第二章平面力系 【学时】18(其中习题课4) 【基本要求】 1.理解力和力偶的基本概念及性质2] 2.能熟练地计算在直角坐标上的投影和平面问题中力对点的矩。 3.掌握单个物体和简单物体系统的平衡问题[l 4.理解滑动摩擦的概念和摩擦力的特征2。 5.摩擦角和自锁的概念。 6.能求解考虑滑动摩擦时单个物体的平衡问题3]。 【重点】平面力系的平衡方程,单个物体的平衡问题 【难点】物体系统的平衡问题。考虑摩擦时的单个物体的平衡问题
第二章 平面力系 【学 时】 18（其中习题课 4） 【基本要求】 1．理解力和力偶的基本概念及性质[2]。 2．能熟练地计算在直角坐标上的投影和平面问题中力对点的矩[1]。 3．掌握单个物体和简单物体系统的平衡问题[1]。 4．理解滑动摩擦的概念和摩擦力的特征[2]。 5．摩擦角和自锁的概念[3]。 6．能求解考虑滑动摩擦时单个物体的平衡问题[3]。 【重点】 平面力系的平衡方程，单个物体的平衡问题。 【难点】 物体系统的平衡问题。考虑摩擦时的单个物体的平衡问题
§2-1平面汇交力系简化与平衡 、平面汇交力系合成的几何法: 1、力的多边形法求合力 (1)、力多边形各分力作图次序不同,不影响求得合力的结果 (2)、几何法作图时,必须按比例、按各力的方向:所得结果也按原比例和 所得方向; (3)、力多边形矢序规则:各分力矢必须首尾相接,并绕同一方向;而合力 则与各分力相反转向。 二、平面汇交力系平衡的几何条件 1、平面汇交力系平衡的充要条件是:力系的合力等于零。即: R=∑F=0 这时,其力多边形的特点是:最后一个力矢的终点与第一个力矢的起点相重 合,即封闭边为零。力多边形自行封闭 2、平衡条件的应用: 当已知一个物体在平面汇交力系作用下处于平衡,就可以应用平衡条件,求 解其中未知量
§2–1平面汇交力系简化与平衡 一、平面汇交力系合成的几何法： 1、力的多边形法求合力： （1）、力多边形各分力作图次序不同，不影响求得合力的结果； （2）、几何法作图时，必须按比例、按各力的方向；所得结果也按原比例和 所得方向； （3）、力多边形矢序规则：各分力矢必须首尾相接，并绕同一方向；而合力 则与各分力相反转向。 二、平面汇交力系平衡的几何条件： 1、平面汇交力系平衡的充要条件是：力系的合力等于零。即： R = F = 0 这时，其力多边形的特点是：最后一个力矢的终点与第一个力矢的起点相重 合，即封闭边为零。力多边形自行封闭。 2、平衡条件的应用： 当已知一个物体在平面汇交力系作用下处于平衡，就可以应用平衡条件，求 解其中未知量
、平面汇交力系合成的解析法 解析法合成就是用投影的方法求出合力的大小和方向 、力在平面直角坐标系上的投影 若已知力F与空间直角坐标系三个轴的夹角分别为a和B,则力F在坐标轴上 的投影分别为 Fx= Cosa Fy=F cOS B 如果已知力F在三个坐标轴上的投影Fx和Fy,也可以反过来求出力F的大 小和方向,即 √F os B 力的投影与力的分量的区别 1)力的投影是标量,而力的分量是矢量; 2)对于斜交坐标系,力的投影不等于其分量的大小
三、平面汇交力系合成的解析法 解析法合成就是用投影的方法求出合力的大小和方向 1、力在平面直角坐标系上的投影 若已知力 F 与空间直角坐标系三个轴的夹角分别为和，则力 F 在坐标轴上 的投影分别为 F F cos F F cos y x = = 如果已知力 F 在三个坐标轴上的投影 Fx 和 Fy，也可以反过来求出力 F 的大 小和方向，即 F F cos F F cos F F F y x x y = = = + 2 2 力的投影与力的分量的区别： 1)力的投影是标量，而力的分量是矢量； 2)对于斜交坐标系，力的投影不等于其分量的大小
2、合力投影定理 合力在某一轴上的投影,等于力系各分力在同一轴上投影的代数和。 Fa=F1+F2+…+Fm=∑F F=F+F1+…+F Fy 这样就把矢量合成问题,转化为代数和问题。 3、平面汇交力系合成的解析法 如果取一对互相垂直的坐标轴作为投影轴,根据合力在两个投影轴上的投 影,就可以算出合力的大小和方向。 合力大小:F=、+F=(F)+(FF 合力方向:
