第五章空间力系的平衡问题 在第三章力偶的力偶矩,第四章力对点的矩中针对空间三维情况给出了力矩矢量和力 偶矩 矩矢量的定义 力偶矩矢量:M=d×F如图5-1(a)所示。 力矩矢量:M0=r×F如图5-1(b)所示。 (a) () 图5-1 本章将在力矢量,力偶矩矢量和力对点的矩矢量这三个基本力学量的基础上,对空间 力系的平衡问题进行简单的分析。 §5-1空间力系的简化 空间任意力系:当作用在刚体上的力和力偶,其力的作用线和力偶的力偶面不都在同 平面时,作用在刚体上的力系称为空间任意 力系。 利用力线平衡定理,可将作用在刚体上的 力线平移到刚体上的任意一点。如图5-2(a) 所示,即作用在刚体上A点F力的刚体力学 效应与作用在刚体上B点力F=F和力偶矩 d×F的力学效应等效。而力偶矩dXF=M (F)。因此,作用在刚体A点上的F与作用在 B点的F和dXF力学效应等效。并把作用在 A点的F与作用在B点的F和d×F的等效代 替称空间力F由A点向B点的简化。或者说, 作用在刚体上A点的F向刚体上B点简化的 结果是:作用在B点的F和作用在B点的力 偶矩dXF(F对B点的矩的力偶)。 空间力偶可以看作是一对大小相等,作用
1 第五章 空间力系的平衡问题 在第三章力偶的力偶矩，第四章力对点的矩中针对空间三维情况给出了力矩矢量和力 偶矩矢量的定义： 力偶矩矢量 ： M = d×F 如图 5-1（a）所示。 力矩矢量 ： M0 = r×F 如图 5-1（b）所示。 图 5-1 本章将在力矢量，力偶矩矢量和力对点的矩矢量这三个基本力学量的基础上，对空间 力系的平衡问题进行简单的分析。 §5-1 空间力系的简化 空间任意力系：当作用在刚体上的力和力偶，其力的作用线和力偶的力偶面不都在同 一平面时，作用在刚体上的力系称为空间任意 力系。 利用力线平衡定理，可将作用在刚体上的 力线平移到刚体上的任意一点。如图 5-2（a） 所示，即作用在刚体上 A 点 F 力的刚体力学 效应与作用在刚体上 B 点力 F = F 和力偶矩 d×F 的力学效应等效。而力偶矩 d×F = MB (F)。因此，作用在刚体 A 点上的 F 与作用在 B 点的 F 和 d×F 力学效应等效。并把作用在 A 点的 F 与作用在 B 点的 F 和 d×F 的等效代 替称空间力 F 由 A 点向 B 点的简化。或者说， 作用在刚体上 A 点的 F 向刚体上 B 点简化的 结果是：作用在 B 点的 F 和作用在 B 点的力 偶矩 d×F（F 对 B 点的矩的力偶）。 空间力偶可以看作是一对大小相等，作用
方向相反,作用线平行(不重合)的F,F"=-F构成的力系。因此力偶(F,F)对空间 任意一点的矩为 F r×F+rx(-F) rXF-r'×F (r-r)× F (F-a-r)×F (r+d )×F (r+b+d-a-r)xF =(b-a)×F+d×F=d×F 即空间任意给定力偶对空间任意一点 的矩相同,均为该力偶的力偶矩矢量。 如图5-2(b)所示。 (k) 作用在刚体上的F1 1,…,Mn向空间任意一点简化得 图5-2 主矢量和主矩矢量 F=F1+…+Fn (5-1) M=r1×F1+… r xF+M1+…+M 在给定的{0;j、k}坐标系中(5-1)式可表示为 F=F·i=F1 F F F2=F·k=F1:+…+Fn M=M·i= +∴+M M,=Mj=M1p+…+Mm+M1y+…+Mm M.=M·k=M1+…+Mn+M1+…+M, FF√F)2+(F)+(F)=F cos(f, i)=F; cos(F, i)=f3; cos(F, k)= M=y(M)2+(M,)2+(M2)2=M M cos( M, i )-=M, cos( M, jy cos(M, k)
