第十六章动力学普遍方程与拉格朗日方程 §16-1动力学普遍方程 应用达朗伯原理,把质点系动力学问题转化为虚拟的静力学平衡问题求解,而虚位移 原理是用分析法求解质点系静力学平衡问题的普遍原理,将二者相结合,就可得到处理质 点系动力学问题的动力学普遍方程( General equations of dynamics)。对此方程进行了广义 坐标变换,可以导出拉格朗日方程( Lagrange' s equations of motion)。拉格朗日方程为建 立质点系的运动微分方程提供了十分方便而有效的方法,在振动理论、质点系动力学问题 中有着广泛地应用 我们先讨论动力学普遍方程 对于n个质点组成的质点系,在任一瞬时,作用于系统内的任一个质点M上的主动 力主矢为F,约束反力主矢为FN,据达朗伯原理,再加上该质点的惯性力F=-ma 则有 F+F+(-ma)=0(=1.2,…,n) 此时系统处于虚平衡状态。给系统任一组虚位移δr,根据虚位移原理,有 F+F -)Sr=0 对于理想约束,由于 FN.Sr=0 则得 ∑(F-ma1)r=0 (16-1) 或写成解析式 mx6x+(F-my)5y2+(F=-m1=;J5=;=0 (16-2) 式(16-1)和(16-2)称为动力学普遍方程。它表示:具有理想约束的质点系,任一瞬时 作用于其上的主动力和惯性力在系统的任一组虚位移上的虚功之和等于零。 将动力学普遍方程与静力学普遍方程相比较,其共同点在于方程中均不出现理想约束 反力,独立方程的数目等于系统的自由度数:区别在于动力学普遍方程中除包含主动力之 外,还包含有惯性力。 应用动力学普遍方程解题时,要正确分析和虚加惯性力,并视惯性力为主动力,解题 步骤与虚位移原理求平衡问题相同。 例16-1瓦特离心调速器以匀角速度O绕铅垂固定轴Oy转动,如图16-1所示。小 球A和B的质量为m,套筒C的质量为M,可沿铅垂轴无摩擦地滑动。其中OA=OB=l
1 第十六章 动力学普遍方程与拉格朗日方程 §16-1 动力学普遍方程 应用达朗伯原理，把质点系动力学问题转化为虚拟的静力学平衡问题求解，而虚位移 原理是用分析法求解质点系静力学平衡问题的普遍原理，将二者相结合，就可得到处理质 点系动力学问题的动力学普遍方程（General equations of dynamics）。对此方程进行了广义 坐标变换，可以导出拉格朗日方程（Lagrange’s equations of motion）。拉格朗日方程为建 立质点系的运动微分方程提供了十分方便而有效的方法，在振动理论、质点系动力学问题 中有着广泛地应用。 我们先讨论动力学普遍方程。 对于 n 个质点组成的质点系，在任一瞬时，作用于系统内的任一个质点 Mi 上的主动 力主矢为 Fi ，约束反力主矢为 Ni F ，据达朗伯原理，再加上该质点的惯性力 i FI ii = −m a ， 则有 ( ) 0 1 2 ( ) i FF a i N ii + +− = = m i , , ,n " 此时系统处于虚平衡状态。给系统任一组虚位移 i δ r ，根据虚位移原理，有 ( ) 1 0 i n i N ii i i FF a r m δ = ∑ +− ⋅= 对于理想约束，由于 0 1 ∑ ⋅ = = i F δ r Ni n i 则得 ( ) 1 0 n i ii i i Far m δ = ∑ − ⋅= （16-1） 或写成解析式 0 1 ⋅ = ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ″ ⎟ + − ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ″ ⎟ + − ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ″ ∑ − = i i i F m x x F m y y F m z z ix i i iy i i iz i i n i δ δ δ （16-2） 式（16-1）和（16-2）称为动力学普遍方程。它表示：具有理想约束的质点系，任一瞬时 作用于其上的主动力和惯性力在系统的任一组虚位移上的虚功之和等于零。 将动力学普遍方程与静力学普遍方程相比较，其共同点在于方程中均不出现理想约束 反力，独立方程的数目等于系统的自由度数；区别在于动力学普遍方程中除包含主动力之 外，还包含有惯性力。 应用动力学普遍方程解题时，要正确分析和虚加惯性力，并视惯性力为主动力，解题 步骤与虚位移原理求平衡问题相同。 例 16-1 瓦特离心调速器以匀角速度ω 绕铅垂固定轴 Oy 转动，如图 16-1 所示。小 球 A 和 B 的质量为 m，套筒 C 的质量为 M，可沿铅垂轴无摩擦地滑动。其中 OA = OB = l
