第十七章振动基本理论 振动是自然界最普遍的现象之一。在许多情况下,振动被认为是消极因素。例如,振 动会加剧机械设备的磨损,缩短设备和结构的使用寿命,引起结构的破坏。然而振动也有 它积极的一面 例如,振动沉桩、振动筛选,振动传输等,都是利用振动的生产装备和工艺。我们研 究振动的目的,就是要避免或消除它的消极方面,而利用它的积极方面,使振动在工程技 术中更好地发挥它的作用 本章仅限于讨论单自由度系统的振动 §17-1单自由度系统的自由振动 在研究振动问题时,往往可把具体的振动系统抽象为一个质量和一个弹簧的弹簧质量 系统,如图17-1所示。弹簧的质量略去不计,该系统具有一个自由度,在重力影响下沿 铅垂方向振动。为分析其运动规律,先列出其运动微分方程。 1.自由振动( Free vibration)微分方程 设物块的质量为m,弹簧原长为b,刚度系数为k。物块在平衡位置时,弹簧的变形 为δ,称为静变形。平衡时,重力P与弹性力相等,即P=mg=δ 由此可得弹簧的静变形为 (17-1) 取物块的静平衡位置(振动中心)为坐标原点,x轴沿垂向下,当物块在任意位置x 处时,弹簧对物块的作用力大小为F=k(6+x) 阻力(振动问题中称阻尼)略去不计,根据牛顿第二定律,物块的运动微分方程为 将式(17-1)代入上式,可得 d2x dt2 令 k 可得 (17-3)
1 第十七章 振动基本理论 振动是自然界最普遍的现象之一。在许多情况下，振动被认为是消极因素。例如，振 动会加剧机械设备的磨损，缩短设备和结构的使用寿命，引起结构的破坏。然而振动也有 它积极的一面。 例如，振动沉桩、振动筛选，振动传输等，都是利用振动的生产装备和工艺。我们研 究振动的目的，就是要避免或消除它的消极方面，而利用它的积极方面，使振动在工程技 术中更好地发挥它的作用。 本章仅限于讨论单自由度系统的振动。 §17-1 单自由度系统的自由振动 在研究振动问题时，往往可把具体的振动系统抽象为一个质量和一个弹簧的弹簧质量 系统，如图 17-1 所示。弹簧的质量略去不计，该系统具有一个自由度，在重力影响下沿 铅垂方向振动。为分析其运动规律，先列出其运动微分方程。 1．自由振动（Free vibration）微分方程 设物块的质量为 m，弹簧原长为 l0，刚度系数为 k。物块在平衡位置时，弹簧的变形 为δ st ，称为静变形。平衡时，重力 P 与弹性力相等，即 P = mg = δ st 由此可得弹簧的静变形为 k mg δ st = （17-1） 取物块的静平衡位置（振动中心）为坐标原点，x 轴沿垂向下，当物块在任意位置 x 处时，弹簧对物块的作用力大小为 F k( x) = δ st + 阻力（振动问题中称阻尼）略去不计，根据牛顿第二定律，物块的运动微分方程为 mg k( ) x t x m = − δ st + 2 2 d d 将式（17-1）代入上式，可得 k x t x m = − 2 2 d d 令 m k n =2 ω （17-2） 可得 0 d d 2 2 2 + x = t x ωn （17-3） x δst l0 F k x P 图 17-1
式(17-3)为单自由度系统无阻尼自由振动微分方程的标准形式。它是一个二阶常系数齐 次微分方程。其解为 x= C1 cos@n, t+C2 sin @n t (17-4) 式中C1、C2为积分常量,可由运动初始条件确定。 式(17-4)对时间t求导数,可得物块在任意瞬时的速度为 dx=-C,@, sin@, t+C2@n, cos o,t 当t=0时,x=x,ν=1,可求出积分常量 =x0,C2 为了便于研究自由振动的规律及特性,令 CI=Asin 0, C2=Acos 8 则式(174)可写成 x= Asin(@ t+0 (17-5) 式中 (17-6) 由式(17-5)可知无阻尼自由振动是 简谐振动,其运动图线如图17-2所 2.自由振动的特点 (1)周期与频率。由式(17-5) 可知,物体的无阻尼自由振动是周期 运动,设周期为T,有x()=x(+7) 如图172所示。式(17-5)中正弦 函数的角度周期为2x,即 丌 17-2 可得无阻尼自由振动的周期为 无阻尼自由振动的频率为
