第一章基本概念、公理 1-1概念 1.平衡 平衡就物体(刚体)机械运动的一种特殊形式或称为机械运动的特殊状态。所谓状态 是:用来描述某一宏观存在的基本性质的一组参数,该组参数之间满足确定的数学描述( 组特定的数学表达式) 对于给定的惯性参考系(体),给定的被研究物体(刚体)在惯性参考参考系(体)的 机械运动是:物体(刚体)相对给定的惯性参考系(体)静止或作匀速直接运动。则该物 体(刚体)处于平衡的(机械运动)状态。 《注:物体的机械运动(物体在三维空间中的位置、形状和大小随时间的变化)存在各种 不同的状态。如刚体的平动、定轴转动、定点转动;质点的直线运动、曲线运动、等速运 动、加速运动等》。 静止:物体(刚体)的大小、形状及在三维空间占具的位置相对惯性参考系(体)不 随时间变化 匀速直线运动:物体(刚体)上的每一(物质)点相对惯性参考系(体),其随时间的 变化规律为:(1)始终保持在一条直线上。(2)任意相同时间间隔的改变量相同。 力的概念: 任何物体(刚体)的运动(包含机械运动),其本质是由于其它物体对其的作用。当某 物体(刚体)或某一组物体(刚体)被选为分析、研究的对象时,实际上就要分析、研 究这一物体或一组物体(刚体)与其它物体及其本身内部之间力学相关性质。而重要的是 分析、研究是对被选取对象进行的。尽管对被选取的对象,其它物体对其有影响,但分析 研究过程并不涉及被选取的研究对象对其它物体的作用所产生的效应。因此在对某一物体 (刚体)或某一组物体(刚体)作为被分析、研究对象时,其它物体对被选取的对象的作 用,被观注的是其它物体对选取对象的作用,而选取对象对其它物体的作用,只在对其它 物体进行分析、研究时才被观注。这就使得能够将其它物体对被选取的分析、研究对象的 作用被抽象表示。这种其它物体对被选取的分析、研究对象的作用称为力。当然被选取作 为分析、研究对象的一组物体(刚体)内部的各物体(刚体)之间也存在着相互作用,且 这种作用同样可以被抽象表示。 力:物体(刚体)之间相互作用的抽象表示。 作用(相互)形式:直接接触作用:点、线、面的直接接触作用 非直接接触作用:超距作用在物体或刚体的每一点上 作用(相互)效果:物体的大小、形状和空间位置的改变 内效应 刚体的空间位置的改变 外效应 力的抽象表示必须能够完全体现相互作用的形式和效果。即(被抽象表示了的相互作用) 力能明确作用的形式、位置;作用的强弱:作用所产生的大小、形状和空间位置的变化情 点接触力的三要素:大小、方向、作用点
1 第一章 基本概念、公理 1-1 概念 1．平衡 平衡就物体（刚体）机械运动的一种特殊形式或称为机械运动的特殊状态。所谓状态 是：用来描述某一宏观存在的基本性质的一组参数，该组参数之间满足确定的数学描述（一 组特定的数学表达式）。 对于给定的惯性参考系（体），给定的被研究物体（刚体）在惯性参考参考系（体）的 机械运动是：物体（刚体）相对给定的惯性参考系（体）静止或作匀速直接运动。则该物 体（刚体）处于平衡的（机械运动）状态。 《注：物体的机械运动（物体在三维空间中的位置、形状和大小随时间的变化）存在各种 不同的状态。如刚体的平动、定轴转动、定点转动；质点的直线运动、曲线运动、等速运 动、加速运动等》。 静止：物体（刚体）的大小、形状及在三维空间占具的位置相对惯性参考系（体）不 随时间变化。 匀速直线运动：物体（刚体）上的每一（物质）点相对惯性参考系（体），其随时间的 变化规律为：（1）始终保持在一条直线上。（2）任意相同时间间隔的改变量相同。 力的概念： 任何物体（刚体）的运动（包含机械运动），其本质是由于其它物体对其的作用。当某 一物体（刚体）或某一组物体（刚体）被选为分析、研究的对象时，实际上就要分析、研 究这一物体或一组物体（刚体）与其它物体及其本身内部之间力学相关性质。而重要的是 分析、研究是对被选取对象进行的。尽管对被选取的对象，其它物体对其有影响，但分析 研究过程并不涉及被选取的研究对象对其它物体的作用所产生的效应。因此在对某一物体 （刚体）或某一组物体（刚体）作为被分析、研究对象时，其它物体对被选取的对象的作 用，被观注的是其它物体对选取对象的作用，而选取对象对其它物体的作用，只在对其它 物体进行分析、研究时才被观注。这就使得能够将其它物体对被选取的分析、研究对象的 作用被抽象表示。这种其它物体对被选取的分析、研究对象的作用称为力。当然被选取作 为分析、研究对象的一组物体（刚体）内部的各物体（刚体）之间也存在着相互作用，且 这种作用同样可以被抽象表示。 力：物体（刚体）之间相互作用的抽象表示。 作用（相互）形式：直接接触作用：点、线、面的直接接触作用； 非直接接触作用：超距作用在物体或刚体的每一点上。 作用（相互）效果：物体的大小、形状和空间位置的改变 —→ 内效应 刚体的空间位置的改变 —→ 外效应 力的抽象表示必须能够完全体现相互作用的形式和效果。即（被抽象表示了的相互作用） 力能明确作用的形式、位置；作用的强弱；作用所产生的大小、形状和空间位置的变化情 况。 点接触力的三要素：大小、方向、作用点