2 方向相反，作用线平行（不重合）的 F， F′ = −F 构成的力系。因此力偶(F,F′) 对空间 任意一点的矩为 b a F d F d F r b d a r F r d a r F r a r F r r F r F r F r F r F M r F r F = − × + × = × = ′ + + − − ′ × = ′ + − − ′ × = − − ′ × = − ′ × = × − ′× = × + ′× − = × + ′× ′ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) A 即空间任意给定力偶对空间任意一点 的矩相同，均为该力偶的力偶矩矢量。 如图 5-2（b）所示。 作用在刚体上的 F1，…，Fn； M1，…，Mn向空间任意一点简化得 图 5-2 一主矢量和主矩矢量： n n m n M r F r F M M F F F = × + × + + + = + + " " " 1 1 1 1 （5-1） 在给定的{0；i、j、k}坐标系中（5-1）式可表示为 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ = ⋅ = + + + + + = ⋅ = + + + + + = ⋅ = + + + + + = ⋅ = + + = ⋅ = + + = ⋅ = + + z Fz nFz z mz y Fy nFy y my x Fx nFx x mx z z nz y y ny x x nx M M M M M M M M M M M M M M M F F F F F F F F F " " " " " " " " " 1 1 1 1 1 1 1 1 1 M k M j M i F k F j F i （5-2） ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = = = = + + = F F F F F F F F F F x y z x y z cos( , ) ; cos( , ) ; cos( , ) | | ( ) ( ) ( ) 2 2 2 F i F j F k F （5-3） ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = = = = + + = M M M M M M M M M M x y z x y z cos( , ) ; cos( , ) ; cos( , ) | | ( ) ( ) ( ) 2 2 2 M i M j M k M （5-4）
例5-1如图5-3所示正六面体。六面体的 D 边长为1m。在ABCD′面内作用 lM1=50kNm:在ABCD面内作用 M2F=20kN·m;A点作用在ABCD面内,e 沿AC的|F1F=40kN:在B点作用哲分 BC"线上F|40kN。试求F1、F2、M1、 M2向B点简化的定矢量F=?主矩矢量=? 解: 1.建立原点在B点的坐标系{B;i、j 图5-3 k}。如图5-3所示。 2.求主矢量F F=F1+F2=40+202i+20√2k =(40+20√2)+20√2k(kN) 3.求主矩矢量MB 作矢量N=AB×AD N=k×(i-j)=kxi-k×j=j+i IN=√(i+j(i+j=√2 n=N/NE(i+j) M1=25√2(i+j(kNm) M2=-20j(kN.m) rI==/: 52 F1=-j×(40i)=40k(kN·m) r2×F2=-kx(20√2i+20、2k)=-20√2j(Nm)
3 例 5-1 如图 5-3 所示正六面体。六面体的 边长为 1m 。 在 ABC′D′ 面内作用 | M1 |= 50 kN ⋅ m ；在 ABCD 面内作用 | M2 |= 20 kN ⋅m ；A 点作用在 ABCD 面内， 沿 AC 的 | F2 |= 40 kN ；在 B′ 点作用在 B′C′线上| F1 |= 40 kN 。试求 F1、F2、M1、 M2 向 B 点简化的定矢量 F=？主矩矢量=？ 解： 1．建立原点在 B 点的坐标系{B；i、j、 图 5-3 k}。如图 5-3 所示。 2．求主矢量 F (40 20 2) 20 2 (kN) 1 2 40 20 2 20 2 i k F F F i i k = + + = + = + + 3．求主矩矢量 MB 作矢量 N = AB × AD′ N = k × (i − j) = k × i − k × j = j + i | N |= (i + j)⋅(i + j) = 2 ( ) 2 1 n = N / | N |= i + j 25 2( ) (kN m) 1 M = i + j ⋅ 20 (kN m) 2 M = − j ⋅ r = − j 1 ； r = −k 2 (40 ) 40 (kN m) 1 1 r × F = − j × i = k ⋅ (20 2 20 2 ) 20 2 (kN m) 2 2 r × F = −k × i + k = − j ⋅