2 式（17-3）为单自由度系统无阻尼自由振动微分方程的标准形式。它是一个二阶常系数齐 次微分方程。其解为 cos t sin t C1 n C2 n x = ω + ω （17-4） 式中 C1、C2为积分常量，可由运动初始条件确定。 式（17-4）对时间 t 求导数，可得物块在任意瞬时的速度为 C t C t t x v ωn ωn ωn ωn sin cos d d = = − 1 + 2 当 t = 0 时，x = x0，v = v0，可求出积分常量 1 0 C = x ， n v C ω 0 2 = 为了便于研究自由振动的规律及特性，令 C1 = Asinθ ，C2 = Acosθ 则式（17-4）可写成 x = A (ω t + θ ) n sin （17-5） 式中 ⎪ ⎪ ⎭ ⎪ ⎪ ⎬ ⎫ = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = + = + 0 0 2 2 0 0 2 2 2 1 tan v x v A C C x n n ω θ ω （17-6） 由式（17-5）可知无阻尼自由振动是 简谐振动，其运动图线如图 17-2 所 示。 2．自由振动的特点 （1）周期与频率。由式（17-5） 可知，物体的无阻尼自由振动是周期 运动，设周期为 T，有 x() ( ) t = x t + T ， 如图 17-2 所示。式（17-5）中正弦 函数的角度周期为 2π ，即 ωn ( ) T + t + θ − (ωn t + θ ) = 2π 可得无阻尼自由振动的周期为 n T ω 2π = （17-7） 无阻尼自由振动的频率为 0 t x A0 A0 t T 图 17-2 x0
(17-8) 由上式可求 Cn=2丌f 表示物体在2丌秒内振动的次数,称为圆频率( Circular frequency)。由式(17-2)可知on 只与系统本身的质量m及刚度k有关,而与运动的初始条件无关,是振动系统的固有特 性,所以称On为固有圆频率(一般也称固有频率( Natural frequency))。其单位与频率∫ 相同,为赫兹(Hz)。 m=P和k=P代入式(172),得 (17-10 式(17-10)表明,对上述振动系统,只要知道重力作用下的静变形,就可求得系统 的固有频率。 (2)振幅( Amplitude)和初位相。在式(17-5)中,A表示物块偏离振动中心的最 大距离,称为振幅,它反映自由振动的范围和强弱;(on+)称为振动的相位( Phase) (或相位角),单位是弧度(rad),相位决定了物块在某瞬时t的位置,而θ称为初相位 它决定了物块运动的起始位置 例17-1求图17-3所示单摆的微幅振动周期。已知摆球质量为m,摆绳长为l。 解单摆的静平衡位置为铅垂位置,用摆绳偏离垂线的夹角φ作为角坐标。摆球受到 重力mg和绳拉力F的作用。取φ的增大方向为正向,依据动量矩定理,得 d2φ -m lsin p d o 对于微幅振动的单摆,sin≈φ,上式可简化为 d2g 0 与式(17-3)比较,可得单摆微幅振动的固有圆频率为 周期为
3 π ω 2 1 n T f = = （17-8） 由上式可求 f ωn = 2π （17-9） 表示物体在 2π 秒内振动的次数，称为圆频率（Circular frequency）。由式（17-2）可知ωn 只与系统本身的质量 m 及刚度 k 有关，而与运动的初始条件无关，是振动系统的固有特 性，所以称ωn 为固有圆频率（一般也称固有频率（Natural frequency））。其单位与频率 f 相同，为赫兹（Hz）。 g P m = 和 st P k δ = 代入式（17-2），得 s t n g δ ω = （17-10） 式（17-10）表明，对上述振动系统，只要知道重力作用下的静变形，就可求得系统 的固有频率。 （2）振幅（Amplitude）和初位相。在式（17-5）中，A 表示物块偏离振动中心的最 大距离，称为振幅，它反映自由振动的范围和强弱；(ω t + θ ) n 称为振动的相位（Phase） （或相位角），单位是弧度（rad），相位决定了物块在某瞬时 t 的位置，而θ 称为初相位， 它决定了物块运动的起始位置。 例 17-1 求图 17-3 所示单摆的微幅振动周期。已知摆球质量为 m，摆绳长为 l。 解 单摆的静平衡位置为铅垂位置，用摆绳偏离垂线的夹角ϕ 作为角坐标。摆球受到 重力 mg 和绳拉力 F 的作用。取ϕ 的增大方向为正向，依据动量矩定理，得 ϕ ϕ sin d d 2 2 2 m g l t ml = − 即 0 sin d d 2 2 + = l g t ϕ ϕ 对于微幅振动的单摆，sinϕ ≈ϕ ，上式可简化为 0 d d 2 2 + ϕ = ϕ l g t 与式（17-3）比较，可得单摆微幅振动的固有圆频率为 l g ωn = 周期为 O φ F l mg v 图 17-3
