第三章空间力系 学时】8(其中习题课2) 【基本要求】 1.能计算力在空间坐标轴上的投影 2.了解空间力系的平衡方程。 3.力对轴之矩 4.能求解简单的空间问题[3。 5.能计算简单形体的重心。 【重点】简单形体的重心。 【难点】力对轴之矩,力对点之矩
第三章 空间力系 【学 时】 8（其中习题课 2） 【基本要求】 1．能计算力在空间坐标轴上的投影 2．了解空间力系的平衡方程[3]。 3．力对轴之矩 4．能求解简单的空间问题[3]。 5．能计算简单形体的重心[1]。 【重点】简单形体的重心。 【难点】力对轴之矩，力对点之矩
§3-1力在坐标轴上的投影与力的分解 力在坐标轴上的投影 1.直接投影法 若已知力F与空间直角坐标系三个轴的夹角分别为a、B和y,则力F在三个 坐标轴上的投影分别为可采用直接投影法。 F=Fcos a F F= CoSY 如果已知力F在三个坐标轴上的投影X、Y和Z也可以反过来求出力F的大 小和方向,即 F=√x2+y2+z2 X cos a B 2.二次投影法
§3–1 力在坐标轴上的投影与力的分解 一、力在坐标轴上的投影 1．直接投影法 若已知力 F 与空间直角坐标系三个轴的夹角分别为、和，则力 F 在三个 坐标轴上的投影分别为可采用直接投影法。 F F cos F F cos F F cos z y x = = = 如果已知力 F 在三个坐标轴上的投影 X、Y 和 Z 也可以反过来求出力 F 的大 小和方向，即 F Z F Y F X F X Y Z = = = = + + cos cos cos 2 2 2 2．二次投影法
先将力F投影到某一坐标面上,而后再将坐标面上的投影投影到坐标轴上。 如图22所示,先求力F在Oy面上的投影Fy,显然F=Fsmy,而后再将F 投影到x和y轴上,于是可得 Y= Fsn y sn gp Z=F cOS 在其些实际问题中,当力F与坐标轴之间的夹角不易直接确定时,应用二次 投影法往往是较为方便的 力沿坐标轴上的分解 在空间矢量运算中,力矢有时须用矢量分解式表示。为此,将力F按坐标轴 X、y、z的方向分解为空间正交分量F、F和F(图2-3),这些分量称为力F 的坐标轴向分量。写成关系式有 F=F+e+ 容易看出,力F的坐标轴向分量的模,分别与该力在相应坐标轴上投影的绝 对值相等,即
先将力 F 投影到某一坐标面上，而后再将坐标面上的投影投影到坐标轴上。 如图 2-2 所示，先求力 F 在 Oxy 面上的投影 Fxy ，显然 F F sin xy = ，而后再将 Fxy 投影到 x 和 y 轴上，于是可得 cos sin sin sin cos Z F Y F X F = = = 在其些实际问题中，当力 F 与坐标轴之间的夹角不易直接确定时，应用二次 投影法往往是较为方便的。 二、力沿坐标轴上的分解 在空间矢量运算中，力矢有时须用矢量分解式表示。为此，将力 F 按坐标轴 x、y、z 的方向分解为空间正交分量 Fx 、 Fy 和 F z （图 2-3），这些分量称为力 F 的坐标轴向分量。写成关系式有 F Fx Fy Fz = + + 容易看出，力 F 的坐标轴向分量的模，分别与该力在相应坐标轴上投影的绝 对值相等，即
l=x1、|F=p1、|F!= 令ij、k分别表示直角坐标轴x、y、z的单位矢量,则上式可写为 F2=、F,=Y、F= 因而(24)式又可写为力沿坐标轴向的分解式 F=Xi+yj+zk §3-2空间力偶 、力偶的等效条件 作用在物体上同一平面或平行平面内的两个力偶,若它们的转向相同和力偶 矩的大小相等,则两力偶等效。 二、力偶矩 在平面力系问题里,力偶矩被视为代数量。但在空间力系问题里,力偶矩则 应作为矢量,因为力偶作用面的方位不同,它对物体作用的效应也不相同。所以 和力类似,力偶对物体的作用效应也取决于三个要素,即力偶矩的大小、力偶的 转向和力偶作用面在空间的方位。力偶的这三个要素可以用一个矢量来表示。该 矢量的长度按比例代表力偶矩的大小;矢量的指向按右手螺旋法则表示力偶的转 向;而矢量的方位则沿力偶作用面的法线,这个矢量称为力偶矩矢,表示为 由于力偶在其作用面内可以任意移转,又可以由一个平面移到另一个平行的平面 内,所以之力偶矩矢是自由矢量。因此,力偶的等效条件又可表述为:力偶矩矢 相等的两个力偶是等效力偶
