计算长度 0 l =μl
P EI P TEI 47 丌2EI P P ZeL P (07)2 T-EI 统一表达式:P=h,称为欧拉公式 长度系数如下: 1.两端铰支:μ=1。 2.一端固定,一端自由:μ=2 3.一端固定,一端定向支承:μ=1。 4.两端固定:μ=0.5。 5.一端固定,一端铰支:μ=0.7 工程中支承情况简化为上述几种,还可有弹簧支座等的扩展。 §13-4临界应力柔度 一、临界应力 压杆直线平衡状态时临界力所对应的应力
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 (0.7 ) 4 4 l EI P l EI P l EI P l EI P l EI P cr cr cr cr cr = = = = = 统一表达式： 2 0 2 l EI Pcr = ，称为欧拉公式。 长度系数如下： 1．两端铰支：μ=1。 2．一端固定，一端自由：μ=2。 3．一端固定，一端定向支承：μ=1。 4．两端固定：μ=0.5。 5．一端固定，一端铰支：μ=0.7。 工程中支承情况简化为上述几种，还可有弹簧支座等的扩展。 §13–4 临界应力 柔度 一、临界应力 压杆直线平衡状态时临界力所对应的应力
AA,4-横截面积 Pa 令产2=2 A i一一回转半径 xEP2=丌E,令=,称为柔度(长细比) T-E 欧拉公式:O=2 二、适用范围 失稳时,M≠-Eby",σ公式不成立 又x=/n2E TiE ,当σ,≤σn,有λ≥ 适用范围:A2n= We §13-5超过弹性极限后压杆的临界力临界应力总图 超过比例极限,不能使用欧拉公式。采用经验公式 抛物线公式
l A EI A Pcr cr 2 0 2 = = ，A---横截面积。 令 A I i A I i = , = 2 ， i---回转半径。 0 2 2 2 2 0 2 ( ) i l E i l E cr = = ，令 i l 0 = ，称为柔度（长细比）。 欧拉公式： 2 2 E cr = 二、适用范围 失稳时， M −EIy ， cr 公式不成立。 cr p 又 p p cr E E 2 2 = = ，当 cr p ，有 p 。 适用范围： p p E 2 = 。 §13–5 超过弹性极限后压杆的临界力 临界应力总图 超过比例极限，不能使用欧拉公式。采用经验公式。 抛物线公式：
Q235钢压杆,有a,=240*103-6.822(kPa) 16锰钢压杆,有,=350*103-14472(kPa) 临界应力总图(σ_--曲线) λ1为略大于λ之值。 §13-6压杆的实用计算折减系数和稳定条件 、压杆稳定的许用应力折减系数 为了不致于失稳,确定许用应力,低于临界应力,由于影响因素相同,以强度许 用应力为基础,并在其上考虑截面不等、轴线不直、材料不均、偏心力等因素, 原安全系数乘特殊安全系数。 a]=纠o],q=φ()。 、稳定条件 ≤[a]≤叫l,≤o] 可进行三个方面的工作 1.稳定校核
Q235 钢压杆，有 3 2 cr = 240 *10 − 6.82 （kPa） 16 锰钢压杆，有 3 2 cr = 350*10 −14.47 （kPa） 临界应力总图（ cr − − 曲线） 1 为略大于 p 之值。 §13–6 压杆的实用计算 折减系数和稳定条件 一、压杆稳定的许用应力 折减系数 为了不致于失稳，确定许用应力，低于临界应力，由于影响因素相同，以强度许 用应力为基础，并在其上考虑截面不等、轴线不直、材料不均、偏心力等因素， 原安全系数乘特殊安全系数。 [ ] = [], = () cr 。 二、稳定条件 [ ], [ ], [] A N A N A N cr 可进行三个方面的工作： 1．稳定校核
2.确定许可荷载 3.选择截面。A≥,先选适当的折减系数,后定出截面,再依截面找柔度 po 查表找折减系数;再按新折减系数进行同样计算,直到折减系数相近。此即 称试算法
2．确定许可荷载。 3．选择截面。 [] N A ，先选适当的折减系数，后定出截面，再依截面找柔度， 查表找折减系数；再按新折减系数进行同样计算，直到折减系数相近。此即 称试算法