2π=2兀 讨论 (1)与质量弹簧系统相比较,可知单摆的微幅振动也是一简谐运动,其振动方程、 振幅、初相位在形式上与式(17-5),(17-6)相似,只是运动坐标用角坐标表示,初始 条件用q=o,q'=o0表示 (2)由周期表达式可知,单摆作微幅振动时周期为常量。只要测出周期T、就可算 出当地的实际重力加速度值。读者若有兴趣,可用单摆测定重力加速度。为了减小误差 可先测出100个周期所用时间,然后取其平均值 例17-2滑轮重P,重物M,M重为Q1,Q2。弹簧的刚度系数为k,如图174所 示。设滑轮为均质圆盘,略去弹簧与绳子的质量,求重物垂直振动的周期。 解以滑轮偏离其平衡位置的转角φ为确定系统位置的坐标。设滑轮半径为r。当系 统在任意位置φ时,弹簧的变形量为 8 δ,为系统在平衡位置时弹簧的静变形。 依据动量矩定理,有 Joo"=-k(6,, +ro)r+,r-gr 式中J为系统对点O的转动惯量,即 图17-4 1Pn2+9n2+9 Jo2 g +O1+O g g 系统在平衡位置时弹性力对点O之矩与重物重力对点O之矩相互抵消,即 +Q1r-Q2r=0 因此有 P +Q1+Q2q”=-kr 2 0 从而可得系统的固有圆频率为
4 g l T n π ω π 2 2 = = 讨论 （1）与质量弹簧系统相比较，可知单摆的微幅振动也是一简谐运动，其振动方程、 振幅、初相位在形式上与式（17-5），（17-6）相似，只是运动坐标用角坐标ϕ 表示，初始 条件用ϕ =ϕ 0 ，ϕ =ω 0 ′ 表示。 （2）由周期表达式可知，单摆作微幅振动时周期为常量。只要测出周期 T、就可算 出当地的实际重力加速度值。读者若有兴趣，可用单摆测定重力加速度。为了减小误差， 可先测出 100 个周期所用时间，然后取其平均值。 例 17-2 滑轮重 P，重物 M1，M2 重为 Q1，Q2。弹簧的刚度系数为 k，如图 17-4 所 示。设滑轮为均质圆盘，略去弹簧与绳子的质量，求重物垂直振动的周期。 解 以滑轮偏离其平衡位置的转角ϕ 为确定系统位置的坐标。设滑轮半径为 r。当系 统在任意位置ϕ 时，弹簧的变形量为 δ = δ s t + rϕ δ s t 为系统在平衡位置时弹簧的静变形。 依据动量矩定理，有 J k( r )r Q r Q r 0 = − st + + 1 − 2 ϕ′′ δ ϕ 式中 J0 为系统对点 O 的转动惯量，即 g r Q Q P r g Q r g Q r g P J 2 1 2 2 1 2 2 2 0 2 2 1 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = + + = + + 系统在平衡位置时弹性力对点 O 之矩与重物重力对点 O 之矩相互抵消，即 0 − kδ str + Q1r − Q2 r = 因此有 ϕ ϕ2 2 1 2 2 k r g r Q Q P ⎟ ′′ = − ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + + 即 0 2 2 2 1 2 = + + ϕ′′ + ϕ P Q Q gk 从而可得系统的固有圆频率为 O M2 k1 φ M1 图 17-4
