第二章汇交力系 汇交力系是指: 作用在质点或刚体上的所有力的作用线的延长线汇交与同一点。 汇交力系分类 (a)平面共点力系:作用在质点或刚体上所有力的作用线在同一平面。且作用 在同一点上 (b)空间共点力系:至少有三个力的作用线非共面。但所有力作用在同一点上。 (c)平面汇交力系:作用在质点或刚体上所有力的作用线在同一平面。但作用 点不在同一点,而作用线的延长汇交于同一点。 (d)空间汇交力系:至少有三个力的作用线非共面。且作用点不在同一点, 作用线的延长线汇交于同一点。 本章主要分析汇交力系的合成和平衡。 合成 将汇交力系情况下作用在质点或刚体上的力作为可沿其作用线自由移动的滑移 矢量(将力矢量作为滑移矢量),利用矢量加法运算法则所得汇交点处和滑移矢量的 过程称为汇交力系的合成 汇交力系的合成所确定的和滑移矢量不是一般合力,因为滑移矢量没有确定的 起始点,而作为合力的力,按力的三要素,应该具有确定的作用点。即力作为矢量, 必须是具有确定起始点的特殊矢量。汇交力系中作为滑移矢量所有力的矢量和称为 主矢(量)。虽然汇交力系一般不存在合力的概念,只有主矢(量)的概念。但对共
1 第二章 汇交力系 汇交力系是指： 作用在质点或刚体上的所有力的作用线的延长线汇交与同一点。 汇交力系分类： （a）平面共点力系：作用在质点或刚体上所有力的作用线在同一平面。且作用 在同一点上。 （b）空间共点力系：至少有三个力的作用线非共面。但所有力作用在同一点上。 （c）平面汇交力系：作用在质点或刚体上所有力的作用线在同一平面。但作用 点不在同一点，而作用线的延长汇交于同一点。 （d）空间汇交力系：至少有三个力的作用线非共面。且作用点不在同一点，而 作用线的延长线汇交于同一点。 本章主要分析汇交力系的合成和平衡。 合成： 将汇交力系情况下作用在质点或刚体上的力作为可沿其作用线自由移动的滑移 矢量（将力矢量作为滑移矢量），利用矢量加法运算法则所得汇交点处和滑移矢量的 过程称为汇交力系的合成。 汇交力系的合成所确定的和滑移矢量不是一般合力，因为滑移矢量没有确定的 起始点，而作为合力的力，按力的三要素，应该具有确定的作用点。即力作为矢量， 必须是具有确定起始点的特殊矢量。汇交力系中作为滑移矢量所有力的矢量和称为 主矢（量）。虽然汇交力系一般不存在合力的概念，只有主矢（量）的概念。但对共
点力系,由于所有作用在质点或刚体上的力作用在同一点,由平行四边形法则,将 作用在同一点的所有力每两力合成一个合力(通过平行四边形法则),最终可得到 个合力(即共点力系存在合力),且主矢(量)就等于合力。 合成的实质: 对于非共点的汇交力系,合成实质上是对刚体上作用所有力,应用力的可传递 性和平行四边形法则得到的与原刚体上作用非共点汇交力系力学效应等效的用于力 学分析研究的模型。而共点力系的合成实质上是变形体上所有力应用平行四边形法 则得到的与原变形体上作用共点力系学效应等效的用于力学分析研究的模型。 交力系的平衡 根据§1-1中物体(刚体)相对于给定惯性系(体)静止或作均速直线运动的平 衡(状态)的定义,实质上是对给定惯性参考系(体),物体上所受其它物体作用的 力为零。或更确切地说对于给定的惯性参考系(体)中的物体(刚体),若无其它物 体对其的作用,则该物体(刚体)处于平衡状态。 显然,物体(刚体)的平衡实质上就是牛顿第一定律(惯性定律)的自然结果。 值得特别指出的是在实际工程问题(尤其是理论力学所分析研究的问题),所涉及的 惯性参考系(体)就取为地球。在后中所说的平衡状态所对应的惯性参考系(体) 都是指的地球,且习惯上不在每次提到平衡(状态)一词,都指明是相对地球惯用 性参考系(体)。另外在静力学问题中所说的平衡状态通常是物体(刚体)相对地球 惯性参考系(体)静止。 2-1汇交力系合成的几何法(力多边形法则