2、合力投影定理 合力在某一轴上的投影，等于力系各分力在同一轴上投影的代数和。 = + + + = = + + + = Ry y y yn y Rx x x xn x F F F F F F F F F F 1 2 1 2 这样就把矢量合成问题，转化为代数和问题。 3、平面汇交力系合成的解析法 如果取一对互相垂直的坐标轴作为投影轴，根据合力在两个投影轴上的投 影，就可以算出合力的大小和方向。 合力大小： ( ) ( ) 2 2 2 2 FR = FRx + FRy = Fx + Fy 合力方向：
1)由∑Fx及∑Fy的正负号,决定合力所在的象限; 2)FR与坐标轴的夹角,由下式决定: FRx∑Fx coSa F F8∑F 注意:坐标轴(投影轴)可以任意选取,与合成结果无关,最好取成与各分 力夹成已知角度,以便于投影计算。 (2)平面汇交力系的平衡条件 汇交力系平衡方程的解析式 FF 0 平面汇交力系的平衡方程有两个独立式子,用它可求解未知量不多于两个的 面汇交力系的平衡问题
1）由∑Fx 及∑Fy 的正负号，决定合力所在的象限； 2）FR 与坐标轴的夹角，由下式决定： R y R Ry R x R Rx F F F F F F F F = = = = cos cos 注意：坐标轴（投影轴）可以任意选取，与合成结果无关，最好取成与各分 力夹成已知角度，以便于投影计算。 （2）平面汇交力系的平衡条件 汇交力系平衡方程的解析式： = = 0 0 y x F F 平面汇交力系的平衡方程有两个独立式子，用它可求解未知量不多于两个的 平面汇交力系的平衡问题
§2-2力矩的概念和计算 在一般情况下,力对物体的作用既可能产生移动(平动)效应,也可能产生 转动效应,或者同时产生这两种运动效应。力的移动效应取决于力的大小和方向, 而力使物体绕某点的转动效应,则用力对该点的矩来度量 力矩的定义: 1、力矩的概念一一力作用在物体上使物体产生绕某点O转动作用 2、力矩二要素 (1)、力的大小与O到力的作用线距离的乘积Fh (2)、力使物体绕O点转动的方向(逆时针取正号)。 3、O点称为“矩心”,O点到力作用线的距离称为“力臂”。 9y△ 4、力对点之矩的表达式 m(F)=±Fh m(F)=土△OAB(面积 5、力对点之矩的单位:牛顿·米(Nm)或千牛·米(kNm)。 6、力矩在下列两种情况下等于零:
§2–2力矩的概念和计算 在一般情况下，力对物体的作用既可能产生移动（平动）效应，也可能产生 转动效应，或者同时产生这两种运动效应。力的移动效应取决于力的大小和方向， 而力使物体绕某点的转动效应，则用力对该点的矩来度量。 一、力矩的定义： 1、力矩的概念——力作用在物体上使物体产生绕某点 O 转动作用。 2、力矩二要素： （1）、力的大小与 O 到力的作用线距离的乘积 Fh； （2）、力使物体绕 O 点转动的方向（逆时针取正号）。 3、O 点称为“矩心”，O 点到力作用线的距离称为“力臂”。 o A B d F 4、力对点之矩的表达式： m0 (F) = Fh m0 (F) = 2 △ OAB(面积) 5、力对点之矩的单位： 牛顿·米（N·m）或千牛·米（kN·m）。 6、力矩在下列两种情况下等于零：
(1)、力的大小等于零;(2)、力的作用线通过矩心,即力臂等于零。 、平面力系的合力矩定理 平面力系的合力对其作用面内任一点的矩等于力系中各力对同一点的矩的 代数和。即 m(R)=∑m(F) 三、平面问题中力对点之矩的解析表达式: 由图可见,力对坐标原点的矩: mb(F)=m0(F)+m0(F2) 上式称为力矩的解析表达式
（1）、力的大小等于零；（2）、力的作用线通过矩心，即力臂等于零。 二、平面力系的合力矩定理 平面力系的合力对其作用面内任一点的矩等于力系中各力对同一点的矩的 代数和。即 ( ) = ( ) m0 R m0 F 三、平面问题中力对点之矩的解析表达式： o x x y y 由图可见，力对坐标原点的矩： xY yX m ( F ) m ( F ) m ( F ) y x = − 0 = 0 + 0 上式称为力矩的解析表达式
§2-3平面力偶系简化与平衡 、力偶: [实例]:司机作用在方向盘上的一对力;攻丝时双手对板手的一对力 它们对物体产生转动的效果 不在同一作用线的两个大小相等、方向相反的平行力,称为力偶。两平行力 所在的平面叫做力偶的作用面;两力间的距离叫做力偶臂。两力均称为偶力 二、力偶矩: 个力偶在任何情况下都不能与一个力等效,当然也不可能被一个力平衡, 所以力偶对物体的作用只能产生转动效应,而决不会产生移动效应 力偶对物体的转动作用,用力偶矩表示 设有力偶作用在物体上,求力偶对其作用面上任意点O之矩 ∑mo(F=F(x+h)Fx=Fh 1、力偶对于其作用面内任意一点的矩恒等于其一个偶力的大小乘以力偶臂 而于矩心的位置无关。 2、力偶矩用符号m表示。 3、力偶矩的符号规定:逆时针转为“正”;顺时针转为“负