MB=r1×F1+r2×F2+M1×M2 40k-202j+25√2i+25√2j-20j =25√2i+(5√2-20)j+40k(kNm) 4.结果如图图5-3所示 课堂练习:1、当B坐标为→x;x→y;y→z时。求解本例 2、求对D’点的F=?M=? §5-2空间任意力系的平衡条件 当刚体上作用空间任意力系F1,…,Fn;M1,…Mm时,其平衡的充分必要条件为: F1,…,Fn;M1,…Mm向刚体上任意一点简化所得主矢量和主矩矢量满足 F=0;M=0 (5-5) 在给定的{O;i、jk}坐标系中为 Fri+Fi+F-k (5-6a) Mo=MO i+Mo.j+Mok=0 F=F F=0 F2=F1 (5-6b) Mn+Mx+…+Mx=0 M1y+…+Mm+Mn+…+Mp M+M M=0 例5-2如图5-4所示结构。A端为固定端约束 CD=BC=4m;AB=3m。|F=200√2kN; F2F=100kN;c=50kN/m。B、C、D点在同一水 平面内;B、A两点在与B、C、D点所在水平面垂 直的面内;∠DCB=90°,∠ABC=90° a=45°。(各杆重量略去不计)。试求A处的约束午2 解 刚体ABCD受空间任意力系作用。A处的固定 端约束限制了空间任意三个非共线方向的位移和A 截面的转动。因此空间固定端约束可与三个相互正 M 交的约束反力和对三个相互正交轴的反力偶矩力学 效应等效 图5-4
4 25 2 (5 2 20) 40 (kN m) 40 20 2 25 2 25 2 20 1 1 2 2 1 2 = + − + ⋅ = − + + − = × + × + × i j k k j i j j MB r F r F M M 4．结果如图图 5-3 所示 课堂练习：1、当 B 坐标为 z→x；x→y；y→z 时。求解本例。 2、求对 D′点的 F=？M=？ §5-2 空间任意力系的平衡条件 当刚体上作用空间任意力系 F1，…，Fn；M1，…Mm 时，其平衡的充分必要条件为： F1，…，Fn；M1，…Mm向刚体上任意一点简化所得主矢量和主矩矢量满足 F=0；M=0 （5-5） 在给定的{O；i、j、k}坐标系中为 0 0 0 = 0 + 0 + 0 = = + + = M i j k F i j k x y z x y z M M M F F F （5-6a） ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ = + + + + + = = + + + + + = = + + + + + = = + + = = + + = = + + = 0 0 0 0 0 0 1 1 1 0 1 0 1 0 1 1 1 1 z z mz F z F z y y my F y F y x x mx F x F x z z nz y y ny x x nx n n n M M M M M M M M M M M M M M M F F F F F F F F F " " " " " " " " " （5-6b） 例 5-2 如图 5-4 所示结构。A 端为固定端约束。 CD = BC = 4m ； AB = 3m。| F1 |= 200 2kN ； | F2 |= 100kN ；q=50kN/m。B、C、D 点在同一水 平面内；B、A 两点在与 B、C、D 点所在水平面垂 直的面内； ∠DCB = 90° ， ∠ABC = 90° ； α = 45°。（各杆重量略去不计）。试求 A 处的约束 反力。 解： 刚体 ABCD 受空间任意力系作用。A 处的固定 端约束限制了空间任意三个非共线方向的位移和 A 截面的转动。因此空间固定端约束可与三个相互正 交的约束反力和对三个相互正交轴的反力偶矩力学 效应等效。 图 5-4