2 点力系，由于所有作用在质点或刚体上的力作用在同一点，由平行四边形法则，将 作用在同一点的所有力每两力合成一个合力（通过平行四边形法则），最终可得到一 个合力（即共点力系存在合力），且主矢（量）就等于合力。 合成的实质： 对于非共点的汇交力系，合成实质上是对刚体上作用所有力，应用力的可传递 性和平行四边形法则得到的与原刚体上作用非共点汇交力系力学效应等效的用于力 学分析研究的模型。而共点力系的合成实质上是变形体上所有力应用平行四边形法 则得到的与原变形体上作用共点力系学效应等效的用于力学分析研究的模型。 汇交力系的平衡： 根据§1-1 中物体（刚体）相对于给定惯性系（体）静止或作均速直线运动的平 衡（状态）的定义，实质上是对给定惯性参考系（体），物体上所受其它物体作用的 力为零。或更确切地说对于给定的惯性参考系（体）中的物体（刚体），若无其它物 体对其的作用，则该物体（刚体）处于平衡状态。 显然，物体（刚体）的平衡实质上就是牛顿第一定律（惯性定律）的自然结果。 值得特别指出的是在实际工程问题（尤其是理论力学所分析研究的问题），所涉及的 惯性参考系（体）就取为地球。在后中所说的平衡状态所对应的惯性参考系（体） 都是指的地球，且习惯上不在每次提到平衡（状态）一词，都指明是相对地球惯用 性参考系（体）。另外在静力学问题中所说的平衡状态通常是物体（刚体）相对地球 惯性参考系（体）静止。 2-1 汇交力系合成的几何法（力多边形法则）
所谓汇交力系的几何法是指:利用几何的方法确定作用有汇交力系的刚体(或 共点力系的变形体)的主矢(或共点力系的合力)的方法 下面通过平面汇交力系的具体实例说明汇交、 力系几何法的基本过程和方法。 如图2-1所示,作用有F1、F2、F3、F4汇交 力系的刚体。首先作F1、F2、F3、F4的作用线的 延长线,确定汇交力系的汇交点A。如图2-1(a) 所示。然后在平面上任意选取一方便几何作图的 点O。将作用在刚体上的F1、F2、F3、F4依次按 自由矢量平行移动至首尾相接(F1的起点在O 鸟 对F1、F2应用平行四边形法则得矢量Fm(Fm代表 点)。得到平面折线 abcd。如图2-1(b)所示。 了F1、F2两个作用在刚体上的力的主矢量的大小和指 向)。作为矢量的F1、F2、FR1满足 FRI=FI+ F2 同理对矢量FR、F3应用平行四边形法则得F。且作 为矢量的FR=F1+F2、F3、FR满足 FR2= FR1+ F3=Fl+ F2+ F3 对矢量F、F4应用平行四边形法则得FR。且作为矢 量的FR=F1+F2+F3、FR满足: 图2-1 FR= FR+F4=FI+ F2+F3+ F4 显然当刚体上作用有n个汇交力F1,…,Fn时有
3 所谓汇交力系的几何法是指：利用几何的方法确定作用有汇交力系的刚体（或 共点力系的变形体）的主矢（或共点力系的合力）的方法。 下面通过平面汇交力系的具体实例说明汇交 力系几何法的基本过程和方法。 如图 2-1 所示，作用有 F1、F2、F3、F4汇交 力系的刚体。首先作 F1、F2、F3、F4的作用线的 延长线，确定汇交力系的汇交点 A。如图 2-1（a） 所示。然后在平面上任意选取一方便几何作图的 点 O。将作用在刚体上的 F1、F2、F3、F4依次按 自由矢量平行移动至首尾相接（F1 的起点在 O 点）。得到平面折线 oabcd。如图 2-1（b）所示。 对 F1、F2 应用平行四边形法则得矢量 FR1（FR1 代表 了 F1、F2 两个作用在刚体上的力的主矢量的大小和指 向）。作为矢量的 F1、F2、FR1 满足： FR1 = F1 + F2 同理对矢量 FR1、F3 应用平行四边形法则得 FR2。