§2–3平面力偶系简化与平衡 一、力偶： [实例]：司机作用在方向盘上的一对力；攻丝时双手对板手的一对力。 它们对物体产生转动的效果。 不在同一作用线的两个大小相等、方向相反的平行力，称为力偶。两平行力 所在的平面叫做力偶的作用面；两力间的距离叫做力偶臂。两力均称为偶力。 F F d m(F F ) 二、力偶矩： 一个力偶在任何情况下都不能与一个力等效，当然也不可能被一个力平衡， 所以力偶对物体的作用只能产生转动效应，而决不会产生移动效应。 力偶对物体的转动作用，用力偶矩表示。 设有力偶作用在物体上，求力偶对其作用面上任意点 O 之矩： ∑mO(F)=F(x+h)-F /x=F.h 1、力偶对于其作用面内任意一点的矩恒等于其一个偶力的大小乘以力偶臂 而于矩心的位置无关。 2、力偶矩用符号 m 表示。 3、力偶矩的符号规定：逆时针转为“正”；顺时针转为“负
三、平面力偶的等效定理(互等定理 等效力偶一一作用在物体上的力偶,如果用另一力偶来代替而不改变它对物 体的作用,这两个力偶称为等效力偶。 定理:两个在同平面内的力偶,如果其力偶矩(包括大小、转向)相等,则 两力偶彼此等效(可以互相替代)。 证明 注意到:T与T方向线是任意选定的,若方向不同,其偶力的大小不同, 两力距离h随之不同,但力偶矩相等。 又注意到:两偶力的作用点可以任意移动。 故变换之后的力偶(T,T/)的位置可有无数个,偶力的大小可有随意变化, 相应的力偶臂也可有不同数值一一只是保留了力偶矩等值。 说明:每个力偶的作用,完全决定于力偶矩的代数量,而与力偶在作用平面 内的位置,与偶力的大小,力偶臂的长度等单独因素无关 推论:由力偶的上述特性,可以得出一系列重要推论 1、力偶可以在其作用面内任意移转,而不改变它对物体的作用。 2、力偶可以变形。在保持力偶矩的大小和转向不变的条件下,可以同时改
三、平面力偶的等效定理（互等定理）： 等效力偶——作用在物体上的力偶，如果用另一力偶来代替而不改变它对物 体的作用，这两个力偶称为等效力偶。 定理：两个在同平面内的力偶，如果其力偶矩（包括大小、转向）相等，则 两力偶彼此等效（可以互相替代）。 证明： 注意到：T 与 T/的方向线是任意选定的，若方向不同，其偶力的大小不同， 两力距离 h 随之不同，但力偶矩相等。 又注意到：两偶力的作用点可以任意移动。 故变换之后的力偶（T，T/）的位置可有无数个，偶力的大小可有随意变化， 相应的力偶臂也可有不同数值——只是保留了力偶矩等值。 说明：每个力偶的作用，完全决定于力偶矩的代数量，而与力偶在作用平面 内的位置，与偶力的大小，力偶臂的长度等单独因素无关。 [推论]：由力偶的上述特性，可以得出一系列重要推论： 1、力偶可以在其作用面内任意移转，而不改变它对物体的作用。 2、力偶可以变形。在保持力偶矩的大小和转向不变的条件下，可以同时改
变力偶力的大小及力偶臂的长短,而不会改变力偶对物体的作用 【归纳】:力偶的特性: 1、力偶无合力,不能用一个力来代替,也就不能用一个力来平衡。 2、力偶对其作用面内任意一点之矩,等于一个常数(自身力偶矩) 3、力偶可以在其作用面内任意移转; 4、力偶可以变形。 四、平面力偶系简化与平衡 1、平面力偶系简化 作用在物体上同一平面内的许多力偶称为平面力偶系。 平面力偶系简化结果是一个合力偶,合力偶的矩等于力偶系中各力偶的 矩的代数和。即 n 2、平面力偶系的平衡条件 平面力偶系平面的必要和充分条件是:力偶系中各力偶矩的代数和等于零
变力偶力的大小及力偶臂的长短，而不会改变力偶对物体的作用。 【归纳】：力偶的特性： 1、力偶无合力，不能用一个力来代替，也就不能用一个力来平衡。 2、力偶对其作用面内任意一点之矩，等于一个常数（自身力偶矩）； 3、力偶可以在其作用面内任意移转； 4、力偶可以变形。 四、平面力偶系简化与平衡 1、平面力偶系简化 作用在物体上同一平面内的许多力偶称为平面力偶系。 平面力偶系简化结果是一个合力偶，合力偶的矩等于力偶系中各力偶的 矩的代数和。即 m = m + m + + mn =mi ...... 1 2 2、平面力偶系的平衡条件 平面力偶系平面的必要和充分条件是：力偶系中各力偶矩的代数和等于零， 即 mi = 0