1.解除约束,代之以约束反力。建立axyz坐标系。如图所示 2.列平衡方程 ∑F2=0 F,=0:-200-50×4+N,=0 ∑F=0:100+N=0 ∑m.=0:-200×4+100×3+M=0 ∑mn=0:-200×4+100×4+M=0 ∑m2=0:-200×3+200×4+200×2+M2=0 3.联立求解 Nx=-200kN(与假设方向相反) N,=400 kN N=-100kN (与假设方向相反) M=-500kN·m(与假设方向相反) M=-400kN·m(与假设方向相反) M-=600 KN 例5-3图5-5示板 ABCDEF由六根链 杆支承。求在A点F力作用下六杆的内 力 六杆均为二力构件 1.受力图。如图5-5所示。 2.oyz坐标系如图5-5所示。 3.平衡方程 ∑F2=0:F-N4cosa=0 图5-5 ∑F,=0:N1+N2Sina+N3+N4sna+Msin45°+N6=0 ∑M4=0:N2coz-2a1×2a+N2 cos a x2a=0 2 M=0:-N x×2a=0 2F=0: -N2 cosa-Ns cos 45
5 1．解除约束，代之以约束反力。建立 oxyz 坐标系。如图所示 2．列平衡方程 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ ∑ = − × + × + × + = ∑ = − × + × + = ∑ = − × + × + = ∑ = + = ∑ = − − × + = ∑ = + = 0 : 200 3 200 4 200 2 0 0 : 200 4 100 4 0 0 : 200 4 100 3 0 0 : 100 0 0 : 200 50 4 0 0 : 200 0 z z y y x x z z y y x x m M m M m M F N F N F N 3．联立求解 Nx = -200 kN （与假设方向相反） Ny = 400 kN Nz = -100 kN （与假设方向相反） Mx = -500 kN·m （与假设方向相反） My = -400 kN·m （与假设方向相反） Mz = 600 kN·m 例 5-3 图 5-5 示板 ABCDEF 由六根链 杆支承。求在 A 点 F 力作用下六杆的内 力。 解： 六杆均为二力构件。 1．受力图。如图 5-5 所示。 2．oxyz 坐标系如图 5-5 所示。 3．平衡方程 ∑ Fx = 0 : F − N4 cosα = 0 图 5-5 ∑ Fy = 0 : N1 + N2 sinα + N3 + N4 sinα + N5 sin 45° + N6 = 0 2 2 cos 2 0 2 0 : cos 4 ⎟× + 3 × = ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∑ M AE = N − α a N α a π ∑ M AD = 0 : − N2 cosα × a + N3 × 2a + N4 sinα × 2a = 0 ∑ M B′C′ = 0 : − N1 × 2a − N6 × 2a = 0 ∑ Fz = 0 : − N2 cosα − N5 cos 45° = 0
∵ sIngs I ∑F2=0:N4 F ∑MA=0:2N +N3=0 ∑MAD=0 N、+2N N4=0 ∑F= 2 MgC=0:N1+N6=0 2F,=0:N1+gM2+ N4+N+N。=0 显然后两个方程不独立,因此∑F.=0的方程舍去。重列平衡方程 ∑M=0 aN +Fa-N 2a=0 4.联立求解 3 (拉力) F(压力) N F (压力) 2-54-5 (拉力) F (拉力) 压力) 结果代入∑F=0验证,y方向力投影和为零
