第八章弯曲内力 【学时】6(其中习题课2) 【基本要求】 1.理解平面弯曲的概念21 掌握剪力方程和弯矩方程凹。 3.掌握剪力图和弯矩图弯矩的绘制2l。 4.了解叠加法作弯矩图[3。 【重点】梁在任一指定截面处的剪力和弯矩值的计算;剪力方程和弯矩方程;剪 力图和弯矩图 【难点】弯矩、剪力和荷载集度间的微分关系
第八章 弯曲内力 【学 时】6（其中习题课 2） 【基本要求】 1．理解平面弯曲的概念[2]。 2．掌握剪力方程和弯矩方程[2]。 3．掌握剪力图和弯矩图弯矩的绘制[2]。 4．了解叠加法作弯矩图[3]。 【重点】梁在任一指定截面处的剪力和弯矩值的计算；剪力方程和弯矩方程；剪 力图和弯矩图。 【难点】弯矩、剪力和荷载集度间的微分关系
§8-1平面弯曲的概念和实例 、弯曲的概念 1.弯曲:杆受垂直于轴线的外力或外力偶矩矢的作用时,轴线变成了曲线,这 种变形称为弯曲。 2.梁:以弯曲变形为主的构件通常称为梁。 工程实例 4.平面弯曲:杆发生弯曲变形后,轴线仍然和外力在同一平面内。对称弯曲(如 下图) 平面弯曲的特例 H进出 M纵向对称 8 、梁的计算简图 梁的支承条件与载荷情况一般都比较复杂,为了便于分析计算,应进行必要 的简化,抽象出计算简图。 构件本身的简化:通常取梁的轴线来代替梁 2.载荷简化:作用于梁上的载荷(包括支座反力)可简化为三种类型:集中力 集中力偶和分布载荷。 3.支座简化①固定铰支座 2个约束,1个自由度 如:桥梁下的固定支座,止推滚珠轴承等
§8-1 平面弯曲的概念和实例 一、弯曲的概念 1. 弯曲: 杆受垂直于轴线的外力或外力偶矩矢的作用时,轴线变成了曲线，这 种变形称为弯曲。 2. 梁：以弯曲变形为主的构件通常称为梁。 3. 工程实例 4. 平面弯曲：杆发生弯曲变形后，轴线仍然和外力在同一平面内。对称弯曲（如 下图）—— 平面弯曲的特例。 M 纵向对称面 P1 P2 q 二、梁的计算简图 梁的支承条件与载荷情况一般都比较复杂，为了便于分析计算，应进行必要 的简化，抽象出计算简图。 1. 构件本身的简化：通常取梁的轴线来代替梁。 2. 载荷简化：作用于梁上的载荷（包括支座反力）可简化为三种类型：集中力、 集中力偶和分布载荷。 3. 支座简化①固定铰支座 2 个约束，1 个自由度。 如：桥梁下的固定支座，止推滚珠轴承等
②可动铰支座 1个约束,2个自由度 如:桥梁下的辊轴支座,滚珠轴承等 ③固定端 3个约束,0个自由度。 如:游泳池的跳水板支座,木桩下端的支座等 4.静定梁的三种基本形式 M一集中力偶 ①简支梁 ↓Ha分布力 M ②悬臂梁 ③外伸梁 §8-2弯曲时的内力——剪力和弯矩 弯曲内力 举例已知:如图,P,a,l 求:距A端x处截面上内力。 解:①求外力 ∑X=0,∴X=0 P ∑m=0,…B=T ∑Y=0,:F≈P( ②求内力截面法
②可动铰支座 1 个约束，2 个自由度。 如：桥梁下的辊轴支座，滚珠轴承等。 ③固定端 3 个约束，0 个自由度。 如：游泳池的跳水板支座，木桩下端的支座等。 4. 静定梁的三种基本形式 ①简支梁 M — 集中力偶 ②悬臂梁 q(x)— 分布力 ③外伸梁 §8-2 弯曲时的内力——剪力和弯矩 一、弯曲内力 [举例]已知：如图，P，a，l。 求：距 A 端 x 处截面上内力。 解：①求外力 l P l a Y Y l Pa m R X X A A B A ( ) 0 , 0 , 0 , 0 − = = = = = = ②求内力——截面法 XA YA MA A B P YA XA RB m m x A YA Q M RB P M Q C C a P P l YA XA RB A A B
∑Y=0,∴Q=Y4= P(-a) ∑m=0,∴M=Y4·x 剪力 弯曲构件内力 弯矩 1.弯矩:M 构件受弯时,横截面上其作用面垂直于截面的内力偶矩 2.剪力:O 构件受弯时,横截面上其作用线平行于截面的内力 3.内力的正负规定:①剪力Q:绕研究对象顺时针转为正剪力;反之为负。②弯 矩M:使梁变成凹形的为正弯矩;使梁变成凸形的为负弯矩。 MC+ M+) M-) M一) 二、举例 1、如图所示简支梁,求C、D截面的弯曲内力