Fx = X 、 Fy = Y 、 Fz = X 令 i、j、k 分别表示直角坐标轴 x、y、z 的单位矢量，则上式可写为 F Xi x = 、 F Yj y = 、 F Zk z = 因而（2.4）式又可写为力沿坐标轴向的分解式 F = Xi + Yj + Zk §3–2 空间力偶 一、力偶的等效条件 作用在物体上同一平面或平行平面内的两个力偶，若它们的转向相同和力偶 矩的大小相等，则两力偶等效。 二、力偶矩 在平面力系问题里，力偶矩被视为代数量。但在空间力系问题里，力偶矩则 应作为矢量，因为力偶作用面的方位不同，它对物体作用的效应也不相同。所以 和力类似，力偶对物体的作用效应也取决于三个要素，即力偶矩的大小、力偶的 转向和力偶作用面在空间的方位。力偶的这三个要素可以用一个矢量来表示。该 矢量的长度按比例代表力偶矩的大小；矢量的指向按右手螺旋法则表示力偶的转 向；而矢量的方位则沿力偶作用面的法线，这个矢量称为力偶矩矢，表示为 m。 由于力偶在其作用面内可以任意移转，又可以由一个平面移到另一个平行的平面 内，所以之力偶矩矢是自由矢量。因此，力偶的等效条件又可表述为：力偶矩矢 相等的两个力偶是等效力偶
、空间力偶系的简化和平衡条件 1.空间力偶系的简化 设物体上作用有n个力偶,这些力偶组成空间力偶系,各力偶矩矢分别为 m,m,…,m。根据力偶矩矢是自由矢量的性质,总可以将它们滑移,使各 力偶矩矢汇交于某一点,而后加以合成,则可得合力偶矩矢 ∑ 即空间力偶系可合成为一个合力偶,合力偶矩矢等于各分偶矩矢的矢量和。 合力偶矩的大小和方向,可用解析法求得,取直用坐标系O2,则m沿坐标 轴向的分解式为 m=m, i+m,j+m k=(mi)i+>mm)j+(m_)k 其中m2,m,m和m,mn,m2分别是。和m和m;在x,y,=轴上的投影。于是得 ∑mn,m,=∑m,m2=∑m 则合力偶矩矢的大小和方向余弦为 +m+ m ∑m1)2+∑m)2+∑m)2 cos a sB 其中a,B,y,分别为合力偶矩矢m与x,y,z轴正向间的夹角 2.空间力偶系的平衡条件
三、空间力偶系的简化和平衡条件 1．空间力偶系的简化 设物体上作用有 n 个力偶，这些力偶组成空间力偶系，各力偶矩矢分别为 m1，m2，……，mn。根据力偶矩矢是自由矢量的性质，总可以将它们滑移，使各 力偶矩矢汇交于某一点，而后加以合成，则可得合力偶矩矢 m = m + m + + mn =mi ...... 1 2 即空间力偶系可合成为一个合力偶，合力偶矩矢等于各分偶矩矢的矢量和。 合力偶矩的大小和方向，可用解析法求得，取直用坐标系 Oxyz, 则 m 沿坐标 轴向的分解式为 m m i m j m k m i m j m k x y z ix iy iz = + + = ( ) + ( ) + ( ) 其中 mx my mz , , 和 mix miy miz , , 分别是。和 m 和 mi ；在 x, y,z 轴上的投影。于是得 mx =mix ，my =miy ，mz = miz 则合力偶矩矢的大小和方向余弦为 2 2 2 2 2 2 = + + = ( ) + ( ) + ( ) m mx my mz mi x mi y mi z = = = m m m m m m z y x cos cos cos 其中 , , , 分别为合力偶矩矢 m 与 x, y,z 轴正向间的夹角。 2．空间力偶系的平衡条件
空间力偶系平衡的必要和充分条件是合力偶矢等于零,即 m=∑m=0 将以上条件写成解析式,即得空间力偶系的平衡方程 0 m.=0 §3-3空间力系中力矩概念的扩展 、力对点之矩的矢量表示 在平面力系中,由于各力与矩心都在同一平面内,因而力使物体绕平面内某 点转动只能有顺时计或逆时针两种转动效应。但是,在空间力系中,各力和同 矩心分别构成不同的平面,这样力使物体绕矩心转动的效应,不仅取决于力矩 的大小和转向,而且还要取决于力和矩心所构成的平面的方位。所以和力偶矩矢 样,在空间力系中,力对点的矩也要用矢量表示 m(F) 设在物体上A点作用一力F=AB取物体上任一点O为矩心,如图5-1所示。 若O点到力F作用线的垂直距离为d,则力F对O点的矩可以自O点作矢量m (F)表并称之为力矩矢,力矩矢的长度按一定比例表示力矩的大小,即