作用形式:在一确点的两物体(刚体)的直接接触——作用点 作用强弱:大小 作用所产生的大小、形状和空间位置的改变:方向 在数学中,具有一定大小和方向的量可用矢量描述。而在相互作用的抽象表示的力的三要 素中也包含了大小和方向。因此力具有数学矢量的特征。所以不同的是,对点接触力,除 了大小、方向外,还必须明确点接触力的作用点。且称作用在确定点的,具有确定大小和 方向的抽象化的点接触力称为:力矢量。力矢量定义:力矢量是固定作用点的矢量。也称 为固定矢量或约束矢量。(点接触)力矢量的表示:按一定长度比例(用来表示大小)的有 向(用来表示方向)线段,线段的起点(始点)或未端(终点)表示力的作用点的几何表 示方法。有向线段所在的直线称为该(点接触)力的作用线。在分析过程中(点接触)力 矢量的符号表示用黑体(粗写体)表示(如F、R、N等);而非黑体(如F、R、N等)则 表示其对应的力矢量的大小。或 F=√F (1-1) 线直接接触力(线分布力):在某一直线(或曲线)段上的每一点作用的大小、方向连续分 布的点接触力 面直接接触力(面分布力):在某一有限平面(或曲面)上的每一点作用的大小、方向连续 分布的点接触力 力系:作用在同一物体(刚体)上的一组(群)力的集合。 (刚体)平衡力系:作用在刚体(或在刚化公理的条件下的形变体)上,且使刚体处于平 衡状态的力系 (刚体)平衡条件:使刚体处于平衡状态时,作用在刚体上的力系所满足的条件。 等效力系:对刚体产生相同力学效果的两个(或一个系列)力系。 超距(体分布)力:在物体的每一点上作用的大小、方向连续分布的另一物体(或一组物 体)非直接接触的超距作用。 力的单位:在国际单位制(SI)中,以“N”作为力的单位符号,称作牛(顿)。也常用10N kN作为力的单位符号,称作千牛(顿)。 1-2静力学公理 公理是在长期生活和生产实践中长期积累的经验总结,但经过实践的反复检验,被确 认在确定的条件下符合客观实际的最普遍、最一般的规律
2 作用形式：在一确点的两物体（刚体）的直接接触——作用点 作用强弱：大小 作用所产生的大小、形状和空间位置的改变：方向 在数学中，具有一定大小和方向的量可用矢量描述。而在相互作用的抽象表示的力的三要 素中也包含了大小和方向。因此力具有数学矢量的特征。所以不同的是，对点接触力，除 了大小、方向外，还必须明确点接触力的作用点。且称作用在确定点的，具有确定大小和 方向的抽象化的点接触力称为：力矢量。力矢量定义：力矢量是固定作用点的矢量。也称 为固定矢量或约束矢量。（点接触）力矢量的表示：按一定长度比例（用来表示大小）的有 向（用来表示方向）线段，线段的起点（始点）或未端（终点）表示力的作用点的几何表 示方法。有向线段所在的直线称为该（点接触）力的作用线。在分析过程中（点接触）力 矢量的符号表示用黑体（粗写体）表示（如 F、R、N 等）；而非黑体（如 F、R、N 等）则 表示其对应的力矢量的大小。或 F = F⋅F （1-1） 线直接接触力（线分布力）：在某一直线（或曲线）段上的每一点作用的大小、方向连续分 布的点接触力。 面直接接触力（面分布力）：在某一有限平面（或曲面）上的每一点作用的大小、方向连续 分布的点接触力。 力系：作用在同一物体（刚体）上的一组（群）力的集合。 （刚体）平衡力系：作用在刚体（或在刚化公理的条件下的形变体）上，且使刚体处于平 衡状态的力系。 （刚体）平衡条件：使刚体处于平衡状态时，作用在刚体上的力系所满足的条件。 等效力系：对刚体产生相同力学效果的两个（或一个系列）力系。 超距（体分布）力：在物体的每一点上作用的大小、方向连续分布的另一物体（或一组物 体）非直接接触的超距作用。 力的单位：在国际单位制（SI）中，以“N”作为力的单位符号，称作牛（顿）。也常用 103 N = kN 作为力的单位符号，称作千牛（顿）。 1-2 静力学公理 公理是在长期生活和生产实践中长期积累的经验总结，但经过实践的反复检验，被确 认在确定的条件下符合客观实际的最普遍、最一般的规律
公理1:力的平衡四边形法则 作用在同一物体上、同一点的 两个(点接触)力,其对于物体的 作用可等效为一个合力。该合力的 物体 作用点也在该点,合力的大小和方 向,由这两个方向为边构成的平等 四边形的对角线确定。如图1-1所 小。 该公理中的合力并不是 实际上作用在物体的力,实 图1-1 际作用在物体上的是作用点在A点的两个力F1,F2。而合力只是作用与F1,F2等效的(产 生相同力学效应——外效应、内效应)。假想或虚拟作用在A点的一种作用 公理中的结论适用于物体,当然也适用刚体 平行四边形法则的矢量表示式为 FR=F1·F2 (1-2) 平行四边形的几何表示如图1-1所 该公理给出了最简单力系的简化规 律。这里的简化实质上就是力系之间的相 互等效。 公理2:二力平衡条件 作用在同一刚体上的两个力,刚体在 这两个作用下保持平衡(仍然处于平衡状 刚体II 态)的必要、充分条件是:两力的大小相 等、方向相反、作用线在同一直线上。由 图1-2(a)可知 F1=- 值得注意的是该公理只适用于刚体 同时保持刚体平衡的两个力F1,F2 图1-2 必须作用在同一刚体上。若两个力不是作用在同一刚体上,则尽管两个力满足大小相等 方向相反、作用线在同一直线上,刚体的平衡将可能破坏。如图1-2(b)所示。 该公理给出了作用在刚体上最简单的平衡力。 公理3:加减平衡力系公理 在已知作用在同一刚体力系上加上或减去任意平衡力系, 并不改变原力系对刚体的作用。 该公理说明:对作用在同一刚体上的力系,若产生相同的