6 ∵ 5 1 sinα = ； 5 2 cosα = ∴ Fx N F 5 2 0 : ∑ = 4 = ① 0 5 1 ∑ M AE = 0 : 2N4 × + N3 = ② 0 5 2 2 5 2 0 : ∑ M AD = − N2 + N3 + N4 = ③ 0 5 2 5 2 0 : ∑ Fz = N2 + N5 = ④ ∑ M B′C′ = 0 : N1 + N6 = 0 ⑤ 0 2 2 5 1 5 1 0 : ∑ Fy = N1 + N2 + N3 + N4 + N5 + N6 = 显然后两个方程不独立，因此 ∑ Fy = 0 的方程舍去。重列平衡方程 2 0 2 2 ∑ M EF = 0 : − 2aN6 + Fa − N5 × × a = ⑥ 4．联立求解 N F 10 3 1 = （拉力） N 5F 5 2 2 = − （压力） N F 5 4 3 = − （压力） N 5F 5 2 4 = （拉力） N 2F 5 4 5 = （拉力） N F 10 3 6 = − （压力） 结果代入 ∑ Fy = 0 验证，y 方向力投影和为零
§5-3重心 若惯性参考系取为地球,工程上所涉及的研究对象相对地球,其几何尺寸足够小。因 此地球对所研究对象的超距体分布力,可以认为是作用在物体上的体分布平行力系。对处 于地球重力场中的物体,作用在物体上的体分布平行重力可向空间内的任意一点简化。若 存在空间中的一特殊点C,使得作用在物体上的平行重力对C点的主矩矢量为零矢量,则 C点称为物体在地球重力场中的重心。而平行重力分布力向重心简化所得的主矢量称为地 球对物体作用的重力。通常用P表示,其作用线与地球表面垂直,且指向地面。 如图5-6所示。C为物体的重心。 由重心定义可确定作用在重心C处的 Z 重力矢量为 P=-pgkdy AaP 式中p=p(x,y,z)为质量分布密度; g为重力加速度g=gk的大小。 φ=gdhm=-gkph。p=y也称 比重或称为容重。 当物体为均质时,y=8不随点 的位置而变化,即 C P vk (5-7) 重心C在给定坐标系中的位置由 重力分布平行力系对重心C点的主矩矢量为零矢量确定。即 图5-6 ∑ (r-r)x中= x-x)+(y-y)+(=-=)k×上ykh=0 r(x-x )di xdv lr dv v(n) Ryde y ydv dv v(r) 显然由∑M=0条件,在图图5-6示坐标系Oxz中只能确定C的一组解xc、y、z=任意
7 §5-3 重心 若惯性参考系取为地球，工程上所涉及的研究对象相对地球，其几何尺寸足够小。因 此地球对所研究对象的超距体分布力，可以认为是作用在物体上的体分布平行力系。对处 于地球重力场中的物体，作用在物体上的体分布平行重力可向空间内的任意一点简化。若 存在空间中的一特殊点 C，使得作用在物体上的平行重力对 C 点的主矩矢量为零矢量，则 C 点称为物体在地球重力场中的重心。而平行重力分布力向重心简化所得的主矢量称为地 球对物体作用的重力。通常用 P 表示，其作用线与地球表面垂直，且指向地面。 如图 5-6 所示。C 为物体的重心。 由重心定义可确定作用在重心 C 处的 重力矢量为： ∫ = − v P ρgkdv 式中 ρ = ρ(x, y,z) 为质量分布密度； g 为重力加速度 g =-gk 的大小。 dp = gdm = −gkρdv 。 ρg = γ 也称 比重或称为容重。 当物体为均质时，γ = ρg 不随点 的位置而变化，即 P = −ρgvk = −γ v k （5-7） 重心 C 在给定坐标系中的位置由 重力分布平行力系对重心 C 点的主矩矢量为零矢量确定。即 图 5-6 ∑ = 0 : ( − ) × = 0 ∫ M r r dp v c c [ ] ( − ) + ( − ) + ( − ) ×[− ] = 0 ∫ x x y y z z dv v c c c i j k γ k [ ( − ) ] − [ ( − ) ] = 0 ∫ ∫ j i v c v c γ x x dv γ y y dv xdv dv v xdv x v v v c ∫ ∫ ∫ = = γ γ γ γ ( ) 1 y dv dv v y dv y v v v c ∫ ∫ ∫ = = γ γ γ γ ( ) 1 显然由 ∑ Mc = 0条件，在图图 5-6 示坐标系 oxyz 中只能确定 C 的一组解 xc、yc、z = 任意