空间力偶系平衡的必要和充分条件是合力偶矢等于零，即 m = mi = 0 将以上条件写成解析式，即得空间力偶系的平衡方程 = = = 0 0 0 iz iy ix m m m §3–3 空间力系中力矩概念的扩展 一、力对点之矩的矢量表示 在平面力系中，由于各力与矩心都在同一平面内，因而力使物体绕平面内某 一点转动只能有顺时计或逆时针两种转动效应。但是，在空间力系中，各力和同 一矩心分别构成不同的平面，这样力使物体绕矩心转动的效应，不仅取决于力矩 的大小和转向，而且还要取决于力和矩心所构成的平面的方位。所以和力偶矩矢 一样，在空间力系中，力对点的矩也要用矢量表示。 设在物体上 A 点作用一力 F=AB 取物体上任一点 O 为矩心，如图 5-1 所示。 若 O 点到力 F 作用线的垂直距离为 d，则力 F 对 O 点的矩可以自 O 点作矢量 mo （F）表并称之为力矩矢，力矩矢的长度按一定比例表示力矩的大小，即
m(F)=Fd=2△OAB面积 力矩矢的方位垂直于力F和矩心O所决定的平面;而其指向则按右手螺旋法则确 定 若在图中以rOA表示力F的作用点A对矩心O的矢径,则根据矢性积的定 义,力对O点的矩矢可表达为 m2(F)=r×F 即力对任一点的矩等于该力的作用点对矩心的矢径和力的矢性积。 显然,当矩心的位置不同时,力矩矢的大小和方位都将随之而改变。所以力 偶矢是定位矢量她只能画在矩心O处。 力对轴的矩 力对轴的矩是力使物体绕该轴转动效应的度量,是个代数量,其大小等于该 力垂直于轴的平面内的分力对轴与平面交点的矩,正负号按右手规则决定。如图 5-2所示,力F对z轴的矩 m2(F)=m2(Fx)=±Fnd+2VOub面积 特殊情形: (1)力F与z轴平行,m2(F)=0 (2)力F通过z轴,m(F)=0 即力F与z轴在同一平面内时,m(F)=0 、力对点的矩与力对通过该点的轴的矩之间的关系 力对某点的矩矢在通过该点的任意轴上的投影等于力对该轴的矩。其关系式
mo (F) = Fd = 2OAB面积 力矩矢的方位垂直于力 F 和矩心 O 所决定的平面；而其指向则按右手螺旋法则确 定。 若在图中以 r=OA 表示力 F 的作用点 A 对矩心 O 的矢径，则根据矢性积的定 义，力对 O 点的矩矢可表达为 mo (F) = r F 即力对任一点的矩等于该力的作用点对矩心的矢径和力的矢性积。 显然，当矩心的位置不同时，力矩矢的大小和方位都将随之而改变。所以力 偶矢是定位矢量她只能画在矩心 O 处。 二、力对轴的矩 力对轴的矩是力使物体绕该轴转动效应的度量，是个代数量，其大小等于该 力垂直于轴的平面内的分力对轴与平面交点的矩，正负号按右手规则决定。如图 5-2 所示，力 F 对 z 轴的矩 mz (F) = mz (Fxy ) = Fxyd + 2Oab面积 特殊情形： （1）力 F 与 z 轴平行， mz (F) = 0 （2）力 F 通过 z 轴， mz (F) = 0 即力 F 与 z 轴在同一平面内时， mz (F) = 0 三、力对点的矩与力对通过该点的轴的矩之间的关系 力对某点的矩矢在通过该点的任意轴上的投影等于力对该轴的矩。其关系式
F)=[m(F)]=m(F)c 式中γ为力矩矢m(F)与z轴之间的夹角。 利用式(5.9)可以导出力对坐标轴的矩的解析式。力F对O点的矩为 而矢径r和力F的解析式分别为 r=xi+ vi+=k F=Xi+yj+Zk F y (Z-n)i+(=x-xZj+(xr-yr)k 式中x、y、z为力F作用点A的坐标;X,Y,Z为力F在坐标轴Ox,O, Oz上的投影。显然j、k前的系数则是力矩矢m。(F)在三个坐标轴上的投影, 即 Im (F)I=yZ (F)L=zX-xZ (F) 于是可得力对坐标轴的矩的解析式为
为 m (F) m (F) m (F)cos z = o z = o 式中γ为力矩矢 mo（F）与 z 轴之间的夹角。 利用式（5.9）可以导出力对坐标轴的矩的解析式。力 F 对 O 点的矩为 mo (F) = r F 而矢径 r 和力 F 的解析式分别为 r = xi + yj + zk F = Xi + Yj + Zk 则 yZ zY i zX x Z j x Y yX k X Y Z x y z i j k mo (F) = r F = = ( − ) + ( − ) + ( − ) 式中 x、y、z 为力 F 作用点 A 的坐标； X，Y，Z 为力 F 在坐标轴 Ox，Oy， Oz 上的投影。显然 i、j、k 前的系数则是力矩矢 m。（F）在三个坐标轴上的投影， 即 m F xY yX m F zX xZ m F yZ zY o z o y o x = − = − = − ( ) ( ) ( ) 于是可得力对坐标轴的矩的解析式为
