第十二章 动量定理
第十二章 动 量 定 理
动力学 动力学普遍定理概述 对质点动力学问题:建立质点运动微分方程求解 对质点系动力学问题:理论上讲,n个质点列出3n个微分方 程,联立求解它们即可。 实际上的问题是:1、联立求解微分方程(尤其是积分问题)非 困难。 2、大量的问题中,不需要了解每一个质 点的运动仅需要研究质点系整体的运 动情况 从本章起,将要讲述解答动力学问题的其它方法,主要讨论 的是动力学普遍定理(包括动量定理、动量矩定理、动能定理及 由此推导出来的其它一些定理)
实际上的问题是： 1、联立求解微分方程(尤其是积分问题)非 常困难。 2、大量的问题中，不需要了解每一个质 点的运 动,仅需要研究质点系整体的运 动情况。 动力学普遍定理概述 对质点动力学问题： 建立质点运动微分方程求解。 对质点系动力学问题：理论上讲，n个质点列出3n个微分方 程， 联立求解它们即可。 从本章起, 将要讲述解答动力学问题的其它方法, 主要讨论 的是动力学普遍定理(包括动量定理、动量矩定理、动能定理及 由此推导出来的其它一些定理)
动力学 它们以简明的数学形式,表明两种量 种是同运动 特征相关的量(动量、动量矩、动能等),一种是同力相关的量 (冲量、力矩、功等)——之间的关系,从不同侧面对物体的 机械运动进行深入的研究。在一定条件下,用这些定理来解答 动力学问题非常方便简捷。 本章将研究质点和质点系的动量定理,建立了动量的改变 与力的冲量之间的关系,并研究质点系动量定理的另一重要形 式质心运动定理
它们以简明的数学形式， 表明两种量 —— 一种是同运动 特征相关的量(动量、动量矩、动能等)，一种是同力相关的量 (冲量、力 矩、功等) —— 之间的关系，从不同侧面对物体的 机械运动进行深入的研究。在一定条件下，用这些定理来解答 动力学问题非常方便简捷 。 本章将研究质点和质点系的动量定理，建立了动量的改变 与力的冲量之间的关系，并研究质点系动量定理的另一重要形 式——质心运动定理
动力学 §12-1质点系的质心·内力与外力 一.质点系的质心 1.定义 质点系的质量中心称为质心 是表征质点系质量分布情况的 个重要概念 2.质心C点的坐标公式 ∑m2 M MF=∑m 设=x+y+ck,则 ∑m2 M VC= ∑my2 ∑m(M=∑m) M
一.质点系的质心 ⒈定义 质点系的质量中心称为质心。 是表征质点系质量分布情况的一 个重要概念。 §12-1 质点系的质心 内力与外力 ( = ) M mi = C = i i i i C Mr m r M m r r 或 设rc = xc i + yc j + zc k ,则 M m z z M m y y M m x x i i C i i C i i C = , = , = ⒉ 质心 C 点的坐标公式
动力学 在均匀重力场中,质点系的质心与重心的位置重合。可采 用静力学中确定重心的各种方法来确定质心的位置。但是,质 心与重心是两个不同的概念,质心比重心具有更加广泛的力学 意义 二、质点系的内力与外力 1.外力 所考察的质点系以外的物体作用于该质点系中各质点的力。 2.内力 所考察的质点系内各质点之间相互作用的力。 对整个质点系来讲,内力系的主矢恒等于零,内力系对任 点(或轴)的主矩恒等于零。即: ∑F=0,∑0(F0)=0或∑m、(F0)=0
在均匀重力场中，质点系的质心与重心的位置重合。可采 用静力学中确定重心的各种方法来确定质心的位置。但是，质 心与重心是两个不同的概念，质心比重心具有更加广泛的力学 意义。 所考察的质点系内各质点之间相互作用的力。 对整个质点系来讲，内力系的主矢恒等于零，内力系对任一 点（或轴）的主矩恒等于零。即： Fi (i) =0; mO (Fi (i) )=0 或 mx (Fi (i) )=0。 二、质点系的内力与外力 所考察的质点系以外的物体作用于该质点系中各质点的力。 ⒈ 外力 ⒉ 内力
动力学 §12-2动量与冲量 动量 1.质点的动量 质点的质量与速度的乘积mv称为质点的动量。是瞬时矢 量,方向与ν相同。单位是kg·m/s。 动量是度量物体机械运动强弱程度的一个物理量。 例:枪弹:速度大,质量小;船:速度小,质量大 2.质点系的动量 质点系中所有各质点的动量的矢量和 p=>mv= Mv (∑mF=Mc求导)