OD=OE=DC=EC=a,不计各杆重,不计各铰链及轴承的摩擦,试求稳态运动时调速 器的张角a 解只要正确虚加惯性力,则可按虚位移原理求解静力学问题一样求解。 (1)受力分析。以系统为 研究对象,主动力有小球A、 B的重力mg以活套C的重力 Mg。当系统稳定运动时,张 角a=常量,套筒C不动。 此时球A、B都作匀速圆周运h6 ,其向心加速度的大小为 Me a =aB=la sina 虚加在小球A、B上的惯性力 的大小分别为 .=F (2)虚位移分析。虚加惯性力后系统处于虚平衡状态。系统具有一个自由度,取a角 为广义坐标。对图示坐标系,可得力作用点的直角坐标为 x =sin a yB=Icosa acos( 对上式取变分,得 dx=-lcosaoa, Sy=-lsinaSa Sxr=losada, 5I singo a (3)应用动力学普遍方程求解。据式(16-2)可得 mgo+mgoyB+Mgdyc-FLdxA+ FBoxB=0 mglsina-2Mgasin a+2m/ 因δa≠0,可得 cOS&s ml+Ma g sin a =0 第二个解α≡0是不稳定的,只要稍加扰动,调速器就会有张角,而最终在第一个解给出 的位置上处于相对平衡
2 ω α a a a a C D E O y α A B mg Mg FIA FIB mg x 图 16-1 OD = OE = DC =EC = a，不计各杆重，不计各铰链及轴承的摩擦，试求稳态运动时调速 器的张角α 。 解 只要正确虚加惯性力，则可按虚位移原理求解静力学问题一样求解。 （1）受力分析。以系统为 研究对象，主动力有小球 A、 B 的重力 mg 以活套 C 的重力 Mg。当系统稳定运动时，张 角α = 常量，套筒 C 不动。 此时球 A、B 都作匀速圆周运 动，其向心加速度的大小为 ω sinα 2 a a l A = B = 虚加在小球 A、B 上的惯性力 的大小分别为 ω sinα 2 F F ml IA = IB = （2）虚位移分析。虚加惯性力后系统处于虚平衡状态。系统具有一个自由度，取α 角 为广义坐标。对图示坐标系，可得力作用点的直角坐标为 xA = −lsinα ， y A = l cosα xB = lsinα ， yB = l cosα xC = 0 ， yC = 2acosα 对上式取变分，得 δ xA = −l cosα δ α ，δ y A = −lsinα δ α δ xB = l cosα δ α ， δ yB = −lsinα δ α δ xC = 0 ， δ yC = −2asinα δ α （3）应用动力学普遍方程求解。据式（16-2）可得 + + − + B = 0 A B C I A A I B mgδ y mgδ y M gδ y F δ x F δ x 即 ( sin sin 2 sin 2 sin cos ) 0 2 2 − mgl α − mgl α − Mga α + ml ω α α δ α = 因δ α ≠ 0，可得 g ml ml M a 2 2 cos ω α + = ， sinα = 0 第二个解α = 0 是不稳定的，只要稍加扰动，调速器就会有张角，而最终在第一个解给出 的位置上处于相对平衡
例16-2在图16-2所示系统中,物块A的质量为m,与接触面处的滑动摩擦因数为 后,均质圆柱体的质量为M。不计绳重及定滑轮质量,当系统运动时,试求物块A和圆柱 体质心C的加速度aA和ac x 解此系统为二自由度系统,视FL4 A块的滑动摩擦力为主动力,可应用 动力学普遍方程求解。 FN (1)受力分析。以物块、柱体及 绳所组成的系统为研究对象。主动力 为物块和柱体的重力mg和Mg,物块 A的滑动摩擦力F=fmg。 A块作直线运动,圆柱体作平面 图16-2 运动。系统具有二自由度,取x4及xc为广义坐标,物块A、柱体质心C的加速度以及圆 柱的角加速度分别为 可得系统的惯性力和惯性力偶矩分别为 F=ma=mx, f=Ma=Mx Me=ja=-Mr "=Mr(x-x (b) (2)虚位移分析。当系统虚加惯性力后(见图16-2),系统则处于虚平衡状态。此位 置,给A物块以虚位移δx4,给C点以虚位移δxc,圆柱体的虚转角则为 xc-ox (3)用动力学普遍方程求解。根据式(16-1),有 Mg axc-Fsax-fuar- Fic ac-Mc do=0 (d) 将式(a)、(b)、(c)代入式(d),得 MB6x-FOx1-m?8x1-M:8%24r(x-x)-(6xe-6x)=0 经整理后为 M-M、1 M(xc-xaxc-Fs+mxM(*)ox,=0 由于δxA和δxc是彼此互为独立的虚位移,欲式(e)成立,则必须