且作 为矢量的 FR1 = F1 + F2、F3、FR2 满足： FR2 = FR1 + F3 = F1 + F2 + F3 对矢量 FR2、F4 应用平行四边形法则得 FR 。且作为矢 量的 FR2 = F1 + F2 + F3、FR满足： 图 2-1 FR = FR2 + F4 = F1 + F2 + F3 + F4 显然当刚体上作用有 n 个汇交力 F1，…，Fn 时有 F4 F3 F2 F1 FR (a) A F1 F2 FR F3 F4 FR1 FR2 o a b c d (c) (b) d c b a o FR2 FR1 F4 F3 FR F2 F1
FB=F1+……+Fn F=>F (2-1) 最后将起点在O点的矢量FR平行移至刚体的汇交点A,得到作用在刚体上汇交力 系的汇交点上的F1、F2、F3、F4的主矢。如图2-1(a)所 图2-1(b)中多边形 oabcdo称为力多边形。主矢(量)是力多边形的封闭边 这种确定汇交力系的主矢(量)的几何法也称为力的多边形法则。通过对力的多边 形的几何分析(或直接测量)可以确定主矢(量)的大小和方位。 在确定图2-1(b)中力的多边形时,是对F1、F2、F3、F4依次按自由矢量平行 移动至首尾相接得到的。对于用几何法确定汇交力系的主矢(量),按不同的F1、 F2、F3、F次序,依次按自由矢量平行至移动首尾相接,所得的力多边形一般是不 相同的。如图2-1(c)是按F4、F1、F2、F3次序,按自由矢量平行移动至首尾相接 所得的力多边形。显然2-1(b)、图2-1(c)两图的力多边形不相同。但尽管所得力 的多边形不相同,其封闭边的主矢(量)是(作为自由矢量)完全相同的。这一性 质实际上是(2-1)式关于矢量加法的交换律。 对空间交汇力系,仍可接上述确定力的多边形,且主矢仍由(2-1)式确定。所 不同的是空间汇交力系几何法所确定的力多边形是空间折线多边形。由于空间折线 多边形的几何分析远比平面折线多边形困难,因此对空间汇交力系通常不使用几何 法确定其主矢(量)。 22汇交力系平衡的几何法 设刚体上作用n个作用线汇交与同一点的F1、…、Fn汇交力系 则该刚体平衡的充分必要条件为主矢(量)是零矢量。即 FR=F1+…+Fn=∑F=0 (2-2)
4 = + + = ∑ = ∑ = FR F F Fi F n i n 1 1 " （2-1） 最后将起点在 O 点的矢量 FR 平行移至刚体的汇交点 A，得到作用在刚体上汇交力 系的汇交点上的 F1、F2、F3、F4 的主矢。如图 2-1（a）所示。 图 2-1（b）中多边形 oabcdo 称为力多边形。主矢（量）是力多边形的封闭边。 这种确定汇交力系的主矢（量）的几何法也称为力的多边形法则。通过对力的多边 形的几何分析（或直接测量）可以确定主矢（量）的大小和方位。 在确定图 2-1（b）中力的多边形时，是对 F1、F2、F3、F4 依次按自由矢量平行 移动至首尾相接得到的。对于用几何法确定汇交力系的主矢（量），按不同的 F1、 F2、F3、F4 次序，依次按自由矢量平行至移动首尾相接，所得的力多边形一般是不 相同的。如图 2-1（c）是按 F4、F1、F2、F3 次序，按自由矢量平行移动至首尾相接 所得的力多边形。显然 2-1（b）、图 2-1（c）两图的力多边形不相同。但尽管所得力 的多边形不相同，其封闭边的主矢（量）是（作为自由矢量）完全相同的。这一性 质实际上是（2-1）式关于矢量加法的交换律。 对空间交汇力系，仍可接上述确定力的多边形，且主矢仍由（2-1）式确定。所 不同的是空间汇交力系几何法所确定的力多边形是空间折线多边形。由于空间折线 多边形的几何分析远比平面折线多边形困难，因此对空间汇交力系通常不使用几何 法确定其主矢（量）。 2-2 汇交力系平衡的几何法 设刚体上作用 n 个作用线汇交与同一点的 F1、…、Fn汇交力系。 则该刚体平衡的充分必要条件为主矢（量）是零矢量。即 0 FR = F1 +"+ Fn = ∑F = （2-2）
