第十六章 虚位移原理
第十六章 虚 位 移 原 理
动力学 本章重点、难点 1.重点 虚位移、理想约束的概念,应用虚位移原理求 解物体系的平衡问题。 2.难点 广义坐标、广义力的概念,广义坐标形式的虚 位移原理
本章重点、难点 ⒈重点 虚位移、理想约束的概念，应用虚位移原理求 解物体系的平衡问题。 ⒉难点 广义坐标、广义力的概念，广义坐标形式的虚 位移原理
动力学 在第一篇静力学中,我们从静力学公理出发,通过力系 的简化,得出刚体的平衡条件,用来研究刚体及刚体系统的 平衡问题。在这一章里,我们将介绍普遍适用于研究任意质 点系的平衡问题的一个原理,它从位移和功的概念出发,得 出任意质点系的平衡条件。该原理叫做虚位移原理。它是研 究平衡问题的最一般的原理,不仅如此,将它与达朗伯原理 相结合,就可得到一个解答动力学问题的动力学普遍方程
在第一篇静力学中，我们从静力学公理出发，通过力系 的简化，得出刚体的平衡条件，用来研究刚体及刚体系统的 平衡问题。在这一章里，我们将介绍普遍适用于研究任意质 点系的平衡问题的一个原理，它从位移和功的概念出发，得 出任意质点系的平衡条件。该原理叫做虚位移原理。它是研 究平衡问题的最一般的原理，不仅如此，将它与达朗伯原理 相结合，就可得到一个解答动力学问题的动力学普遍方程
§16-1约束及其分类 约束及约束方程 限制质点或质点系运动的各种条件称为约束。 将约束的限制条件以数学方程来表示,则称为约束方程。 例如: A(xA,JA B(xB,e) 7777 M(x,y) 曲柄连杆机构 平面单摆 xA +VA =r x-+ )2+(yB-y4)
§16-1 约束及其分类 一、约束及约束方程 限制质点或质点系运动的各种条件称为约束。 将约束的限制条件以数学方程来表示，则称为约束方程。 平面单摆 2 2 2 x + y = l 例如： 曲柄连杆机构 2 2 2 x y r A + A = ( ) ( ) , 0 2 2 2 xB − xA + yB − yA = l yB =
动力学 约束的分类 根据约束的形式和性质,可将约束划分为不同的类型,通 常按如下分类: 1、几何约束和运动约束 限制质点或质点系在空间几何位置的条件称为几何约束 如前述的平面单摆和曲柄连杆机构例子中的限制条件都是几 何约束。 当约東对质点或质点系的运动情况进行限制时,这种约 束条件称为运动约束。 例如:车轮沿直线轨道作纯滚动时
根据约束的形式和性质，可将约束划分为不同的类型，通 常按如下分类： 二、约束的分类 1、几何约束和运动约束 限制质点或质点系在空间几何位置的条件称为几何约束。 如前述的平面单摆和曲柄连杆机构例子中的限制条件都是几 何约束。 当约束对质点或质点系的运动情况进行限制时，这种约 束条件称为运动约束。 例如：车轮沿直线轨道作纯滚动时
动力学 几何约束:yA=r 运动约束:w4-rO=0 2、定常约束和非定常约束 当约束条件与时间有关,并随时间变化时称为非定常约束 约束条件不随时间改变的约束为定常约束。 前面的例子中约束条件皆不随时间变化,它们都是定常约束。 0Q4例如:重物M由一条穿过固定圆环的细绳 系住。初始时摆长l,匀速v拉动绳子 x2+y2=(l0-)2约束方程中显含时间t
几何约束： 运动约束： ( 0) 0 − = − = = x r v r y r A A A 当约束条件与时间有关，并随时间变化时称为非定常约束。 约束条件不随时间改变的约束为定常约束。 前面的例子中约束条件皆不随时间变化，它们都是定常约束。 2、定常约束和非定常约束 例如：重物M由一条穿过固定圆环的细绳 系住。初始时摆长 l0 , 匀速v拉动绳子。 x 2+y2=( l0 -vt ) 2 约束方程中显含时间 t