3 例 16-2 在图 16-2 所示系统中，物块 A 的质量为 m，与接触面处的滑动摩擦因数为 fs，均质圆柱体的质量为 M。不计绳重及定滑轮质量，当系统运动时，试求物块 A 和圆柱 体质心 C 的加速度 A a 和aC 。 解 此系统为二自由度系统，视 A 块的滑动摩擦力为主动力，可应用 动力学普遍方程求解。 （1）受力分析。以物块、柱体及 绳所组成的系统为研究对象。主动力 为物块和柱体的重力 mg 和 Mg，物块 A 的滑动摩擦力 Fs = fs mg。 A 块作直线运动，圆柱体作平面 运动。系统具有二自由度，取 xA及 xC为广义坐标，物块 A、柱体质心 C 的加速度以及圆 柱的角加速度分别为 A A a = x′′ ， C C a = x′′ ( ) ( ) C A C A x x r a a r = − = ′′ − ′′ 1 1 α （a） 可得系统的惯性力和惯性力偶矩分别为 IA A A F = ma = m x′′ ， IC C C F = M a = M x′′ ( ) ( ) IC C C A C A x x M r x x r M = J = M r ′′ − ′′ = ′′ − ′′ 2 1 1 2 1 2 α （b） （2）虚位移分析。当系统虚加惯性力后（见图 16-2），系统则处于虚平衡状态。此位 置，给 A 物块以虚位移 A δ x ，给 C 点以虚位移 C δ x ，圆柱体的虚转角则为 ( ) C A x x r δ ϕ = δ − δ 1 （c） （3）用动力学普遍方程求解。根据式（16-1），有 MgδxC − FS δxA − FIA δxA − FIC δxC − MIC δϕ = 0 （d） 将式（a）、（b）、（c）代入式（d），得 ( ) ( ) 0 1 2 1 C − S A − ′ A ′ A − C ′′ C − C ′′ − ′ A ′ ⋅ xC − xA = r M gδ x F δ x mx δ x Mx δ x M r x x δ δ 经整理后为 ( ) ( ) 0 2 1 2 1 = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − + ′′ − ′′ − ′′ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − ′′ − ′′ − ′′ C C A C S A C A A Mg Mx M x x δx F mx M x x δ x （e） 由于 A δ x 和 C δ x 是彼此互为独立的虚位移，欲式（e）成立，则必须 B C MIC δφ δxC δxA Mg Fs FIA FN FIC xA xC 图 16-2 A
Mg-MxC-M(C-x (f) F+mx1-M(x2-x)=0 式(f)即为系统的运动微分方程。运动微分方程的个数即系统的自由度数。从而解得 Mg-35s mg_M-35sm M+3m M+ 3m M+3m g 讨论 (i)解答式(g),只有M-3mg>0时符合题意。若M-3fsmg≤0,此时 0,f M+2m (i)由于广义虚位移的独立性,当系统虚加惯性力后,可分别令δxc≠0,δx4=0; 以及x4≠0,6xC=0。应用动力学普遍方程,可直接得到系统的运动微分方程式(f) §16-2拉格朗日方程 上节导出的动力学普遍方程是以直角坐标形式表达的,由于系统中各质点的虚位移并 不独立,应用时还必须寻求虚位移间的关系,而在复杂的非自由质点系中将十分麻烦。利 用广义坐标,对动力学普遍方程进行坐标变换,则可得到与自由度数目相同的一组独立运 动微分方程,从而使这一方程更加简洁,便于应用。 1.拉格朗日方程 设具有理想完整约束的质点系由n个质点组成,有k个自由度,取广义坐标为q1 q,…,qk。质点系中任一质点m的矢径r可表示为广义坐标和时间的函数,即 r=r;(q1,q2,…,qk 质点m的虚位移 (16-4) 将式(16-4)代入动力学普遍方程(16-1),可得 ∑(-ma)∑n6q
4 ( ) ( ) ⎪ ⎪ ⎭ ⎪ ⎪ ⎬ ⎫ + ′′ − ′′ − ′′ = − ′′ − ′′ − ′′ = 0 2 1 0 2 1 S A C A C C A F mx M x x Mg Mx M x x （f） 式（f）即为系统的运动微分方程。运动微分方程的个数即系统的自由度数。从而解得 ⎪ ⎪ ⎭ ⎪ ⎪ ⎬ ⎫ + + − = ′′ = + − = + − = ′′ = g M m M m f m a x g M m M f m M m Mg f mg a x S C C S S A A 3 2 3 3 3 3 （g） 讨论 （i）解答式（g），只有 M − 3 fS mg > 0时符合题意。若 M − 3 fS mg ≤ 0 ，此时 aA = 0 ， m M fs 3 3 1 = g g M m m m M M m aC 3 2 3 3 2 = + + − = （ii）由于广义虚位移的独立性，当系统虚加惯性力后，可分别令δ xC ≠ 0 ，δ xA = 0 ； 以及δ xA ≠ 0 ，δ xC = 0 。应用动力学普遍方程，可直接得到系统的运动微分方程式（f）。 §16-2 拉格朗日方程 上节导出的动力学普遍方程是以直角坐标形式表达的，由于系统中各质点的虚位移并 不独立，应用时还必须寻求虚位移间的关系，而在复杂的非自由质点系中将十分麻烦。利 用广义坐标，对动力学普遍方程进行坐标变换，则可得到与自由度数目相同的一组独立运 动微分方程，从而使这一方程更加简洁，便于应用。 1．拉格朗日方程 设具有理想完整约束的质点系由 n 个质点组成，有 k 个自由度，取广义坐标为 q1， q2，…，qk。质点系中任一质点 mi 的矢径 ir 可表示为广义坐标和时间的函数，即 ir = ir （q1，q2，…，qk；t） （16-3） 质点 mi 的虚位移 q ( ) i n q j j i k j 1, 2, , 1 = " ∂ ∂ = ∑= δ δ r ri （16-4） 将式（16-4）代入动力学普遍方程（16-1），可得 ( ) 0 1 1 = ∂ ∂ ∑ − ⋅∑ = = k j j j i n i i i q q m δ r F a （16-5）
交换讠,j的求和顺序,得 F 式中括号内的第一项称为对应于广义坐标q的广义力,即 Q=∑ 上一章对广义力的计算方法作了详细讨论。类似地,可定义对应于广义坐标q的广义惯性 力( Generalized force of inertia)为 .a 于是,将式(16-5)可简写成 ∑+)=0 (16-7) 现在,我们研究广义惯性力的计算。在质点系的运动过程中,广义坐标将随时间t的 变化而变化,是时间t的函数。因此,质点系中任一质点m的速度为 q (16-8) 式中的q1是广义坐标对时间的导数,称为广义速度。可见,质点的速度v是广义坐标、 广义速度和时间t的已知函数。它对广义坐标和广义速度的偏导数可得以下两个重要等式 称为拉格朗日变换式。 (1)式(16-8)中,由于和中不包括广义速度,将该式两端对q求偏导 数,则得 (16-9) (2)收0r对时间r求导,得
5 交换 i，j 的求和顺序，得 0 1 1 1 = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ − ⋅ ∂ ∂ ∑ ∑ ⋅ ∑ = = = j j i n i i i j i n i i k j q q m q δ r a r F 式中括号内的第一项称为对应于广义坐标 qj 的广义力，即 ( ) j k q Q j i n i j i 1,2, , 1 = " ∂ ∂ = ∑ ⋅ = r F 上一章对广义力的计算方法作了详细讨论。类似地，可定义对应于广义坐标 qj 的广义惯性 力（Generalized force of inertia）为 ( ) j k q Q m j i n i Ij i i 1,2, , 1 = " ∂ ∂ = −∑ ⋅ = r a （16-6） 于是，将式（16-5）可简写成 ( ) 0 1 ∑ + = = j Ij j k j Q Q δq （16-7） 现在，我们研究广义惯性力的计算。在质点系的运动过程中，广义坐标将随时间 t 的 变化而变化，是时间 t 的函数。因此，质点系中任一质点 mi 的速度为 t q q i j j i k j i i ∂ ∂ ⋅ ′ + ∂ ∂ = ′= ∑= r r v r 1 （16-8） 式中的 j q′ 是广义坐标对时间的导数，称为广义速度。可见，质点的速度 i v 是广义坐标、 广义速度和时间t 的已知函数。它对广义坐标和广义速度的偏导数可得以下两个重要等式， 称为拉格朗日变换式。 （1）式（16-8）中，由于 j i ∂ q ∂ r 和 t i ∂ ∂ r 中不包括广义速度，将该式两端对 j q′ 求偏导 数，则得 j i j i q ∂ q ∂ = ∂ ′ ∂ v r （16-9） （2）将 j i ∂ q ∂ r 对时间 t 求导，得
d a or,ds * ags 02ra(、a (16-10) 0q)09(q at aq, saqs at 考虑到式(16-8),式(16-10)右端括号内即为速度v,因而可得 (16-11) q 式(16-9)及(16-11)称为拉格朗日变换式。 将广义惯性力可改写成 027 将式(16-9)和(16-11)代入上式,得 d dr a m; vi dt alias 2 q 注意到质点系的功能T=∑mv2,最终将广义惯性力可表示为 d aTaT (16-12) dt aq a 将广义惯性力式(16-12)代入式(16-7),则得 (-可 (16-13) 式(16-13)即为广义坐标形式的动力学普遍方程。对于我们所讨论的完整的约束系统, 则由,(=1,2,…,k)的独立性,得 d 9, ag-o =12…,k (16-14) 式(16-14)称为第二类拉格朗日方程,简称为拉格朗日方程。该式是由k个二阶常微分 方程组成的方程组,求解该方程组,则得质点系的运动方程