2gk 2Q1+202 重物垂直振动的周期(系统的振动周期)为 P+2Q1+2Q2 2gk 3.弹簧的并联与串联 (1)弹簧并联。图17-5表示刚性系数为k1,k2的弹簧组成的两种并联系统。在物块 重力作用下,每个弹簧产生的静变形相等,由物块的平衡条件可得 mg=k,83,+k285t 将并联弹簧看成为一个弹簧,其刚度系数k。=mg/6,,称k k2 为等效刚度系数( Equivalent stiffnes)。从而可得 kea =k,+k2 (17-11) 式(17-11)表明并联弹簧系统的等效刚度系数等于各弹簧刚 图17-5 度系数之和。这一结果说明弹簧并联后总的刚度系数增大了。该系统的固有圆频率为 (2)弹簧串联。图17-6表示两个弹簧串联,两个弹簧的刚度系数分别为k1,k2。在 物块重力作用下每个弹簧所受的拉力相同,因此每个弹簧的静变形为 两个弹簧总的静变形为 k 图17-6 将串联弹簧看成为一个弹簧,其等效刚度系数为kq,则有 比较上面两式,得 =-+ (17-12) ki k2 式(17-12)表明串联弹簧系统的等效刚度系数的倒数等于各弹簧刚度系数的倒数之和
5 1 2 2 2 2 P Q Q gk n + + ω = 重物垂直振动的周期（系统的振动周期）为 gk P Q Q T n 2 2 2 2 2 + 1 + 2 = = π ω π 3．弹簧的并联与串联 （1）弹簧并联。图 17-5 表示刚性系数为 k1，k2 的弹簧组成的两种并联系统。在物块 重力作用下，每个弹簧产生的静变形相等，由物块的平衡条件可得 s t s t mg = k1δ + k2δ 将并联弹簧看成为一个弹簧，其刚度系数 eq mg s t k = δ ，称 为等效刚度系数（Equivalent stiffness）。从而可得 1 2 k k k eq = + （17-11） 式（17-11）表明并联弹簧系统的等效刚度系数等于各弹簧刚 度系数之和。这一结果说明弹簧并联后总的刚度系数增大了。该系统的固有圆频率为 m k k m keq n 1 + 2 ω = = （2）弹簧串联。图 17-6 表示两个弹簧串联，两个弹簧的刚度系数分别为 k1，k2。在 物块重力作用下每个弹簧所受的拉力相同，因此每个弹簧的静变形为 1 1 k mg δ s t = ， 2 2 k mg δ s t = 两个弹簧总的静变形为 ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = + = + 1 2 1 1 1 2 k k mg δ s t δ s t δ s t 将串联弹簧看成为一个弹簧，其等效刚度系数为 keq，则有 eq s t k mg δ = 比较上面两式，得 1 2 1 1 1 k k k eq = + （17-12） 式（17-12）表明串联弹簧系统的等效刚度系数的倒数等于各弹簧刚度系数的倒数之和。 m k1 m k2 k1 k2 （a） （b） 图 17-5 m k1 k2 图 17-6
式(17-2)还可写成 k2 (17-13) k1+k2 上述串联弹簧系统的固有频率为 k,k2 §17-2计算固有频率的能量法 对于图17-1所示无阻尼振动系统,当系统作自由振动时,物块的运动规律为 Asin(@, 1+0) 速度为 dx Ao, cos(o, (+0 在瞬时t,物块的动能为 T=-mv2=-mA'o2 cos(o,t +0) 选平衡位置为零势能位置,系统的势能为 k(x+.,)-6]-mgx 因为koS=mg,所以势能为 V=kx2=-kA2sin2(o, (+0) 当物块处于平衡位置(振动中心)时,势能为零,动能最大,即 mo242 当物块处于距振动中心最远的位置时,动能为零,势能最大,即 无阻尼自由振动系统是保守系统,由机械能守恒定律有 max 对于质量弹簧系统,可得固有频率为 Vm 根据上述方法,可求出其它类型机械振动系统的固有频率。 例17-3图17-7所示系统中,圆柱体半径为r,质量为m,在水平面上滚而不滑
6 式（17-2）还可写成 1 2 1 2 k k k k keq + = （17-13） 上述串联弹簧系统的固有频率为 ( ) 1 2 1 2 m k k k k m keq n + ω = = §17-2 计算固有频率的能量法 对于图 17-1 所示无阻尼振动系统，当系统作自由振动时，物块的运动规律为 x = A (ω t + θ ) n sin 速度为 = = Aω ( ) ω t +θ t x v n n cos d d 在瞬时 t，物块的动能为 T = mv = mA ωn ( ) ωnt + θ 2 2 2 2 cos 2 1 2 1 选平衡位置为零势能位置，系统的势能为 