值。即图5-6中过点C的与z轴平行的直线上每 点都满足∑M。=0。其根本原因是重力分布力系的 作用线与z轴平行,因此分布力系对轴的矩为零 ∑M。=0只给出了两个独立的求解xy2、z的方 程。或者说二c在xz坐标系中的解,其值任意并不 是重心C的位置不唯一确定,而是由于坐标系中所 给出的∑M=0只能给出两个独立的求解x、y c的方程。哪未将axz坐标系的三个坐标轴取的与 平行力系的作用线即不平行也不正交是不是能在 ay坐标系中求解出x、y、=2的值呢?如图5所2 示可得 图5-7 ∑M。=0:|(r-r)×φ=0 kx-x)+(y-y)+(=-=)k小×2+y,+ykh=0 整理后得 E:(y-y:)-x;(-)Jny} +[,(-=)-y(x-x)] (V: (x-x)-r,(y-yoJdr k=0 d :J-ry5 Y dv ,x-y 这是关于x、y、z的线性非齐次方程组,其系数行列式为 d 该非齐次线性代数方程组关于x、y、二无唯一解。即(a)式中三个方程并非独立。至少 有一个可用其它两个线性表示。其力学原因是,平行力系向重心简化后所得的合力矢量P, 在一个给定的axz坐标系中,无论xz坐标系怎样建。一定至少存在一个与P正交的面 即一定存在一个与P平行的轴(与P正交面的垂直轴),P对该轴的矩为零。以上分析表明
8 值。即图 5-6 中过点 C 的与 z 轴平行的直线上每一 点都满足 ∑ Mc = 0。其根本原因是重力分布力系的 作用线与 z 轴平行，因此分布力系对 z 轴的矩为零。 ∑ Mc = 0只给出了两个独立的求解 xc、yc、zc的方 程。或者说 zc在 oxyz 坐标系中的解，其值任意并不 是重心 C 的位置不唯一确定，而是由于坐标系中所 给出的 ∑ Mc = 0只能给出两个独立的求解 xc、yc、 zc的方程。哪未将 oxyz 坐标系的三个坐标轴取的与 平行力系的作用线即不平行也不正交是不是能在 oxyz 坐标系中求解出 xc、yc、zc的值呢？如图 5-7 所 示可得 图 5-7 ∑ = 0 : ( − ) × = 0 ∫ M r r dp v c c [ ] ( − ) + ( − ) + ( − ) ×[ + + ] = 0 ∫ x x y y z z dv x y z v c c c i j k γ i γ j γ k 整理后得 { [ ] } { } [ ] { } [ ] ( ) ( ) 0 ( ) ( ) ( ) ( ) + − − − = + − − − − − − ∫ ∫ ∫ k j i x x y y dV z z x x dV y y z z dV r z c x c r x c z c r z c y c γ γ γ γ γ γ ( ) ( ) ⎪ ( ) ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ − = − − = − − = − ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ v y x v c x v c y v x z v c z v c x v z y v c y v c z x dV y dV x y dV z dV x dV z x dV y dV z dV y z dV γ γ γ γ γ γ γ γ γ γ γ γ （a） 这是关于 xc、yc、zc的线性非齐次方程组，其系数行列式为 0 0 0 0 = − − − ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ v x v z v x v z v y v z dV dV dV dV dV dV γ γ γ γ γ γ 该非齐次线性代数方程组关于 xc、yc、zc 无唯一解。即（a）式中三个方程并非独立。至少 有一个可用其它两个线性表示。其力学原因是，平行力系向重心简化后所得的合力矢量 P， 在一个给定的 oxyz 坐标系中，无论 oxyz 坐标系怎样建。一定至少存在一个与 P 正交的面， 即一定存在一个与 P 平行的轴（与 P 正交面的垂直轴），P 对该轴的矩为零。以上分析表明