6 ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ ′ + ∂ ∂ ∂ ∂ = ∂ ∂ ∂ ′ + ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ ∂ ∂ =⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ ∑ ∑ = = t q q t q q q t q q q i s k s s i j j i s j i k j s s ir r r r r d d 1 2 1 （16-10） 考虑到式（16-8），式（16-10）右端括号内即为速度 i v ，因而可得 j i j i t q ∂ q ∂ =⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ r v d d （16-11） 式（16-9）及（16-11）称为拉格朗日变换式。 将广义惯性力可改写成 ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ − ⋅ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ = − ⋅ ∂ ∂ = −∑ ′ ⋅ ∑ = = j i i i j i i i n j i i i i n i Ij t q m t q m q Q m r v r v r v d d d d 1 1 将式（16-9）和（16-11）代入上式，得 ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ ⎟ − ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ′ ∂ = − ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ∂ ∂ − ⋅ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ′ ∂ = − ⋅ ∑ ∑ ∑ = = = 2 1 2 1 1 2 1 2 1 d d d d i i n j i i i n j i j i i i j i i i n i Ij m v q m v t q q m t q Q m v v v v 注意到质点系的功能 2 1 2 1 i i n i T ∑ m v = = ，最终将广义惯性力可表示为 ( ) j k q T q T t Q j j Ij 1,2, , d d = " ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ − ∂ ′ ∂ = − （16-12） 将广义惯性力式（16-12）代入式（16-7），则得 0 d d 1 = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + ∂ ′ ∂ ∑ − = j j j j k j q q T q T t Q δ （16-13） 式（16-13）即为广义坐标形式的动力学普遍方程。对于我们所讨论的完整的约束系统， 则由δqj ( ) j = 1,2,", k 的独立性，得 j j j Q q T q T t = ∂ ∂ − ∂ ′ ∂ d d ( j = 1,2,", k ) （16-14） 式（16-14）称为第二类拉格朗日方程，简称为拉格朗日方程。该式是由 k 个二阶常微分 方程组成的方程组，求解该方程组，则得质点系的运动方程
若主动力是有势力,此时势能量广义坐标及时间的函数,即V=V( 则有 Q G=1,2,…k) 将上式代入式(16-14)得 d at a aI dt a 注意到势能函数中不含广义速度q,因而。=0。将上式可改写为 dc(-1)-c(7-)=0 dt aq q 令 L=T-I (16-15) L称为拉格朗日函数( Lagrangian function)或动势( Kinetic potential)l于是,可得主动 力为有势力的拉格朗日方程 =1,2,…,k (16-16) dr aq, aqr 应注意,拉格朗日函数一般是广义坐标、广义速度和时间t的函数,其量纲与动能的 量纲相同。 综上所述,拉格朗日方程是以广义坐标表示的动力学普遍方程,适用于具有理想完整 约束的任意质点系。它具有以下特点 (1)由于拉格朗日方程的数目等于系统的自由度数,无论广义坐标如何选取,而拉氏 方程的形式不变。因而可按统一的程序和步骤直接建立系统的运动微分方程。 (2)在拉氏方程中,只包含系统的动能、广义坐标、广义力或势能等标量,因而不必 进行加速度分析,不必虚加惯性力,对于保守系统,也不必分析系统的虚位移,极大地简 化了复杂系统动力学问题的分析和求解过程,改变了传统的矢量动力学方法。 2.应用举例 应用拉格朗日方程求解动力学问题时,可按下述的程序和步骤进行。 (1)分析系统的自由度,适当选择与自由度数相同的广义坐标。 (2)分析速度,用广义坐标、广义速度和时间的函数表示系统的动能 (3)分析主动力,求广义力。若主动力为有势力时,用广义坐标表示系统的势能,从 而求出拉氏函数。若主动力为非有势力,广义力一般由虚功法求较方便,即