3 公理 1：力的平衡四边形法则 作用在同一物体上、同一点的 两个（点接触）力，其对于物体的 作用可等效为一个合力。该合力的 作用点也在该点，合力的大小和方 向，由这两个方向为边构成的平等 四边形的对角线确定。如图 1-1 所 示。 该公理中的合力并不是 实际上作用在物体的力，实 图 1-1 际作用在物体上的是作用点在 A 点的两个力 F1，F2。而合力只是作用与 F1，F2 等效的（产 生相同力学效应——外效应、内效应）。假想或虚拟作用在 A 点的一种作用。 公理中的结论适用于物体，当然也适用刚体。 平行四边形法则的矢量表示式为： FR F1 F2 = ⋅ （1-2） 平行四边形的几何表示如图 1-1 所 示。 该公理给出了最简单力系的简化规 律。这里的简化实质上就是力系之间的相 互等效。 公理 2：二力平衡条件 作用在同一刚体上的两个力，刚体在 这两个作用下保持平衡（仍然处于平衡状 态）的必要、充分条件是：两力的大小相 等、方向相反、作用线在同一直线上。由 图 1-2（a）可知： F1 = −F2 （1-3） 值得注意的是该公理只适用于刚体。 同时保持刚体平衡的两个力 F1，F2 图 1-2 必须作用在同一刚体上。若两个力不是作用在同一刚体上，则尽管两个力满足大小相等、 方向相反、作用线在同一直线上，刚体的平衡将可能破坏。如图 1-2（b）所示。 该公理给出了作用在刚体上最简单的平衡力。 公理 3：加减平衡力系公理 在已知作用在同一刚体力系上加上或减去任意平衡力系， 并不改变原力系对刚体的作用。 该公理说明：对作用在同一刚体上的力系，若产生相同的 1 2 物体 刚体 刚体 2 1 1 刚体 2 1 2
力学效果,则力系之间只相差一个或几个平衡力系。 该公理同样只对同一刚体适用。如图1-3所示。一角形刚体和一直刚体杆在A点开孔 用绳索穿结固定于B。在角形刚体和直刚性杆上分别加F1、F2,且 图1-3 显然,在F1、F2作用下,角形刚体和直刚性杆都将绕A点发生转动。这与未加F1、F2前 的静止状态不同。 推论1:力的可传递性 作用在刚体上某点的力,可沿该力的作用线移到同一刚体上的任意点,且这种移动并 不改变该力对刚体的作用效果 证明 如图1-4所示,刚体A点处作用有(点接触)力F 设B点是力F作用线所在直线上的任意一点。由加减平 衡力系公理,在B点加上平衡力系。到目前已知的平衡 A 力系只有二力平衡公理给出的最简单的平衡力系F F"(F'=-F"),且满足F'=F。在刚体上作用的力 系现在是F、F、F"的集合,且F、F”方向相反、 作用线在同一直线上。因此由二力平衡公理可知,F、 F"构成二力平衡力系。由加减平衡力系公理,在刚体上减去F、F"构成的平衡力系。此 时刚体上只存在作用在B点的、作用线沿AB连线的力F"。且F'=F。最终由加减平衡 力系公理得到了与作用在A点的力F具有相同力学效应的作用在B点的力F=F。整个 应用加减平衡力系公理的过程可形象地描述为力可沿刚体上的与力的作用线重合的直线移 动(或称为传递) 由图1-4可知:刚体上A点的力是实际其它物体(刚体)对所分析研究(对象、目标) 的实际作用的抽象(只有点接触力才可能实现)。而力的可传递性推论只表明,对刚体而言 作用在A点的作用力F的作用线上任意一点的与F具有相同大小和相同指向(如图1-4中 B点)的F′=F对刚体的作用效应与作用在A点的F力作用效应等效。由力的可传递性推 论所确定的与F作用等效的F=F亦不是真实地作用在刚体上的力。F'=F只是虚拟 的,但又与F的真实作用力学效应等效的力。正是这种虚拟地而又与真实作用力学效应的 力(由力的可传递性确定的),才使得对作用在刚体上的力系的简化提供了可能。或者说对 刚体的力学分析,并不是直接对真实地作用在刚体的力系进行分析研究。而是通过静力学 公理及静力学公理所确定的结论、定理(由公理经过逻辑推理和数学演绎所得到),与作用 在刚体上的真实作用力学效应等效的被称为简化的力系进行分析研究。 对于(点接触)力,若该力作用在刚体上,则力的三要素中的作用点这一要素,可放 松为沿力的作用线所在直线上的任意一点。或者说力的三要素对刚体而言为:大小、方向 力的作用线。而被约束了作用线的即有大小、又有方向的矢量称为滑动矢量。因此上,对
4 力学效果，则力系之间只相差一个或几个平衡力系。 该公理同样只对同一刚体适用。如图 1-3 所示。一角形刚体和一直刚体杆在 A 点开孔 用绳索穿结固定于 B 。在角形刚体和直刚性杆上分别加 F1 、 F2 ， 且 图 1-3 F1 = −F2 显然，在 F1、F2 作用下，角形刚体和直刚性杆都将绕 A 点发生转动。这与未加 F1、F2 前 的静止状态不同。 推论 1：力的可传递性 作用在刚体上某点的力，可沿该力的作用线移到同一刚体上的任意点，且这种移动并 不改变该力对刚体的作用效果。 证明： 如图 1-4 所示，刚体 A 点处作用有（点接触）力 F。 设 B 点是力 F 作用线所在直线上的任意一点。由加减平 衡力系公理，在 B 点加上平衡力系。到目前已知的平衡 力系只有二力平衡公理给出的最简单的平衡力系 F′ 、 F′′（ F′ = - F′′），且满足 F′ =F。在刚体上作用的力 系现在是 F、 F′ 、 F′′的集合，且 F、 F′′方向相反、 作用线在同一直线上。因此由二力平衡公理可知，F、 图 1-4 F′′构成二力平衡力系。由加减平衡力系公理，在刚体上减去 F、F′′构成的平衡力系。此 时刚体上只存在作用在 B 点的、作用线沿 AB 连线的力 F′′。且 F′ = F。最终由加减平衡 力系公理得到了与作用在 A 点的力 F 具有相同力学效应的作用在 B 点的力 F′ = F。整个 应用加减平衡力系公理的过程可形象地描述为力可沿刚体上的与力的作用线重合的直线移 动（或称为传递）。 由图 1-4 可知：刚体上 A 点的力是实际其它物体（刚体）对所分析研究（对象、目标） 的实际作用的抽象（只有点接触力才可能实现）。而力的可传递性推论只表明，对刚体而言， 作用在 A 点的作用力 F 的作用线上任意一点的与 F 具有相同大小和相同指向（如图 1-4 中 B 点）的 F′ = F 对刚体的作用效应与作用在 A 点的 F 力作用效应等效。由力的可传递性推 论所确定的与 F 作用等效的 F′ = F 亦不是真实地作用在刚体上的力。 F′ = F 只是虚拟 的，但又与 F 的真实作用力学效应等效的力。正是这种虚拟地而又与真实作用力学效应的 力（由力的可传递性确定的），才使得对作用在刚体上的力系的简化提供了可能。或者说对 刚体的力学分析，并不是直接对真实地作用在刚体的力系进行分析研究。而是通过静力学 公理及静力学公理所确定的结论、定理（由公理经过逻辑推理和数学演绎所得到），与作用 在刚体上的真实作用力学效应等效的被称为简化的力系进行分析研究。 对于（点接触）力，若该力作用在刚体上，则力的三要素中的作用点这一要素，可放 松为沿力的作用线所在直线上的任意一点。或者说力的三要素对刚体而言为：大小、方向、 力的作用线。而被约束了作用线的即有大小、又有方向的矢量称为滑动矢量。因此上，对