动力学 3、完整约束和非完整约東 如果在约束方程中含有坐标对时间的导数(例如运动约束) 而且方程中的这些导数不能经过积分运算消除,即约束方程中 含有的坐标导数项不是某一函数全微分,从而不能将约束方程 积分为有限形式,这类约束称为非完整约束。一般地,非完整 约束方程只能以微分形式表达。 如果约束方程中不含有坐标对时间的导数,或者约束方程 中虽有坐标对时间的导数,但这些导数可以经过积分运算化为 有限形式,则这类约束称为完整约束
如果在约束方程中含有坐标对时间的导数（例如运动约束） 而且方程中的这些导数不能经过积分运算消除，即约束方程中 含有的坐标导数项不是某一函数全微分，从而不能将约束方程 积分为有限形式，这类约束称为非完整约束。一般地，非完整 约束方程只能以微分形式表达。 3、完整约束和非完整约束 如果约束方程中不含有坐标对时间的导数，或者约束方程 中虽有坐标对时间的导数，但这些导数可以经过积分运算化为 有限形式，则这类约束称为完整约束
动力学 例如:车轮沿直线轨道作纯滚动,4一P=0是微分方程,但 经过积分可得到x4-9=C(常数),该约束仍为完整约束 几何约束必定是完整约束,但完整约束未必是几何约束。 非完整约束一定是运动约束,但运动约束未必是非完整约束 4、单面约束和双面约束 在两个相对的方向上同时oK 对质点或质点系进行运动限制 的约束称为双面约束。只能限 y M 制质点或质点系单一方向运动y 的约束称为单面约束
在两个相对的方向上同时 对质点或质点系进行运动限制 的约束称为双面约束。只能限 制质点或质点系单一方向运动 的约束称为单面约束。 例如：车轮沿直线轨道作纯滚动， 是微分方程，但 经过积分可得到 （常数），该约束仍为完整约束。 x A −r = 0 xA −r=C 4、单面约束和双面约束 几何约束必定是完整约束，但完整约束未必是几何约束。 非完整约束一定是运动约束，但运动约束未必是非完整约束。 刚杆 x 2+y 2=l 2 绳 x 2+y 2 l 2
动力学 双面约束的约束方程为等式,单面约束的约束方程为不等式 我们只讨论质点或质点系受定常、双面、完整约束的情况, 其约束方程的一般形式为(s为质点系所受的约束数目,n为质 点系的质点个数) f(x1,y1x1…xn,ynn)=0(j=12…)
双面约束的约束方程为等式，单面约束的约束方程为不等式。 我们只讨论质点或质点系受定常、双面、完整约束的情况， 其约束方程的一般形式为（s为质点系所受的约束数目，n为质 点系的质点个数） ( , , ; ; , , ) 0 ( 1,2, , ) 1 1 1 f x y z x y z j s j n n n = =
动力学 §16-2自由度广义坐标 自由质点系自由度 个自由质点在空间的位置:(x,y,z) 3个自由度 个自由质点系在空间的位置:(x1,y2z1)(=1,2…,n)3mn个自 由度 非自由质点系自由度 对一个非自由质点系,受s个完整约束,(3n-s)个独立坐标。 其自由度为k=3n-s 确定一个受完整约束的质点系的位置所需的独立坐标的数目, 称为该质点系的自由度的数目,简称为自由度
§16-2 自由度 广义坐标 一个自由质点在空间的位置：（ x, y, z ) 3个自由度 一个自由质点系在空间的位置：( xi , yi ,zi ) (i=1,2……n) 3n个自 由度 二、非自由质点系自由度 对一个非自由质点系，受s个完整约束，（3n-s )个独立坐标。 其自由度为 k=3n-s 。 确定一个受完整约束的质点系的位置所需的独立坐标的数目， 称为该质点系的自由度的数目，简称为自由度。 一、自由质点系自由度