7 若主动力是有势力，此时势能量广义坐标及时间的函数，即 V＝V（q1, q2,…, qk, t）， 则有 j j q V Q ∂ ∂ = − ( j = 1,2,", k ) 将上式代入式（16-14）得 j j j q V q T q T t ∂ ∂ = − ∂ ∂ − ∂ ′ ∂ d d 注意到势能函数中不含广义速度 j q′ ，因而 = 0 ∂ ′ ∂ j q V 。将上式可改写为 ( ) ( ) 0 d d = ∂ ∂ − − ∂ ′ ∂ − j j q T V q T V t 令 L = T −V （16-15） L 称为拉格朗日函数（Lagrangian function）或动势（Kinetic potential）。于是，可得主动 力为有势力的拉格朗日方程 0 d d = ∂ ∂ − ∂ ′ ∂ j j q L q L t ( j = 1,2,", k ) （16-16） 应注意，拉格朗日函数一般是广义坐标、广义速度和时间 t 的函数，其量纲与动能的 量纲相同。 综上所述，拉格朗日方程是以广义坐标表示的动力学普遍方程，适用于具有理想完整 约束的任意质点系。它具有以下特点： （1）由于拉格朗日方程的数目等于系统的自由度数，无论广义坐标如何选取，而拉氏 方程的形式不变。因而可按统一的程序和步骤直接建立系统的运动微分方程。 （2）在拉氏方程中，只包含系统的动能、广义坐标、广义力或势能等标量，因而不必 进行加速度分析，不必虚加惯性力，对于保守系统，也不必分析系统的虚位移，极大地简 化了复杂系统动力学问题的分析和求解过程，改变了传统的矢量动力学方法。 2．应用举例 应用拉格朗日方程求解动力学问题时，可按下述的程序和步骤进行。 （1）分析系统的自由度，适当选择与自由度数相同的广义坐标。 （2）分析速度，用广义坐标、广义速度和时间的函数表示系统的动能。 （3）分析主动力，求广义力。若主动力为有势力时，用广义坐标表示系统的势能，从 而求出拉氏函数。若主动力为非有势力，广义力一般由虚功法求较方便，即
Q,=∑5W,/q (4)将Q,T(或L)代入拉氏方程,即可得到系统的运动微分方程。 下面举例说明拉格朗日方程的具体应用。 例16-3由滑块A、无重刚杆AB和摆 锤B所组成的椭圆摆如图16-3所示。设滑 块A质量为m1,摆锤B质量为m2,AB=l, 不计摩擦。试写出系统的运动微分方程。 解(1)以系统为研究对象。该系统 具有两个自由度,取滑块A的坐标x及杆ty AB的转角q为广义坐标(见图16-3) (2)计算动能。任一瞬时,滑块A的速 度为x。杆AB作平面运动,可由基点法求 m2g 点B的速度,即vB=4+va4,其中 vB4=lq'。于是可得点B的速度大小为 图16-3 vR=v4+VR+2v, RA COSP=x'+1+2x'lIo'cos 系统的动能为 m m2 (m, +m, x+m, 1p"+m,Ix'p'cos (3)求广义力。由于系统的主动力只有重力,可分别给系统以虚位移δx及δ,则 由虚功法求出对应于广义坐标的广义力。即 Q=∑形2/6x=0 Q=∑6H。/6=-m2 gluing So/6q=-m2 gIsin (4)应用拉格朗日方程。据式(16-14)有 d atat d at aT dtox-ox=gr, O dt ao ap T T dx (m,+m,)x'+m,I d at (m, m, )x"+mIo"cos
8 j j j Q = ∑δ W /δ q （4）将Qj ，T（或 L）代入拉氏方程，即可得到系统的运动微分方程。 下面举例说明拉格朗日方程的具体应用。 例 16-3 由滑块 A、无重刚杆 AB 和摆 锤 B 所组成的椭圆摆如图 16-3 所示。设滑 块 A 质量为 m1，摆锤 B 质量为 m2，AB = l， 不计摩擦。试写出系统的运动微分方程。 解 （1）以系统为研究对象。该系统 具有两个自由度，取滑块 A 的坐标 x 及杆 AB 的转角ϕ 为广义坐标（见图 16-3）。 （2）计算动能。任一瞬时，滑块 A 的速 度为 x′。杆 AB 作平面运动，可由基点法求 点 B 的速度，即 B A BA v = v + v ，其中 v = lϕ′ BA 。