物体而言(点接触)力可以看作是起点被固定(约束)的力矢量:而对刚体而言(点接触) 力可以看作是作用线被固定(约束)的力矢量。作用在物体上的(点接触)力矢量可称为 作用点固定(约束)矢量;作用在刚体上的(点接触)力矢量可称为作用线固定(约束) 矢量——滑移(动)矢量。 推论2:三力平衡汇交定理 作用于同一刚体上三个(点接触)力,若刚体在这三个(点接触)力的作用下处于平 衡状态,且其中两个(点接触)力的作用线(或 作用 线的 延长 线)交 点。则 个(点接触)力必在同一平面内,且第三个(点接 触)力的作用线(或作用线的延长线)必通过前二 (点接触)力的作用线(或作用线的延长线)的交 F2 证明 ①三个(点接触)力的作用点为同一点(如图 1-5(a)所示)。 由平行四边形法则,得F1、F2的合力为 图1-5 Fa=F,+F 即作用在O点的两个力F1、F2可由与F1、F2的作用线所在平面内的合力(作用点在O点) FR1等效代替。此时刚体上作用有与F1、F2等效的FR12(F1、F2对刚体的作用以被FR12 代替,因此F1、F2已不在作用在刚体上。即此时的刚体已不是真实的受F1、F2、F3作用 的刚体,而上虚拟的与真实的受F1、F2、F3力学效应等效的刚体)和F3。由条件,在F1、 F2、F3作用下,刚体处于平衡状态。当F1、F2由平行四边形法则用FR2等效时,刚体仍 处于平衡状态。而此时刚体上作用且只作用两个(点接触)力,刚体同时处于平衡状态。 由二力平衡公理可知F3、FR12大小相等方向相反,作用线在同一直线上。而F1、F2的作 用线交点在O点,O点位与FR12的作用线上,F3与F1、F2的作用线所在平面内的FR12作 用线在同一直线上。因此F3的作用点必在FR12的作用线上(在这里所考虑的情况下,F3 的作用点就是O点)。 同时,由以上证明过程可得,若将F2的起点平行移动至F1的终点;在将F3的起点移 至F2的终点。由于F3的长短与FR2的长短相同,显然,F1、F2、F3依次首尾相接后构成 个封闭的三角形。容易验证F2、F3、F1;F3、F1、F2;F1、F3、F2;F3、F2、F;F2、 F1、F3依次首尾相接同样构成一个封闭的三角形
5 物体而言（点接触）力可以看作是起点被固定（约束）的力矢量；而对刚体而言（点接触） 力可以看作是作用线被固定（约束）的力矢量。作用在物体上的（点接触）力矢量可称为 作用点固定（约束）矢量；作用在刚体上的（点接触）力矢量可称为作用线固定（约束） 矢量——滑移（动）矢量。 推论 2：三力平衡汇交定理 作用于同一刚体上三个（点接触）力，若刚体在这三个（点接触）力的作用下处于平 衡状态，且其中两个（点接触）力的作用线（或 作 用 线 的 延长 线）交 与 一 点。则 这 三 个（点接触）力必在同一平面内，且第三个（点接 触）力的作用线（或作用线的延长线）必通过前二 （点接触）力的作用线（或作用线的延长线）的交 点。 证明： ①三个（点接触）力的作用点为同一点（如图 1-5（a）所示）。 由平行四边形法则，得 F1、F2 的合力为 图 1-5 FR12 = F1 + F2 即作用在 O 点的两个力 F1、F2 可由与 F1、F2 的作用线所在平面内的合力（作用点在 O 点） FR12 等效代替。此时刚体上作用有与 F1、F2 等效的 FR12（F1、F2 对刚体的作用以被 FR12 代替，因此 F1、F2 已不在作用在刚体上。即此时的刚体已不是真实的受 F1、F2、F3 作用 的刚体，而上虚拟的与真实的受 F1、F2、F3 力学效应等效的刚体）和 F3。由条件，在 F1、 F2、F3 作用下，刚体处于平衡状态。当 F1、F2 由平行四边形法则用 FR12 等效时，刚体仍 处于平衡状态。而此时刚体上作用且只作用两个（点接触）力，刚体同时处于平衡状态。 由二力平衡公理可知 F3、FR12 大小相等方向相反，作用线在同一直线上。而 F1、F2 的作 用线交点在 O 点，O 点位与 FR12 的作用线上，F3 与 F1、F2的作用线所在平面内的 FR12 作 用线在同一直线上。因此 F3 的作用点必在 FR12 的作用线上（在这里所考虑的情况下，F3 的作用点就是 O 点）。 同时，由以上证明过程可得，若将 F2 的起点平行移动至 F1 的终点；在将 F3 的起点移 至 F2 的终点。由于 F3 的长短与 FR12的长短相同，显然，F1、F2、F3 依次首尾相接后构成 一个封闭的三角形。容易验证 F2、F3、F1；F3、F1、F2；F1、F3、F2；F3、F2、F1；F2、 F1、F3 依次首尾相接同样构成一个封闭的三角形。 F F F (a) O 2 1 F 3 2 F ' F 1 O2 O1 O3 3 F 2 1 O (b) F ' F F 1 2 (c) 3 O3 O1 O2