( F=zX-xZ m(F)=xr-yX (四)空间力系的合力矩定理 空间力系的合力对任一点的矩等于核力系中各力对同一点的矩的矢量和,即 m(R)=∑m(F) 空间力系的合力对任一轴的矩等于该力系中各力对同一轴的矩的代数和,即 m2(R)=∑m(F) §3-4空间一般力系向一点简化 在一般情形下,作用在物体上的空间一般力系F,F2,…,Fn向物体内任一 点简化,可得到一个力和一个力偶,这个力矢R’等于力系中各力的矢量和,称 为原力的主矢,这个力偶的力偶矩m等于力系中各力对简化中心O点的矩的矢 量和,称为原力系对O点的主矢。 主矢: R=F1+F2++F3=F+F+…+F=∑ R’的大小和方向可用解析法计算,取坐标系Oxyz如图,则有 R=X1+X2+…+X3=∑X H1+Y2+…+Y3=∑ R=Z1+22+…+Z3=∑X 于是 R"=、R2+R2+R √∑x)+∑y)2+②z)
m F xY yX m F zX xZ m F yZ zY z y x = − = − = − ( ) ( ) ( ) （四）空间力系的合力矩定理 空间力系的合力对任一点的矩等于核力系中各力对同一点的矩的矢量和，即 ( ) = ( ) mo R mo Fi 空间力系的合力对任一轴的矩等于该力系中各力对同一轴的矩的代数和，即 ( ) = ( ) mz R mz Fi §3–4 空间一般力系向一点简化 在一般情形下，作用在物体上的空间一般力系 F1，F2，……,Fn 向物体内任一 点简化，可得到一个力和一个力偶，这个力矢 R’等于力系中各力的矢量和，称 为原力的主矢，这个力偶的力偶矩 mo 等于力系中各力对简化中心 O 点的矩的矢 量和，称为原力系对 O 点的主矢。 主矢： R = F +F + + F 3 = F1 + F2 + + F3 =F ' 1 2 ' ' ' ... ... R’的大小和方向可用解析法计算，取坐标系 Oxyz 如图，则有 = + + + = = + + + = = + + + = R Z Z Z X R Y Y Y Y R X X X X z y x 1 2 3 ' 1 2 3 ' 1 2 3 ' ... ... ... 于是 2 2 2 2 2 2 R' = R' +R' +R' = (X) + (Y) + (Z) x y z
∑X oS(r,y) s(R,=) ∑ 主矩 Mn=m1+m2+…+m23=m(F)+m(2)+…+m(F1)=∑m(F M6的大小可通过它在x、y、z轴上的投影Mx,M,M来求 故主矩的大小为 NM2+M2+M=∑m、F+Em)+m(F M的方向可用其方向余炫表示 cos(Mo,x M, coS(Mo,y) M cos(Mo, x) H。 §3-5空间一般力系的平衡条件 空间一般力系的平衡的必要和充分条件:力系的主矢和力系对任一点的主矩 都分别等于零。即 R=0 M=0 将以上平衡条件用解析式表示,就得到空间一般力系的平衡方程
R X cos(R, x) = ， R Y cos(R, y) = ， R Z cos(R,z) = 主矩 ... ( ) ( ) ... ( ) ( ) Mo = m1 + m2 + + m3 = mo F1 + mo F2 + + mo F3 = mo F Mo 的大小可通过它在 x、y、z 轴上的投影 Mx，My，Mz 来求。 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) m m F m F m m F m F m m F m F z z z o y y y o x x x o = = = = = = 故主矩的大小为 2 2 2 2 2 2 M = M + M + M = m (F) + m (F) + m (F) o x y z x y z Mo 的方向可用其方向余炫表示 o x o M M cos(M , x) = ， o y o M M cos(M , y) = ， o z o M M cos(M , x) = §3–5 空间一般力系的平衡条件 空间一般力系的平衡的必要和充分条件：力系的主矢和力系对任一点的主矩 都分别等于零。即 0 ' 0 = = M o R 将以上平衡条件用解析式表示，就得到空间一般力系的平衡方程