于是可得点 B 的速度大小为 2 cosϕ ϕ 2 ϕ cosϕ 2 2 2 2 2 2 v = v + v + v v = x′ + l ′ + x′l ′ B A BA A BA （a） 系统的动能为 ( ) ( ) ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ cos 2 1 2 1 2 cos 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 2 2 1 2 2 2 2 2 2 1 2 2 2 1 = + ′ + ′ + ′ ′ = + = ′ + ′ + ′ + ′ ′ m m x m l m l x T m v m v m x m x l x l A B （b） （3）求广义力。由于系统的主动力只有重力，可分别给系统以虚位移δ x 及δ ϕ ，则 由虚功法求出对应于广义坐标的广义力。即 Q = ∑ W / x = 0 x δ x δ Qϕ = ∑ δ Wϕ /δ ϕ = −m2 glsinϕ δ ϕ /δ ϕ = −m2 glsinϕ （c） （4）应用拉格朗日方程。据式（16-14）有 Qx x T x T t = ∂ ∂ − ∂ ′ ∂ d d ， ϕ ϕ ϕ Q T T t = ∂ ∂ − ∂ ′ ∂ d d 式中， = 0 ∂ ∂ x T ， = ( ) 1 + 2 ′ + 2 ϕ′cosϕ ∂ ′ ∂ m m x m l x T ( ) ϕ cosϕ ϕ sinϕ d d 2 1 2 2 2 = + ′′ + ′′ − ′ ∂ ′ ∂ m m x m l m l x T t B x’ φ y 图 16-3 φ vB vA vBA m1g m2g A x x
ap 2/rp' sin 'ap'@+m2 /x'cosp d at dr ao-mz/"+m,Ix"coso-m,Ix'p'sing 于是,可得系统的运动微分方程 (m, +m2)x"+m2Ipcosp-m21p2sin=0 (d) I o+x"cos+gsin=0 讨论 由于本例的主动力为有势力,因而可应用主动力为势力的拉格朗日方程求解。取点A 的水平面为零势能面,系统的势能为 由式(b)和(f)可得系统的拉格朗日函数 L=T-V=-(m+m,)x2+-m2I20'2+m, p+m2 gIcoso 代入保守系统的拉格朗日方程式(16-16) d at aL d aT aL =0和 0 dt ax ax dtoq’oq 则可求得系统的运动微分方程与式(d)和式(e)相同。 例16-4两半径均为r、质量均为m的均质圆轮A和B,用绳缠绕连接如图16-4所 。不计绳重和摩擦,求轮B下落时两轮的角加速度及B轮质心C的加速度。 解(1)以系统为研究对象。轮A作定轴运动,轮B作平面运动,系统具有两个自 由度。取两轮的转角q和2为广义坐标,设顺时针转向为正(见图16-4) (2)计算动能。两轮的角速度分别为和2,轮B质心C的速度为 Vc =r9,trp2 系统的动能为 Jop+mvc+Jc +-mI m!q1+mr2+mr四2 (3)计算拉氏函数。由于系统的主动力为有势力,以过点O的水平面为势能零面, 系统的势能的 其中l为系统开始运动时两轮心的高度差。系统的拉氏函数为 V==mro+mr +m gto+,+rp2
9 ϕ ϕ ϕ sin 2 = − ′ ′ ∂ ∂ m l x T ， ϕ ϕ ϕ cos 2 2 m l m l x T = ′ + ′ ∂ ′ ∂ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ cos sin d d 2 2 2 2 = ′′ + ′′ − ′ ′ ∂ ′ ∂ m l m l x m l x T t 于是，可得系统的运动微分方程 ( ) cos sin 0 2 m1 + m2 x′′ + m2 lϕ′′ ϕ − m2 lϕ′ ϕ = （d） lϕ′′ + x′′cosϕ + g sinϕ = 0 （e） 讨论 由于本例的主动力为有势力，因而可应用主动力为势力的拉格朗日方程求解。取点 A 的水平面为零势能面，系统的势能为 V = −m2 g l cosϕ （f） 由式（b）和（f）可得系统的拉格朗日函数 ( ) ϕ ϕ cosϕ cosϕ 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 1 2 L = T −V = m + m x′ + m l ′ + m l x′ ′ + m g l 代入保守系统的拉格朗日方程式（16-16） 0 d d = ∂ ∂ − ∂ ′ ∂ x L x T t 和 0 d d = ∂ ∂ − ∂ ′ ∂ ϕ ϕ T L t 则可求得系统的运动微分方程与式（d）和式（e）相同。 例 16-4 两半径均为 r、质量均为 m 的均质圆轮 A 和 B，用绳缠绕连接如图 16-4 所 示。不计绳重和摩擦，求轮 B 下落时两轮的角加速度及 B 轮质心 C 的加速度。 解 （1）以系统为研究对象。