②三个(点接触)力作用线的延长线交与同一点(如图1-5(b)所示)首先由力的可 传递性定理,将F1、F2的起点由O1、O2沿F1、F2的作用所在直线分别滑移到F1、F2作 用线延长的交点O。得两个滑移力矢量F,F2。由平行四边形法则确定滑移力矢量F, F2的合力矢量(应当特别注意的是F1,F2矢量和不是力矢量F1、F2的合力矢量。只有 作用点在同一点的力矢量才有合力矢量,作用点不相同的力矢量,其合力矢量无意义,或 者说不存在合力矢量的概念)。即 Fn=F: +F FR2称为F、F2的合力矢量。同时FB2也称为F、F2的主矢(量)。由力的可传递性 定理和平行四边形法则所确定的F1、F2的与F1、F2的作用线所在平面内的主矢(量)或 者说F1、F2的合矢量FR2(不是合力)的刚体力学效应与F1、F2对刚体的力学效应等 效。因此F1、F2、F作用下的刚体与F3、FR12的作用下也同样处于平衡状态。由二力平衡 公理,刚体在两个力作用且只在两个力作用下处于平衡状态。显然,F3、FR12大小相等, 方向相反,作用线在同一直线上。F3的作用线必通过O点。即F1、F2、F3的作用线的延 长汇交与同一点(O点)。 与①中完全类似可知,F2、F3、F1;F3、F1、F2;F1、F3、F2;F3、F2、F1;F2、F1 F3依次首尾相接同样构成一个封闭的三角形。 ③该情况是②的特例。即作用在同一刚体上的三个(点接触)力,若刚体在这三个(点 接触)力的作用下处于平衡状态,且其中两个(点接触)力的作用线在同一直线上。则这 个力的作用线在同一直线上,并满足三个力的代数和为零 公理4:作用与反作用定律 两物体相互作用各点处(接触力和超距力),其作用和反作用总是同时存在。各作用点 的作用力大小相等,方向相反,作用线在同一直线上,作用力和反作用力分别相互作用的 两个物体上。 以下分四种常见情况对作用与反作用,作用力与反作用力进行说明 a)物体与物体间通过点接触 形式的作用。如图1-6(a)所示。 #
6 ②三个（点接触）力作用线的延长线交与同一点（如图 1-5（b）所示）首先由力的可 传递性定理，将 F1、F2的起点由 O1、O2 沿 F1、F2 的作用所在直线分别滑移到 F1、F2 作 用线延长的交点 O。得两个滑移力矢量 F1 ′ ，F2 ′ 。由平行四边形法则确定滑移力矢量 F1 ′ ， F2 ′ 的合力矢量（应当特别注意的是 F1 ′ ，F2 ′矢量和不是力矢量 F1、F2 的合力矢量。只有 作用点在同一点的力矢量才有合力矢量，作用点不相同的力矢量，其合力矢量无意义，或 者说不存在合力矢量的概念）。即 FR12 F1 F2 = ′ + ′ FR12 称为 F1 ′ 、F2 ′ 的合力矢量。同时 FR12 也称为F1 ′、F2 ′ 的主矢（量）。由力的可传递性 定理和平行四边形法则所确定的 F1、F2 的与 F1、F2 的作用线所在平面内的主矢（量）或 者说 F1 ′ 、 F2 ′ 的合矢量 FR12 （不是合力）的刚体力学效应与 F1、F2 对刚体的力学效应等 效。因此 F1、F2、F3 作用下的刚体与 F3、FR12的作用下也同样处于平衡状态。由二力平衡 公理，刚体在两个力作用且只在两个力作用下处于平衡状态。显然，F3、FR12 大小相等， 方向相反，作用线在同一直线上。F3 的作用线必通过 O 点。即 F1、F2、F3 的作用线的延 长汇交与同一点（O 点）。 与①中完全类似可知，F2、F3、F1；F3、F1、F2；F1、F3、F2；F3、F2、F1；F2、F1、 F3 依次首尾相接同样构成一个封闭的三角形。 ③该情况是②的特例。即作用在同一刚体上的三个（点接触）力，若刚体在这三个（点 接触）力的作用下处于平衡状态，且其中两个（点接触）力的作用线在同一直线上。则这 三个力的作用线在同一直线上，并满足三个力的代数和为零。 公理 4：作用与反作用定律 两物体相互作用各点处（接触力和超距力），其作用和反作用总是同时存在。各作用点 的作用力大小相等，方向相反，作用线在同一直线上，作用力和反作用力分别相互作用的 两个物体上。 以下分四种常见情况对作用与反作用，作用力与反作用力进行说明。 a）物体与物体间通过点接触 形式的作用。如图 1-6（a）所示。 (b) (a)
b)两物体通过AB线(图1-6(b)中为直线,对曲线仍然成立)接触线相互作用。对 AB接触(直)线上的任意点M或N,其下部分对上边物体的作用被抽象为作用在上边物 体在AB接触线上每一接触处的点接触力 F(x):x∈[A,B]。 在M、N两点处分别为FM、FN;其上部分对下边物体的作用被抽象为作用在下边物体 在AB接触线上的每一接触点处的点接触力F(x):x∈[A,B]。 M、N两点处分别为FM、F。对线接触形式的物体与物体之间相互作用,是通过两物体 间的接触线上的每一点接触相互作用实现的。在实质上作用与反作用还是对每一接触点而 言的。 c)物体与物体间通过面接触形式的作用,如图1-6(c)所示 两物体通过共同的接触面(图中的阴 A (c) 影 图1-6 区域)接触而相互作用。对(阴影区域)接 触面内任意点(图中给出了任意确定的 点),其下面部分对上边物体的作用被抽象 为作用在上边物体在(阴影区域)接触面上 有一接触点处的点接触力F(x):x为(阴 B 影区域)接触面上的任意点。在图中给定点 (d) 处的F。其上部分对下边物体的作用被抽象 为在下边物体在(阴影区域)接触面上有一接触点处的点接触力F(x):x为(阴影区域) 接触面的任意点。在图中给定处的F′。同样,对物体与物体间通过面接触形式的相互作 用,是通过两物体间的接触面上的每一接触点的相互作用实现的。在实质上作用与反作用 还是对每一点而言的。 d)两物体间的非直接触(超距作用)形式的作用,如图1-6(d)所示