V k[(x ) ] mg x = + s t − st − 2 2 2 1 δ δ 因为 k mg δ st = ，所以势能为 V = k x = kA ( ) ωnt + θ 2 2 2 sin 2 1 2 1 当物块处于平衡位置（振动中心）时，势能为零，动能最大，即 2 2 max 2 1 T = mωn A 当物块处于距振动中心最远的位置时，动能为零，势能最大，即 2 max 2 1 V = k A 无阻尼自由振动系统是保守系统，由机械能守恒定律有 Tmax =Vmax 对于质量弹簧系统，可得固有频率为 m k ωn = 根据上述方法，可求出其它类型机械振动系统的固有频率。 例 17-3 图 17-7 所示系统中，圆柱体半径为 r，质量为 m，在水平面上滚而不滑；
弹簧刚度系数为k。试求系统的固有圆频率。 解以弹簧处于原长时圆柱圆心为坐标原点,以圆柱圆心偏离原点的距离x为系统的 运动坐标。设系统作自由振动,坐标x的变化规律为 =Asin(o, t +0) 系统的动能为 T=-Ja 式中J为圆柱对圆心的转动惯量。系统的最大动能为 T==m02A2 系统的势能为 k 最大势能为 图17-7 根据机械能守恒定律,有 k mo 2k 得 V3. 例17-4用能量法计算例17-2题。 解以滑轮偏离其平衡位置的转角φ为系统的坐标。设系统作自由振动,振动规律为 P=Om, sin(o, t +0) 当系统在任意位置φ时,其动能为 3()+192( T==J09 Q1 pno 最大动能为 (P+2Q1+2Q2)
7 弹簧刚度系数为 k。试求系统的固有圆频率。 解 以弹簧处于原长时圆柱圆心为坐标原点，以圆柱圆心偏离原点的距离 x 为系统的 运动坐标。设系统作自由振动，坐标 x 的变化规律为 x = A (ω t + θ ) n sin 系统的动能为 T = Jω + mv = mx′ = mωn A ( ) ωnt + θ 2 2 2 2 2 2 cos 4 3 4 3 2 1 2 1 式中 J 为圆柱对圆心的转动惯量。系统的最大动能为 2 2 max 4 3 T = mωn A 系统的势能为 = = A ( ) ω t + θ k x k V n 2 2 2 sin 2 2 最大势能为 2 max 2 Ak V = 根据机械能守恒定律，有 Tmax =Vmax 即 2 2 2 4 2 3 A k mωn A = 得 m k n 3 2 ω = 例 17-4 用能量法计算例 17-2 题。 解 以滑轮偏离其平衡位置的转角ϕ 为系统的坐标。设系统作自由振动，振动规律为 ϕ =ϕ (ω t + θ ) m n sin 当系统在任意位置ϕ 时，其动能为 ( ) ( ) ϕ ω ( ) ω θ ϕ ϕ ϕ ⎟ + ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = + + = ′ + × ′ + × ′ P Q Q t g r r g Q r g Q T J m n n 2 2 2 1 2 2 2 1 2 2 2 0 cos 2 1 2 2 1 2 1 2 1 最大动能为 ( ) 2 2 1 2 2 max 2 2 4 P Q Q m n g r T = + + ϕ ω o x k A x l0 图 17-7
系统的势能为 V=58,+ro)-8 -erp+O2rp=kr202=K/2p sin(@, t+0) 最大势能为 由 得 g P+2g1+2Q2 丌 2gk §17.3单自由度系统有阻尼自由振动 无阻尼自由振动,振幅保持不变,振动能够持续进行下去。但实际中的自由振动振幅 随时间增加不断减小,直到振动停止。这是因为振动过程中,还存在某些影响振动的阻力 这个阻力称为阻尼。阻尼有多种形式,如粘性阻尼、干摩擦阻尼、结构变形产生的内阻 等。这里只讨论粘性阻尼 当振动速度不大时,阻力近似地与速度成正比,方向与速度相反。这样的阻尼 ( Damping)称为粘性阻尼( Viscous damping)。设振动质点的速度为v,粘性阻尼的阻尼 力可表示为 R=-C 其中比例常数C称为阻尼系数( Coefficient of damping),负号表示阻力与速度的方向相反。 在图178(a)所示的质量弹簧系统中,用一阻尼器表 示系统的阻尼。以物块为研究对象。取静平衡位置为原点 坐标轴x向下为正。物块在任意位置x处的受力如图17-8 C (b)所示。物块的运动微分方程为 F R 将δx=m/k代入上式,整理得 (b) 17-8