轮 A 作定轴运动，轮 B 作平面运动，系统具有两个自 由度。取两轮的转角ϕ1 和ϕ 2 为广义坐标，设顺时针转向为正（见图 16-4）。 （2）计算动能。两轮的角速度分别为ϕ1 ′和ϕ 2 ′ ，轮 B 质心 C 的速度为 ϕ1 ϕ 2 v = r ′ + r ′ C 系统的动能为 ( ) 2 2 2 1 2 2 2 1 2 2 2 2 2 1 2 2 2 1 2 2 2 2 2 0 1 4 3 4 3 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ = ′ + ′ ′ + ′ ⎟ ′ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ′ + ′ + ′ + ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = ′ + + ′ = mr mr mr T J mv J mr mr mr C C （3）计算拉氏函数。由于系统的主动力为有势力，以过点 O 的水平面为势能零面， 系统的势能的 ( ) 0 ϕ1 ϕ 2 V = −mg l + r + r 其中 l0 为系统开始运动时两轮心的高度差。系统的拉氏函数为 ( ) 0 1 2 2 2 2 1 2 2 2 1 2 4 3 4 3 L = T −V = mr ϕ′ + mr ϕ′ϕ′ + mr ϕ′ + m g l +rϕ +rϕ
(4)应用拉格朗日方程。据式(16-16),有 dt ao -s=o d aL aL d a aL 0 dt ap? ap2 其中 0q1 aL=3mr'o'+mrp2 =mg a1 d aL 3 mr 1 +mr p2 dt a PI g =m (, +-mI d al dt a? ir p1 于是,可得系统的运动微分方程为 3rq1+2rq2=2 92 2r+3rq2=2g B PC 联立求解此方程组,可得 图16-4 故轮A与轮B的角加速度相同,均为,转向为顺时针,根据运动学关系,可得轮B 质心C的加速度大小为 g an的方向为铅垂向下。 讨论若系统的广义坐标取为轮A的转角1和轮B质心C的坐标y,请读者考虑如 何求解? 例16-5物块A和B的质量为m,用刚 度系数为k的三根弹簧连接如图16-5所示。不 k k 计摩擦,试求物块A、B的运动微分方程。才 解(1)以系统为研究对象。系统的自 由度系数为二,分别取物块相对其平衡位置的 水平偏移x1和x为广义坐标(见图16-5)。 (2)任一瞬时,物A和B的速度分别为x和x2,可得系统的动能为 T=-mx'timx (2)系统的主动力为有势力,三根弹簧的变形量分别为x1,x2-x1和x2,取弹簧未变形
10 （4）应用拉格朗日方程。据式（16-16），有 0 d d 1 1 = ∂ ∂ − ∂ ′ ∂ ϕ ϕ L L t ， 0 d d 2 2 = ∂ ∂ − ∂ ′ ∂ ϕ ϕ L L t 其中 m g r L = ∂ ∂ ϕ1 ， 2 2 1 2 1 2 3 ϕ ϕ ϕ = ′ + ′ ∂ ′ ∂ mr mr L 2 2 1 2 1 2 3 d d ϕ ϕ ϕ = ′′+ ′′ ∂ ′ ∂ mr mr L t m g r L = ∂ ∂ ϕ 2 ， 2 2 1 2 2 2 3 ϕ ϕ ϕ = ′ + ′ ∂ ′ ∂ mr mr L 2 2 1 2 2 2 3 d d ϕ ϕ ϕ = ′′+ ′′ ∂ ′ ∂ mr mr L t 于是，可得系统的运动微分方程为 r r g r r g 2 3 2 3 2 2 1 2 1 2 ′′ + ′′ = ′′ + ′′ = ϕ ϕ ϕ ϕ 联立求解此方程组，可得 r g 5 2 ϕ1 ′′ = ϕ 2 ′′ = 故轮 A 与轮 B 的角加速度相同，均为 r g 5 2 ，转向为顺时针，根据运动学关系，可得轮 B 质心 C 的加速度大小为 a r( ) g C 5 4 = ϕ1 ′′+ϕ′′ = aC 的方向为铅垂向下。 讨论 若系统的广义坐标取为轮 A 的转角ϕ1 和轮 B 质心 C 的坐标 yc，请读者考虑如 何求解？ 例 16-5 物块 A 和 B 的质量为 m，用刚 度系数为 k 的三根弹簧连接如图 16-5 所示。不 计摩擦，试求物块 A、B 的运动微分方程。 解 （1）以系统为研究对象。系统的自 由度系数为二，分别取物块相对其平衡位置的 水平偏移 x1和 x2 为广义坐标（见图 16-5）。 （2）任一瞬时，物 A 和 B 的速度分别为 1 x′和 2 x′ ，可得系统的动能为 2 2 2 1 2 1 2 1 T = m x′ + m x′ （2）系统的主动力为有势力，三根弹簧的变形量分别为 x1，x2-x1和 x2，取弹簧未变形 k k k x1 x2 A B 图 16-5 A mg B C O φ2 x mg φ1 图 16-4 y yc