m M Y x l P l a Y Q Y C A A = = − = = = 0 , ( ) 0 , ∴ 弯曲构件内力 弯矩 剪力 1. 弯矩：M 构件受弯时，横截面上其作用面垂直于截面的内力偶矩。 2. 剪力：Q 构件受弯时，横截面上其作用线平行于截面的内力。 3.内力的正负规定:①剪力 Q: 绕研究对象顺时针转为正剪力；反之为负。②弯 矩 M：使梁变成凹形的为正弯矩；使梁变成凸形的为负弯矩。 M(+) M(+) M(–) M(–) 二、举例： 1、如图所示简支梁，求 C、D 截面的弯曲内力
R 10kN10kN 4kNm RB m1mm■m 4kN.m 解:求A、B支座反力: ∑m(F)=0:4R3+4-10X2-10X1=0。 得:R=6.5kN ∑Fy=0:RA+R-10-10=0, 得:RA=135KN (2)、计算截面C处的剪力和弯矩:取右段为研究对象: ∑Fy=0:Qc+RB=0 得:Qc=RB=-65KN。 ∑m(F)=0:-M+4+1.5R=0。 得:M=13.75KNm。 (3)、计算截面D处的剪力和弯矩: 截面D作用有集中力,剪力在此有突变,用D表示截面右侧,离面D无限近 的截面:D表示在截面D左侧,离截面D无限近的截面,分别计算D和D处的剪
解：求 A、B 支座反力： ∑mA(F)=0：4RB+4-10X2-10X1=0。 得：RB=6.5kN。 ∑Fy=0：RA+RB-10-10=0， 得：RA=13.5KN。 （2）、计算截面 C 处的剪力和弯矩：取右段为研究对象： ∑Fy=0：QC+RB=0： 得：QC=RB= - 6.5KN。 ∑mC(F)=0：-MC+4+1.5RB=0。 得：MC=13.75KNm。 （3）、计算截面 D 处的剪力和弯矩： 截面 D 作用有集中力，剪力在此有突变，用 D+表示截面右侧，离面 D 无限近 的截面；D-表示在截面 D 左侧，离截面 D 无限近的截面，分别计算 D+和 D-处的剪 力：
D+=RA-10=135-10=35KN; D-=RA=13.5KN。 MD=RAXl=135KNm。 §8-3剪力方程和弯矩方程·剪力图和弯矩图 1.内力方程:内力与截面位置坐标(x)间的函数关系式。 2.剪力图和弯矩图 外伸梁受力如图所示,试画出该梁的剪力图和弯矩图 B
D＋=RA-10=13.5-10=3.5KN； D－=RA=13.5KN。 MD=RAX1=13.5KNm。 §8–3 剪力方程和弯矩方程 · 剪力图和弯矩图 1. 内力方程：内力与截面位置坐标（x）间的函数关系式。 2. 剪力图和弯矩图： 外伸梁受力如图所示，试画出该梁的剪力图和弯矩图。 A B α 2α α qα 2 q qα 解：
↓↓ (a)剪力图 qa (b)弯矩图3 (2)弯矩图 CA段:仅有集中力qa产生弯矩,C点无弯矩,弯矩为零。弯矩M(x)与 C点的距离成正比的直线,C点为零,A点为一qa2
α α α α qα qα 2 q R α Rb A D B C 3 − 2qa 3 − 2qa C A D 2 − qa 2 3 2 qa 3 2 qa − （a）剪力图 （b）弯矩图 （2）弯矩图 CA 段：仅有集中力 qα产生弯矩，C 点无弯矩，弯矩为零。弯矩 M（x）与 C 点的距离成正比的直线，C 点为零，A 点为—qα2
AD段:载荷为均布,且向下,产后负弯矩。距A点为x的截面上的弯矩, 由A截面的弯矩-qa2,A点右侧剪力4qa/3产生的弯矩,以及均布载荷一q产 生的弯矩之和组成 弯矩图为一抛物线,且向上,到D点x=2a,弯矩 在距A点4a/3处,弯矩达到抛物线的顶点,弯矩 DB段:在D点有集中弯矩作用,故有一跳跃,其值为qα2,因此D点右侧弯 矩为2qa2/3。此段中间无任何载荷作用,弯矩图为直线,B点的弯矩为零。 弯矩图如图3(b)。 、计算题作图示梁的剪力图和弯矩图(B为中间铰)