8 系统的势能为 = [ ] ( ) δ + ϕ − δ − ϕ + ϕ = ϕ = r ϕ ( ) ω t + θ k r k r Q r Q r k V st st m n 2 2 2 2 2 1 2 2 2 sin 2 2 2 最大势能为 2 2 max 2 m r k V = ϕ 由 max max T = v 得 ( ) 2 2 2 4 1 2 1 2 k P Q Q g + + ωn = 1 2 2 2 2 P Q Q gk n + + ω = gk P Q Q T n 2 2 2 2 2 + 1 + 2 = = π ω π §17.3 单自由度系统有阻尼自由振动 无阻尼自由振动，振幅保持不变，振动能够持续进行下去。但实际中的自由振动振幅 随时间增加不断减小，直到振动停止。这是因为振动过程中，还存在某些影响振动的阻力。 这个阻力称为阻尼。阻尼有多种形式，如粘性阻尼、干摩擦阻尼、结构变形产生的内阻尼 等。这里只讨论粘性阻尼。 当振动速度不大时，阻力近似地与速度成正比，方向与速度相反。这样的阻尼 （Damping）称为粘性阻尼（Viscous damping）。设振动质点的速度为 v，粘性阻尼的阻尼 力可表示为 R = −C v （17-14） 其中比例常数 C 称为阻尼系数（Coefficient of damping），负号表示阻力与速度的方向相反。 在图 17-8（a）所示的质量弹簧系统中，用一阻尼器表 示系统的阻尼。以物块为研究对象。取静平衡位置为原点， 坐标轴 x 向下为正。物块在任意位置 x 处的受力如图 17-8 （b）所示。物块的运动微分方程为 ( ) t x mg k x C t x m st d d d d 2 2 = − δ + − 将 mg k δ st = 代入上式，整理得 F R P o x x k m C （b） 图 17-8 （a）
d-x C x=0 2m n称为阻尼参变量,表示系统阻尼的大小。将On与n代入前式,得 +2n+2x=0 (17-16) 式(17-16)是有阻尼自由振动微分方程的标准形式,是二阶齐次常系数微分方程。对于 不同的阻尼系数,方程的解有很大不同,下面分别进行讨论。 (1)小阻尼情形。当n<on,阻尼系数C<2√mk时,阻尼较小,称为小阻尼情形 这时式(17-16)的解为 x= Ae-ntsinN02-n2t+8 (17-17) t 式中o=Vo2-n2,A和为积分常数,由运动条件确定。设t=0时, 代入式(17-17)及其导数中,可得 +o+nxo Vo t nro 式(17-17)是小阻情形下的自由振动表达式,振幅随时间不断衰减,所以又称为衰 减振动( Damped Vibration)。其运动图线如图179所示。从图中可以看出振幅在曲线 x=Ae-m与x=-Aeˉm之间逐次递减。这种振动己不是周期振动,但仍然是围绕平衡位置 的往复运动,仍然具有振动的特点。习惯上将Ae-m称为瞬时振幅,将od称为衰减振动 的圆频率。令 (17-19) D2√mk 5称为阻尼比( Damping ratio)。衰减振动的圆频率oa与周期Ta为
9 0 d d d d 2 2 + + x = m k t x m C t x 令 m k n =2 ω ， m C n 2 = （17-15） n 称为阻尼参变量，表示系统阻尼的大小。将ωn 与 n 代入前式，得 0 d d 2 d d 2 2 2 + + x = t x n t x ωn （17-16） 式（17-16）是有阻尼自由振动微分方程的标准形式，是二阶齐次常系数微分方程。对于 不同的阻尼系数，方程的解有很大不同，下面分别进行讨论。 （1）小阻尼情形。当 n <ωn ，阻尼系数 C< 2 mk 时，阻尼较小，称为小阻尼情形。 这时式（17-16）的解为 = ( ω − +θ ) − x Ae n t n nt 2 2 sin （17-17） 或 = (ω + θ ) − x Ae t d nt sin 式中 2 2 n ωd = ωn − ，A 和θ 为积分常数，由运动条件确定。