7 b）两物体通过 AB 线（图 1-6（b）中为直线，对曲线仍然成立）接触线相互作用。对 AB 接触（直）线上的任意点 M 或 N，其下部分对上边物体的作用被抽象为作用在上边物 体在 AB 接触线上每一接触处的点接触力 F( ) x ； x ∈[A, B]。 在 M、N 两点处分别为 FM 、 FN ；其上部分对下边物体的作用被抽象为作用在下边物体 在 AB 接触线上的每一接触点处的点接触力F′(x)； x ∈[A, B]。 M、N 两点处分别为 FM ′ 、FN ′ 。对线接触形式的物体与物体之间相互作用，是通过两物体 间的接触线上的每一点接触相互作用实现的。在实质上作用与反作用还是对每一接触点而 言的。 c）物体与物体间通过面接触形式的作用，如图 1-6（c）所示 两物体通过共同的接触面（图中的阴 影 图 1-6 区域）接触而相互作用。对（阴影区域）接 触面内任意点（图中给出了任意确定的一 点），其下面部分对上边物体的作用被抽象 为作用在上边物体在（阴影区域）接触面上 有一接触点处的点接触力 F( ) x ； x 为（阴 影区域）接触面上的任意点。在图中给定点 处的 F。其上部分对下边物体的作用被抽象 为在下边物体在（阴影区域）接触面上有一接触点处的点接触力 F′(x)； x 为（阴影区域） 接触面的任意点。在图中给定处的 F′ 。同样，对物体与物体间通过面接触形式的相互作 用，是通过两物体间的接触面上的每一接触点的相互作用实现的。在实质上作用与反作用 还是对每一点而言的。 d）两物体间的非直接触（超距作用）形式的作用，如图 1-6（d）所示 (c) (d)
这种情况,两个相互作用物体的作用体现在两物体上的每一点之间的相互作用。A物 体的任意一点a,与B物体上的每一点之间都产生相互作用;B物体上的任意一点b,与A 物体上的每一点之间也都产生相互作用。A物体上的a点对B物体上的b点的作用,与B 物体上的b点对A物体上的a点的作用为作用与反作用。A物体上a点对B物体上b 点的作用抽象为(点接触)力FABb;B物体上b点对A物体上a点的作用抽象为(点接触) 力FB;由作用与反作用定律,FABb、FBm是A物体上a点和B物体上b点这两点间的作 用力与以作用力。而在图中,FbA、FAb;FaB、FB;FAB、FBA都不在是对点之间的相互作 用。Fb是B物体上b点对A物体上所有点作用的一种力学效应等效,可以理解为B物体 上的b点对A物体的作用。FAb是A物体上的每一点对B物体上b点的作用的一种力学效 应等效,可以理解为A物体对B物体上b的作用。FbA、FAb是A物体和B物体上b点之间 相等作用的抽象表示;FaB、FB则分别为A物体上的a点与B物体之间的两物体通过A点 接触而相互作用。其下部对上边物体的作用抽象成为作用在上边物体在接触点A处的点接 触能力F;其上部分对下边物体的作用抽象成为作用在下边物体在接触点A点的点接触力 F′。且由作用与反作用定律,F、F大小相等,方向相反,作用线在同一条直线上,分 别作用在两个物体作用的接触点A处 b)物体与物体间通过线接触形式的作用,如图(c)所示 相互作用抽象表示和B物体与A物体上的a点之间相互作用的抽象表示;FAB、FBA则 分别为A物体与B物体之间的相互作用抽象表示和B物体与A物体之间的相互作用抽象表 对万有引力和重力,其两个或两个以上物体间的相互作用的抽象表示已不是点与点之 间的相互作用。这种情况下,物体间的作用是通过物体上的每一点的相互作用体现的,即 这种作用是在物体上每一点上分布。通常情况下所说的万有引力和重力,其实质上是这种 物体上每一点分布作用的抽象表示(体分布力)的力学效应等效表示(这种表示将在空间 分布力系的简化中进行分析研究),即物体和物体间的万有引力和重力是作用在相互作用物 体的重心上的抽象的力学效应等效的表示。此时的作用与反作用定律可表述为:两物体间 的万有引力和重力是两物体间的非直接接触(超距)相互作用的抽象表示。其大小相等、 方向相反,作用线在同一条直线上,分别作用在两个物体的重心处。这一结论应该是作用 与反作用定律的一个推论。但由于其证明涉及到体分布力系的简化,此处证明略(可参考 空间力系分布)。 必须强调的是作用在两物体上的作用力和反作用,虽然大小相等、方向相反,作用线 在同一直线上,但由于作用力与反作用分别作用在两个物体上,因此对两物体中的任何 个物体,作用力与反作用不存在平衡问题。但若将相互作用的两物体为一个分析研究对象, 这时作为同一分析研究对象的两物体间的作用力和反作用力,可以是一对相互平衡的力。 特别是将物体限制为刚体时,同时又将两刚体一同作为分析研究对象,这种情况下两个刚 体间的作用力和反作用力不但可以看作是一个平衡力系,而且可以应用加减平衡力系公理 在(将两刚体作为一个分析研究对象)分析研究力学效应时将其减去(即不考虑其对力学 效应的影响)。 公理5:刚化原理 若变形体在某一力系作用下平衡,则将此变形体刚化为刚体,这种将变形体视为刚体
8 这种情况，两个相互作用物体的作用体现在两物体上的每一点之间的相互作用。A 物 体的任意一点 a，与 B 物体上的每一点之间都产生相互作用；B 物体上的任意一点 b，与 A 物体上的每一点之间也都产生相互作用。A 物体上的 a 点对 B 物体上的 b 点的作用，与 B 物体上的 b 点对 A 物体上的 a 点的作用为作用与反作用。A 物体上 a 点对 B 物体上 b 点的作用抽象为（点接触）力 FABb；B 物体上 b 点对 A 物体上 a 点的作用抽象为（点接触） 力 FBAa；由作用与反作用定律，FABb、FBaa 是 A 物体上 a 点和 B 物体上 b 点这两点间的作 用力与以作用力。而在图中，FbA、FAb；FaB、FBa；FAB、FBA 都不在是对点之间的相互作 用。FbA是 B 物体上 b 点对 A 物体上所有点作用的一种力学效应等效，可以理解为 B 物体 上的 b 点对 A 物体的作用。