仅在一个坐标系oxz中不能完全确定x、y、的值。但重心C确实存在,由于C取决于 物体的大小、形状、密度和平行力系,与坐标系的选取无关。则在任意坐标系中C在物体 中的相对位置当物体大小、形状、密度和平行力系不变的情况下不会发生变化。在不同坐 标系中,变化的是同一重心C点的不同坐标系表示。因此仅仅通过一个坐标系不能完全确 定x、y2、二c要确定x、y2、二e,可选择另一坐标系。在新的坐标系中得到一组x!、yz 若重心存在,则x、y=c和xyz满足两坐标系之间的坐标变换。且通过xy2、 和x、y、z之间的坐标变换可最终确定重心C的位置。 如图5-8所示。在0xz坐标系中 确定一直线,重心在该直线上。 在Oxy2’坐标系中 确定一直线,重心在该直线上。 图5-8 两直线交点确定重心C。最终可确定重心的坐标表示为 r xdv y dv v(r) = y ya (5-8) 1=dv dy v( 对均质物体y(x,y,z),y'(x’,y,z’)与(x,y,),(x’,y’,)无关。(5-8)
9 仅在一个坐标系 oxyz 中不能完全确定 xc、yc、zc的值。但重心 C 确实存在，由于 C 取决于 物体的大小、形状、密度和平行力系，与坐标系的选取无关。则在任意坐标系中 C 在物体 中的相对位置当物体大小、形状、密度和平行力系不变的情况下不会发生变化。在不同坐 标系中，变化的是同一重心 C 点的不同坐标系表示。因此仅仅通过一个坐标系不能完全确 定 xc、yc、zc。要确定 xc、yc、zc，可选择另一坐标系。在新的坐标系中得到一组 z c c x′、 y′、 z′ 。 若重心存在，则 xc、yc、zc和 z c c x′、 y′、 z′ 满足两坐标系之间的坐标变换。且通过 xc、yc、zc 和 z c c x′、 y′、 z′ 之间的坐标变换可最终确定重心 C 的位置。 如图 5-8 所示。在 oxyz 坐标系中： ⎩ ⎨ ⎧ = = c c y y x x 确定一直线，重心在该直线上。 在ox′y′z′坐标系中： ⎩ ⎨ ⎧ ′ = ′ ′ = ′ c c z z x x 确定一直线，重心在该直线上。 图 5-8 两直线交点确定重心 C。最终可确定重心的坐标表示为： ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ = ′ ′ ′ = = = = = ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ v v v c v v v c v v v c z dz dv v z dv z ydv dv v ydv y xdv dv v xdv x γ γ γ γ γ γ γ γ γ γ γ γ ( ) 1 ( ) 1 ( ) 1 （5-8） 对均质物体γ (x, y,z) ，γ ′(x′, y′,z′) 与(x, y,z) ，(x′, y′,z′)无关。（5-8）：
x==xdv 简单空间均质物体的重心例 例5-3如图59所示。求半径为R,高为H的均质圆柱物体在图示坐标系中的重心坐 标 解 圆柱体的体积为=丌R2H √R2-x2+R dz H√R2-x2(R2 2
10 ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ ′ = ′ ′ = = = = ∫ ∫ ∫ ∫ c v v c v c v c zdv z v z dv v z ydv v y xdv v x 1 1 1 1 （5-9） 一、 简单空间均质物体的重心例 例 5-3 如图 5-9 所示。求半径为 R，高为 H 的均质圆柱物体在图示坐标系中的重心坐 标 xc =？yc =？zc =？ 解： 圆柱体的体积为V R H 2 = π [ ] ( ) 0 3 2 ( ) 2 2 2 3 2 2 2 2 2 2 0 2 2 2 2 = − = = − − − = − ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ = − − − − + − − − + ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ R R R R R R R x R R x R R H v R H R x H R x d R x Hx R x dx xdV x dz dy dx xc = 0 图 5-9