设 t = 0 时，x = x0，v = v0， 代入式（17-17）及其导数中，可得 ( ) ⎪ ⎪ ⎪ ⎭ ⎪⎪ ⎪ ⎬ ⎫ + − = − + = + 0 0 2 2 0 2 2 2 2 0 0 0 tan v nx x n n v nx A x n n ω θ ω （17-18） 式（17-17）是小阻情形下的自由振动表达式，振幅随时间不断衰减，所以又称为衰 减振动（Damped Vibration）。其运动图线如图 17-9 所示。从图中可以看出振幅在曲线 nt x Ae− = 与 nt x Ae− = − 之间逐次递减。这种振动已不是周期振动，但仍然是围绕平衡位置 的往复运动，仍然具有振动的特点。习惯上将 nt Ae− 称为瞬时振幅，将ωd 称为衰减振动 的圆频率。令 mk n C n 2 = = ω ξ （17-19） ξ 称为阻尼比（Damping ratio）。衰减振动的圆频率ωd 与周期 Td 为
(1720) 式中On与T表示相应无阻尼自由振动系 统的固有频率与周期。由式(17-20)可知, 在相同的质量及刚度系数条件下,衰减振 动的周期比无阻尼自由振动的周期长。但 当阻尼很小时,对周期的影响并不明显。 设某瞬1,振幅为Aeˉ,经过一个周 图17-9 期7后,下一个振幅为Ae-m+)。这两 个相邻振幅之比为 de- t A de-ml+=emTy (17-21) η称为振幅减缩率,从式(17-21)可知任意两个相邻振幅之比为一常数,所以衰减 振动的振幅呈几何级数减小,很快趋于零。 对式(17-21)的两端取自然对数,得 (17-22 δ称为对数减缩率,将式(17-20)代入式(17-22),得 当阻尼很小时,对数减缩率也可近似为 =2m5 (17-24) (2)临界阻尼和大阻尼情形。当n=四n时,称为临界阻尼情形。此时系统的阻尼系 数用CC表示,Cc称为临界阻尼系数。由式(17-19)得 C=2√mk (17-25) 此时,式(17-16)的解为 =e-n(C,+C21) 其中C1,C2为积分常数,由初始条件确定。 当n>On时,称为大阻尼情形。此时式(17-16)的解为 C2e
10 ⎪ ⎪ ⎭ ⎪ ⎪ ⎬ ⎫ − = − = = − 1 1 2 1 2 2 2 ω ξ ξ π ω ω ξ T T n d d n （17-20） 式中ωn 与 T 表示相应无阻尼自由振动系 统的固有频率与周期。由式（17-20）可知， 在相同的质量及刚度系数条件下，衰减振 动的周期比无阻尼自由振动的周期长。但 当阻尼很小时，对周期的影响并不明显。 设某瞬 ti，振幅为 i nt Ae− ，经过一个周 期 Td 后，下一个振幅为 ( ) i Td n t Ae− + 。这两 个相邻振幅之比为 ( ) d i d i nT n t T nt i i e Ae Ae A A = = = − + − +1 η （17-21） η 称为振幅减缩率，从式（17-21）可知任意两个相邻振幅之比为一常数，所以衰减 振动的振幅呈几何级数减小，很快趋于零。 对式（17-21）的两端取自然对数，得 d i i nT A A = = +1 δ ln （17-22） δ 称为对数减缩率，将式（17-20）代入式（17-22），得 2 1 2 ξ πξ δ − = （17-23） 当阻尼很小时，对数减缩率也可近似为 δ = 2πξ （17-24） （2）临界阻尼和大阻尼情形。当 n =ωn 时，称为临界阻尼情形。此时系统的阻尼系 数用 CC表示，CC称为临界阻尼系数。由式（17-19）得 C mk C = 2 （17-25） 此时，式（17-16）的解为 x e (C C t) nt = 1 + 2 − 其中 C1，C2为积分常数，由初始条件确定。 当 n >ωn 时，称为大阻尼情形。此时式（17-16）的解为 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = − + −nt n − t − n − t n n x e C e C e 2 2 2 2 1 2 ω ω -Ae-nt x x0 图 17-9 ωd θ Ae -nt Td o t A1 A A2