FAb 是 A 物体上的每一点对 B 物体上 b 点的作用的一种力学效 应等效，可以理解为 A 物体对 B 物体上 b 的作用。FbA、FAb是 A 物体和 B 物体上 b 点之间 相等作用的抽象表示；FaB、FBa 则分别为 A 物体上的 a 点与 B 物体之间的两物体通过 A 点 接触而相互作用。其下部对上边物体的作用抽象成为作用在上边物体在接触点 A 处的点接 触能力 F；其上部分对下边物体的作用抽象成为作用在下边物体在接触点 A 点的点接触力 F′ 。且由作用与反作用定律，F、 F′ 大小相等，方向相反，作用线在同一条直线上，分 别作用在两个物体作用的接触点 A 处。 b）物体与物体间通过线接触形式的作用，如图（c）所示 相互作用抽象表示和 B 物体与 A 物体上的 a 点之间相互作用的抽象表示；FAB、FBA 则 分别为 A 物体与 B 物体之间的相互作用抽象表示和 B 物体与 A 物体之间的相互作用抽象表 示。 对万有引力和重力，其两个或两个以上物体间的相互作用的抽象表示已不是点与点之 间的相互作用。这种情况下，物体间的作用是通过物体上的每一点的相互作用体现的，即 这种作用是在物体上每一点上分布。通常情况下所说的万有引力和重力，其实质上是这种 物体上每一点分布作用的抽象表示（体分布力）的力学效应等效表示（这种表示将在空间 分布力系的简化中进行分析研究），即物体和物体间的万有引力和重力是作用在相互作用物 体的重心上的抽象的力学效应等效的表示。此时的作用与反作用定律可表述为：两物体间 的万有引力和重力是两物体间的非直接接触（超距）相互作用的抽象表示。其大小相等、 方向相反，作用线在同一条直线上，分别作用在两个物体的重心处。这一结论应该是作用 与反作用定律的一个推论。但由于其证明涉及到体分布力系的简化，此处证明略（可参考 空间力系分布）。 必须强调的是作用在两物体上的作用力和反作用，虽然大小相等、方向相反，作用线 在同一直线上，但由于作用力与反作用分别作用在两个物体上，因此对两物体中的任何一 个物体，作用力与反作用不存在平衡问题。但若将相互作用的两物体为一个分析研究对象， 这时作为同一分析研究对象的两物体间的作用力和反作用力，可以是一对相互平衡的力。 特别是将物体限制为刚体时，同时又将两刚体一同作为分析研究对象，这种情况下两个刚 体间的作用力和反作用力不但可以看作是一个平衡力系，而且可以应用加减平衡力系公理， 在（将两刚体作为一个分析研究对象）分析研究力学效应时将其减去（即不考虑其对力学 效应的影响）。 公理 5：刚化原理 若变形体在某一力系作用下平衡，则将此变形体刚化为刚体，这种将变形体视为刚体
的刚化不改变其原来的平衡状态。 变形体:由物质点在三维空间连续分布的,具有确定大小和形状的物质实体。且该物 实体受到其它物体作用时,其大小和形状或大小,或形状将发生变化。 变形体的刚化:变形体在其它物体作用的抽象力(系)由零增至最终值,且保持其最 值不变的条件下处于平衡状态。此时变形体由未受任何物体作用的初始(或自然)状到 达了已发生变形的状态。所谓刚化就将在抽象力系、作用下已发生变形的处于平衡状态的 变形体视为刚体。 如图1-7所示一可变形的弹簧。图1-7 (a)为未受力(系)作用时的初始(自然) 状态(该状态下不能进行刚化);图1-7(b) 为沿弹簧长度方向施加的力尚未达到最终 值的中间状态。该状态构成弹簧的各物质 点上存在有运动加速度不为零的物质点。 即弹簧并未处于平衡状态,因此不能进行 刚化;图1-7(c)中弹簧长度方向施加的 力已达到最终值。此时弹簧处于平衡状态。 刚化原理中刚化是对图1-7(c)中的弹簧 进行的。 这一公理表明:对于变形体,将其刚 图1-7 化后,其平衡状态不会被坏;但对于刚体,若刚体处于平衡状态,将刚体视为变形体后, 其平衡状态将无法继续保持。如受大小相等、方向相反(→←)作线在同一直线上的一对 平衡力的刚体细杆(刚体杆)。若将刚体细杆视为变形绳索,显然其平衡状态不能继续保持 即刚体的平衡条件是变形体平衡的必要条件,但不是充分条件。 1-3约束和约束反力 质点的位置 在三维空间中任意取一固定点O。质点在三维空间中占具一空间点(几何点)。这一空 间点(几何点)与三维空间任意取的固定点O之间的相对表示称为质点的位置。 质点的位置矢量 对三维空间中任意给定的固定点O和占具一空间点(几何点)的质点,以固定点O为 起始点的到质点所占具的空间点(几何点)的有向线段称为以O点为基准的质点的位置矢 量或称为质点的位置矢量。通常用黑体字(粗体字母)r表示。 质点的位移 对任意两个给定时刻n、12。质点在两个时刻的位置矢量r(n)、r(12)的差r(l2)r (n1)称为该质点在时刻h到时刻h2的时间(间隔)的位置矢量或称为该质点的位移。 质点位移的坐标表示:在质点位置矢量的起始点处建立坐标系,为方便起见,不仿建立常 用的标准正交坐标系{o;i,,i或{o;i,j,k}。则质点的位置矢量可表示为 k