§12-2 动量与冲量 一、动量 1.质点的动量 质点的质量与速度的乘积 mv 称为质点的动量。 是瞬时矢 量，方向与v 相同。单位是kgm/s。 动量是度量物体机械运动强弱程度的一个物理量。 例：枪弹：速度大，质量小； 船：速度小，质量大。 2.质点系的动量 质点系中所有各质点的动量的矢量和。 i i C p =m v = Mv ( 求导) i i C m r =Mr
动力学 质点系的质量与其质心速度的乘积就等于质点系的动量。则 Px=Mc=Mic, py=M,=Mic, P= MC=MEC 3.刚体系统的动量 设第i个刚体mVa则整个系统: p=∑ma m v Ppp ∑∑∑ mivo ∑∑∑ mm miNi m.2
x Cx C y Cy C z Cz C p = Mv = Mx , p = Mv = My , p = Mv = Mz ⒊ 刚体系统的动量 设第i个刚体 mi vci 则整个系统： = i Ci p m v = = = = = = z i Ciz i Ci y i Ciy i Ci x i Cix i Ci p m v m z p m v m y p m v m x 质点系的质量与其质心速度的乘积就等于质点系的动量。则：
动力学 例1曲柄连杆机构的曲柄O4以匀转 动,设OA=AB=1,曲柄OA及连杆AB都 是匀质杆,质量各为m,滑块B的质量也 A 为m。求当g=45时系统的动量。 解:曲柄OA:m21 B 滑块B:mv3=√2mo 7077 连杆AB:m:ve222loB-2lo(P为速度瞬心, p=mvc +mvc2 t mvc3 P AB Pr=-mvci sin -mvc2 cos 6-mvc3 √5 C-lo sin 45--lo cos 0-v2lo) 2 2 3 m0(-- 222√10 2)=-2√2mlo
解: 曲柄OA： 滑块B： 连杆AB： [例1] 曲柄连杆机构的曲柄OA以匀 转 动，设OA=AB=l ,曲柄OA及连杆AB都 是匀质杆, 质量各为m , 滑块B的质量也 为m。求当 = 45º时系统的动量。 C1 C2 C3 p = mv + mv + mv m vC ml 2 1 1 = m vC ml AB ml 2 5 2 5 2 = = m vC3 = 2ml m l m l m l l l p m v m v m v x C C C 2 2 2 10 3 2 5 2 2 2 1 2 2 5 45 2 1 1 2 3 = − − − = − = − − − = − − − ( ) [( sin cos ) sin cos PC = l;AB = 2 5 2 （ P为速度瞬心， )
动力学 P=mvc cos op+mvc sin e P AB m(lo cos 45+losin 0) 2 √2 mlo( mmo B 222√102 777 34 nlo 2 cosa- pr 4 COS B
ml ml m l l p mv mv y C C 2 2 10 1 2 5 2 2 2 1 2 5 45 2 1 1 2 = + = = + = + ( ) ( cos sin ) cos sin p px py ml 2 2 2 34 = + = 17 1 17 4 = = − = = p p p px y cos , cos
动力学 冲量 力与其作用时间的乘积称为力的冲量,冲量表示力在其作 用时间内对物体作用的累积效应的度量。例如,推动车子时, 较大的力作用较短的时间,与较小的力作用较长的时间,可得 到同样的总效应 1.常力F的冲量=F(2-t) 2.变力F的冲量(包括大小和方向的变化) 元冲量:a=F 冲量:1=2Fat
⒉ 变力 的冲量（包括大小和方向的变化） 元冲量: 冲量： F dI = Fdt = 2 1 t t I Fdt 二．冲量 力与其作用时间的乘积称为力的冲量，冲量表示力在其作 用时间内对物体作用的累积效应的度量。例如，推动车子时， 较大的力作用较短的时间，与较小的力作用较长的时间，可得 到同样的总效应。 ( ) 2 1 ⒈ 常力 F 的冲量 I = F t −t