AD 段：载荷为均布，且向下，产后负弯矩。距 A 点为 x 的截面上的弯矩， 由 A 截面的弯矩—qα2,A 点右侧剪力 4qα/3 产生的弯矩，以及均布载荷—q 产 生的弯矩之和组成， -qα2+ 弯矩图为一抛物线，且向上，到 D 点 x=2α，弯矩 在距 A 点 4α/3 处，弯矩达到抛物线的顶点，弯矩 。 DB 段：在 D 点有集中弯矩作用，故有一跳跃，其值为 qα2，因此 D 点右侧弯 矩为 2qα2/3。此段中间无任何载荷作用，弯矩图为直线，B 点的弯矩为零。 弯矩图如图 3（b）。 二、计算题作图示梁的剪力图和弯矩图（B 为中间铰） 解：
首先求D的支反力。B点中间铰只传递剪力,不传递弯矩,B点右侧梁上所有 载荷对B点的弯矩为零 (1)剪力图(从右往左画) DC段:仅有支反力RD作用,其间不变,剪力图为水平线,大小为RD CB段:只有C点有集中力,有一跳跃,剪力变为零,此段剪力为零。 EE段:只有B点有集中力P作用,再次出现跳跃,剪力增加,剪力图为水平线。 EA段:有均布载荷q向下作用,剪力图应为从右向左向上倾斜的填线,斜率为-q。 剪力 E点为,A点为2 剪力图如图示(a)。 (2)弯矩图(从右往左画) DC段:仅有支反力RD作用,弯矩图为直线,D点的弯矩为零,C点的弯矩为。 CB段:C点有集中弯矩,有跳跃,使得C点左侧弯矩为零,此段无其它载荷作 用,弯矩保持为零 BE段:B点有集中力P作用,产生线性变化的弯矩,弯矩图为直线,到E点, 弯矩值为。 EA段:此段有均布载荷作用,且为负,弯矩图为抛物线,向下,到A点弯矩
首先求 D 的支反力。B 点中间铰只传递剪力，不传递弯矩，B 点右侧梁上所有 载荷对 B 点的弯矩为零。 （1）剪力图（从右往左画） DC 段：仅有支反力 RD 作用，其间不变，剪力图为水平线，大小为 RD。 CB 段：只有 C 点有集中力 ，有一跳跃，剪力变为零，此段剪力为零。 BE 段：只有 B 点有集中力 P 作用，再次出现跳跃，剪力增加 ，剪力图为水平线。 EA 段：有均布载荷 q 向下作用，剪力图应为从右向左向上倾斜的填线，斜率为-q。 剪力 E 点为 ，A 点为 2 。 剪力图如图示（a）。 （2）弯矩图（从右往左画） DC 段：仅有支反力 RD 作用，弯矩图为直线，D 点的弯矩为零，C 点的弯矩为 。 CB 段：C 点有集中弯矩 ，有跳跃，使得 C 点左侧弯矩为零，此段无其它载荷作 用，弯矩保持为零。 BE 段：B 点有集中力 P 作用，产生线性变化的弯矩，弯矩图为直线，到 E 点， 弯矩值为 。 EA 段：此段有均布载荷 作用，且为负，弯矩图为抛物线，向下 ,到 A 点弯矩
计算题 欲用钢索起吊一根自重为(均布全梁)长度为的等截面梁,如图所示,吊点 位置应是多少才最合理 解: 设钢索系在距端点处,受力如图2(a)。钢索的张力的垂直分量N由平衡方程 得作弯矩图如图3。 CA段:距A点为的截面上的弯矩(0) AB段:距A点为的截面上的弯矩有均布载荷产生的弯矩,和集中力N产生的 弯矩之和组成 在AB段的中点E,弯矩达到最大 BD段与BA段相同。 从弯矩图可知,当钢索系某处,使A点的弯矩与E点的弯矩大小相等,方向相反 时才是 理的位置,即 求解此方程,得 应取正值,钢索应系的位置
三、计算题 欲用钢索起吊一根自重为 （均布全梁）长度为 的等截面梁 ，如图所示，吊点 位置 应是多少才最合理？ 解： 设钢索系在距端点 处，受力如图 2（a）。钢索的张力的垂直分量 N 由平衡方程 得 作弯矩图如图 3。 CA 段：距 A 点为 的截面上的弯矩 （0 ） AB 段：距 A 点为 的截面上的弯矩有均布载荷 产生的弯矩，和集中力 N 产生的 弯矩之和组成 在 AB 段的中点 E，弯矩达到最大。 BD 段与 BA 段相同。 从弯矩图可知，当钢索系某处，使 A 点的弯矩与 E 点的弯矩大小相等，方向相反 时才是 理的位置，即 求解此方程，得 应取正值，钢索应系的位置