第三章 力矩与平面力偶理论
第三章 力矩与平面力偶理论
平面中力矩的概念 3.1 、力对点的矩的定义 B)力使刚体绕O点转动的强弱 力矩的概令 程度的物理量称为力对O点 dA 的矩。用m(F)表示,其定 义式为:m、(F)=土Fl 与其中:点O称为矩心,d称为力臂。力矩的正负号表 示力矩的转向,规定力使物体绕矩心逆时针转动取 正,反之取负。力矩的单位为:牛顿·米(Nm)。 由图可知:m,(F)=±△OA的面积
力 矩 的 概 念 与 计 算 一、平面中力矩的概念 3.1 o A B d F 一、力对点的矩的定义 力使刚体绕O点转动的强弱 程度的物理量称为力对O点 的矩。用 m (F) o 表示，其定 义式为： mo (F) = Fd 其中：点O称为矩心，d称为力臂。力矩的正负号表 示力矩的转向，规定力使物体绕矩心逆时针转动取 正，反之取负。力矩的单位为：牛顿 米（N m ）。 由图可知： mo (F) = OAB 的面积
平面中力矩的概念 3.1 二、平面汇交力系的合力矩定理 力定理:平面汇交力系的合力对平面内任意 点的矩等于各个分力对同一点之矩的代 矩的概念与计算 数和。即 (R)=∑mn(F) 利用合力矩定理,可以 F 写出力对坐标原点的矩的解 X 析表达式,即 m(F=m(n+m(X)=rx-Xy
3.1 力 矩 的 概 念 与 计 算 一、平面中力矩的概念 二、平面汇交力系的合力矩定理 定理：平面汇交力系的合力对平面内任意 一点的矩等于各个分力对同一点之矩的代 数和。即 ( ) ( ) mo R mo Fi = o x x y y F X A Y 利用合力矩定理，可以 写出力对坐标原点的矩的解 析表达式，即 m F m Y m X Y x X y o o o ( ) = ( ) + ( ) = −
例1 3.1 支架如图所示,已知AB=AC=30cmCD=15cm F=00N,a=30 力矩的概念 求F对A、B、C三点之矩 D 解:由定义 B m4(F)=-Fd4=-F·ADsn300=-225N·m m(f)=-Fdc=-F CD sin 30=-75N.m 与计算 由合力矩定理 m1(F)=-Fx·AB-FyAD= F·cos30°·AB-F·sin30°·AD=-4848N·m
3.1 力 矩 的 概 念 与 计 算 例1 支架如图所示，已知AB=AC=30cm,CD=15cm, F=100N, = 30 求 F 对A、B、C三点之矩。 F A B C D A d C d 解：由定义 m F F d F C D N m m F F d F AD N m C C A A = − = − = − = − = − = − ( ) sin 30 7 5 ( ) sin 30 22 5 由合力矩定理 F AB F AD N m mB F Fx AB Fy AD − = − = − − = cos30 sin 30 48.48 ( )
例2 如图所示,求F对A点的矩 3.1 解一:应用合力矩定理 a. m,(F)=m(F)+m,(F 力矩的概令 Fcosa(r-r cos a)+ Fsin ar sin a Fr cosa+ Fr(sin a+cos a) F(r-r cos a) 与解二:田定义OB=FAB=2cosa 计 cos a d=AB cos a=n2 cosa-M m(F)=-Fd= F(r-r cos a)
3.1 力 矩 的 概 念 与 计 算 例2 O x y F A 1 r 2 r B d 如图所示，求F对A点的矩。 解一：应用合力矩定理 ( cos ) cos (sin cos ) cos ( cos ) sin sin ( ) ( ) ( ) 1 2 2 2 2 1 2 1 1 F r r Fr Fr F r r F r mA F mA Fx mA Fy = − = − + + = − − + = + 解二：由定义 cos 1 r OB = cos 1 2 r AB = r − 2 1 d = ABcos = r cos −r ( ) ( cos ) mA F = −Fd = F r1 − r2