9 的刚化不改变其原来的平衡状态。 变形体：由物质点在三维空间连续分布的，具有确定大小和形状的物质实体。且该物 质实体受到其它物体作用时，其大小和形状或大小，或形状将发生变化。 变形体的刚化：变形体在其它物体作用的抽象力（系）由零增至最终值，且保持其最 终值不变的条件下处于平衡状态。此时变形体由未受任何物体作用的初始（或自然）状到 达了已发生变形的状态。所谓刚化就将在抽象力系、作用下已发生变形的处于平衡状态的 变形体视为刚体。 如图 1-7 所示一可变形的弹簧。图 1-7 （a）为未受力（系）作用时的初始（自然） 状态（该状态下不能进行刚化）；图 1-7（b） 为沿弹簧长度方向施加的力尚未达到最终 值的中间状态。该状态构成弹簧的各物质 点上存在有运动加速度不为零的物质点。 即弹簧并未处于平衡状态，因此不能进行 刚化；图 1-7（c）中弹簧长度方向施加的 力已达到最终值。此时弹簧处于平衡状态。 刚化原理中刚化是对图 1-7（c）中的弹簧 进行的。 这一公理表明：对于变形体，将其刚 图 1-7 化后，其平衡状态不会被坏；但对于刚体，若刚体处于平衡状态，将刚体视为变形体后， 其平衡状态将无法继续保持。如受大小相等、方向相反（→ ←）作线在同一直线上的一对 平衡力的刚体细杆（刚体杆）。若将刚体细杆视为变形绳索，显然其平衡状态不能继续保持。 即刚体的平衡条件是变形体平衡的必要条件，但不是充分条件。 1-3 约束和约束反力 质点的位置： 在三维空间中任意取一固定点 O。质点在三维空间中占具一空间点（几何点）。这一空 间点（几何点）与三维空间任意取的固定点 O 之间的相对表示称为质点的位置。 质点的位置矢量： 对三维空间中任意给定的固定点 O 和占具一空间点（几何点）的质点，以固定点 O 为 起始点的到质点所占具的空间点（几何点）的有向线段称为以 O 点为基准的质点的位置矢 量或称为质点的位置矢量。通常用黑体字（粗体字母）r 表示。 质点的位移： 对任意两个给定时刻 t1、t2。质点在两个时刻的位置矢量 r（t1）、r（t2）的差 r（t2）-r （t1）称为该质点在时刻 t1 到时刻 t2 的时间（间隔）的位置矢量或称为该质点的位移。 质点位移的坐标表示：在质点位置矢量的起始点处建立坐标系，为方便起见，不仿建立常 用的标准正交坐标系{o；i1，i2，i3}或{o；i，j，k}。则质点的位置矢量可表示为： r = x i + y j + z k (a) (b) (c)
而质点的位置矢量可表示为 u=r(2)-r x(2)-x(1)j+[v(2)-y)j+[=(2)-=(1)k =ui+vj+wk 式中u、"、w分别称为质点在h到h2时间(间隔)内沿ij、k(或沿坐标x、y、=)的位 移。u、ν、w也称为质点位移的坐标表示 质点在三维空间的位置改变通常情况下会因为其它物体对质点的作用,其位移受到限 制。若质点的位移未受任何其它物体作用的限制,则该质点称为自由质点。若质点的位移 受到其它物体作用的限制,则该质点称为非自由质点。 对于非自由质点,其它物体对非自由质点的位移限制的几何(表示)条件,称为约束 条件。对非自由质点进行限制的物体称为约束条件,或称为约束。约束(体)对非自由质 点的限制作用的抽象表示称为约束反力。 质点的自由度 能够完全描述质点在空间运动的最少独立位移的坐标表示的个数。 对于自由质点,在平面情况,需要最少两个独立的位移的坐标表示M、v。因此自由质 点的平面运动自由度为2;对空间情况,需要最少三个独立的位移的坐标表示u、v、w, 因此自由质点的空间运 动自由度为3。 对于非自由质点, 其自由度数为与之对应 的自由度数减去约束条 件的个数。如图18(a) 所示,若质点的运动被 限制在m平面内,则平 面m的约束条件为:任 何时刻质点的位置矢 r(=x(i+y(j+:(k 图1-8 的位置坐标x()、y()、=()必须满足几何条件 x(),y(),x( b 因此被限制在m平面内运动。图1-8(b)作为课堂讨论。的非自由质点的自由度为2。 点系的自由度: 能够完全描述质点系在空间运动的最少独立位移坐标表示的个数 若质点系中的N个质点均为自由质点。对于面平情况,需要最少2N个独立的位移坐
10 而质点的位置矢量可表示为 ( ) () [ ] ( ) () [ ] ( ) () [ ] ( ) () i j k i j k u r r u v w x t x t y t y t z t z t t t = + + = − + − + − = − 2 1 2 1 2 1 2 1 式中 u、v、w 分别称为质点在 t1到 t2 时间（间隔）内沿 i、j、k（或沿坐标 x、y、z）的位 移。u、v、w 也称为质点位移的坐标表示。 质点在三维空间的位置改变通常情况下会因为其它物体对质点的作用，其位移受到限 制。若质点的位移未受任何其它物体作用的限制，则该质点称为自由质点。若质点的位移 受到其它物体作用的限制，则该质点称为非自由质点。 对于非自由质点，其它物体对非自由质点的位移限制的几何（表示）条件，称为约束 条件。对非自由质点进行限制的物体称为约束条件，或称为约束。约束（体）对非自由质 点的限制作用的抽象表示称为约束反力。 质点的自由度： 能够完全描述质点在空间运动的最少独立位移的坐标表示的个数。 对于自由质点，在平面情况，需要最少两个独立的位移的坐标表示 u、v。因此自由质 点的平面运动自由度为 2；对空间情况，需要最少三个独立的位移的坐标表示 u、v、w， 因此自由质点的空间运 动自由度为 3。 对于非自由质点， 其自由度数为与之对应 的自由度数减去约束条 件的个数。如图 1-8（a） 所示，若质点的运动被 限制在 m 平面内，则平 面 m 的约束条件为：任 何时刻质点的位置矢 量： r () () () () t = x t i + y t j + z t k 图 1-8 的位置坐标 x ( )t 、 y ( )t 、 z( )t 必须满足几何条件 ( ) ( ) ( ) + + = 1 c x t b y t a x t 因此被限制在 m 平面内运动。图 1-8（b）作为课堂讨论。的非自由质点的自由度为 2。 质点系的自由度： 能够完全描述质点系在空间运动的最少独立位移坐标表示的个数。 若质点系中的 N 个质点均为自由质点。对于面平情况，需要最少 2N 个独立的位移坐 L m (b) c a b (a)