力偶的概念 在力学中,把等值、 3.2 F 反向、平行而不共线的 力偶及 两个具有特殊关系的力 作为一个整体,称为力 偶。以(F,F)表示。 其两力作用线所决定的平面称为力偶的作用面, 性两力作用线间的距离称为力偶臂。 质 力偶是具有特殊关系的力组成的力系, 虽然力偶中每个力仍具有一般的力的性质, 但作为一个整体又有它本身的特性,现归 纳如下:
3.2 力 偶 及 其 性 质 一、力偶的概念 d F F 在力学中，把等值、 反向、平行而不共线的 两个具有特殊关系的力 作为一个整体，称为力 偶。以 (F, F) 表示。 两力作用线所决定的平面称为力偶的作用面， 两力作用线间的距离称为力偶臂。 力偶是具有特殊关系的力组成的力系， 虽然力偶中每个力仍具有一般的力的性质， 但作为一个整体又有它本身的特性，现归 纳如下：
、力偶的性质 1、力偶既没有合力,本身又不平衡,是 3.2 个基本的力学量。 力 力偶既然是一个无合力的非平衡力系。因此: 偶力偶不能与一个力等效,也不能与一个力平衡 及力偶只能与力偶平衡。 力偶对刚体的作用效果不仅与力偶中两力的 其大小有关,而且与力偶臂有关,将力偶中力的大 性小和力偶臂的乘积冠以适当的正负号称为力偶矩, 质用m表示,即 m=±Fd 正负号表示力偶的转向。规定逆时针取正;顺时 针取负。单位同力矩的单位
3.2 力 偶 及 其 性 质 一、力偶的性质 1、力偶既没有合力，本身又不平衡，是 一个基本的力学量。 力偶既然是一个无合力的非平衡力系。因此： 力偶不能与一个力等效，也不能与一个力平衡。 力偶只能与力偶平衡。 力偶对刚体的作用效果不仅与力偶中两力的 大小有关，而且与力偶臂有关，将力偶中力的大 小和力偶臂的乘积冠以适当的正负号称为力偶矩， 用m表示，即 m = Fd 正负号表示力偶的转向。规定逆时针取正；顺时 针取负。单位同力矩的单位
力偶的性质 2、只要保持力偶矩不变,力偶可以改变 3.2 力的大小和相应的力偶臂的大小,同时力偶 可在其作用面内任意移转,而不改变其对网 力体的作用。此性质是力偶系合成的基础。 偶及其性 由此可见,两力偶的等效条件是力偶矩 相等 在平面问题中,决定力偶作用效果的因 素为:矩的大小和转向。所以力偶矩是代数 质量。 力偶可表示为:(mm
3.2 力 偶 及 其 性 质 一、力偶的性质 2、只要保持力偶矩不变，力偶可以改变 力的大小和相应的力偶臂的大小，同时力偶 可在其作用面内任意移转，而不改变其对刚 体的作用。此性质是力偶系合成的基础。 由此可见，两力偶的等效条件是力偶矩 相等。 在平面问题中，决定力偶作用效果的因 素为：矩的大小和转向。所以力偶矩是代数 量。 力偶可表示为： m m
力偶的性质 3.2 3、力偶在作用面内任一轴上的投 力影均为零 偶及其性质 4、力偶对其作用面内任一点之矩 及与矩心的位置无关,恒等于力偶矩
3.2 力 偶 及 其 性 质 一、力偶的性质 3、力偶在作用面内任一轴上的投 影均为零。 4、力偶对其作用面内任一点之矩 与矩心的位置无关，恒等于力偶矩
平面力偶系的合成 3.3 作用面共面的力偶系称为平面力偶系 m, m2 分< A B A bR 平面力偶系的合成一 m=Fid F2d m3=-Fid R=B1+F2-F3R=-(F+F2-F3) M=R=(F1+F2-F3)d=m1+m2+m 平推广得:M=m1+m2+…+mn=∑m 衡体论:平面力偶系合成的结果还是一个力偶(称 为合力偶),合力偶矩等于力偶系中各分力偶矩 的代数和
3.3 平 面 力 偶 系 的 合 成 与 平 衡 一、平面力偶系的合成 作用面共面的力偶系称为平面力偶系。 m1 m2 m3 A B F1 F1 F2 F2 F3 F3 d d R R A B m1 = F1 d m2 = F2 d m3 = −F3 d R = F1 + F2 − F3 ( ) R = − F1 + F2 − F3 1 2 3 1 2 3 M = Rd = (F + F − F )d = m + m + m 推广得： M = m1 + m2 ++ mn = m 结论：平面力偶系合成的结果还是一个力偶（称 为合力偶），合力偶矩等于力偶系中各分力偶矩 的代数和