或者刚体上作用n个作用线汇交于同一点的F1、…、Fn汇交力系。则该刚体平衡的 几何充分必要条件为F1、…、Fn构成的力多边形为封闭的力多边形。 若刚体受F1、…、Fn汇交力系作用。则由力的合成法,确定在刚体上作用力学 效应等效的FR,而刚体的其它作用点上均未受到其它物体的作用。即刚体受FR的 作用时可以看作一个质点(刚体的大小、形状都不会影响的FR作用点,FR的作用 点仅由F1、…、Fn的作用线确定。因此可以将刚体看作是一质点。应当注意的是只 对FR的作用点这一性质时,刚体可以视为一个质点)。由牛顿第一定律(惯性定律), 质点当且仅当作用在其上的力为零(严格说无其它物体的作用时)处于平衡状态。 F1+…+Fn=0 刚体处于平衡状态。 刚体处于平衡状态时 FR=F1+…+Fn=0 在应用(2-2)式时应得到注意 1.刚体上作用的F1、…、Fn为汇交力系时(2-2)式成立。 2.变形体上作用的F1、…、Fn为共点力系时(2-2)式成立。 3.对其它情况(2-2)式不是平衡的充分必要条件 4.由(2-2)式可知对刚体上作用的汇交力系和变形体上作用的共点力系,其 力的多边形为封闭多边形 5.作用在同一刚体上的汇交力系和作用在同一变形体上的共点力系时(2-2) 式成立
5 或者刚体上作用 n 个作用线汇交于同一点的 F1、…、Fn 汇交力系。则该刚体平衡的 几何充分必要条件为 F1、…、Fn 构成的力多边形为封闭的力多边形。 证： 若刚体受 F1、…、Fn 汇交力系作用。则由力的合成法，确定在刚体上作用力学 效应等效的 FR ，而刚体的其它作用点上均未受到其它物体的作用。即刚体受 FR的 作用时可以看作一个质点（刚体的大小、形状都不会影响的 FR 作用点，FR 的作用 点仅由 F1、…、Fn 的作用线确定。因此可以将刚体看作是一质点。应当注意的是只 对 FR的作用点这一性质时，刚体可以视为一个质点）。由牛顿第一定律（惯性定律）， 质点当且仅当作用在其上的力为零（严格说无其它物体的作用时）处于平衡状态。 即 FR = F1 +"+ Fn = 0 刚体处于平衡状态。 刚体处于平衡状态时 FR = F1 +"+ Fn = 0 在应用（2-2）式时应得到注意： 1．刚体上作用的 F1、…、Fn 为汇交力系时（2-2）式成立。 2．变形体上作用的 F1、…、Fn 为共点力系时（2-2）式成立。 3．对其它情况（2-2）式不是平衡的充分必要条件。 4．由（2-2）式可知对刚体上作用的汇交力系和变形体上作用的共点力系，其 力的多边形为封闭多边形。 5．作用在同一刚体上的汇交力系和作用在同一变形体上的共点力系时（2-2） 式成立
例2-1图2-2所示托架。试求AB、AC刚性杆上所受的力;B、C固定铰座处的约 束反力 解:AB、AC均为二力构件(二力杆);B、C为固定铰支座;A为中间铰连接 托架、AB杆、AC杆处于平衡状态。由中间铰(将圆柱形销钉视为一个质点)的性 质,将中间铰的视为质点的圆柱形销钉与AB杆看作同一刚体。如图2-2(c)所示, 由几何法可确定 FICA=FACA=20kN F=10KN CA F=10KN IF=10KN Re (f) 图2 在确定了FC后,对AB杆A点的F和FAC4利用平行四边形法则得到作用在AB 杆A点的合力(共点力系F、FACA存在合力)如图2-2(b)所示 F+F 最后得AB杆上的受力为: A点:FBA;|FABA=173N;方向如图所
6 例 2-1 图 2-2 所示托架。试求 AB、AC 刚性杆上所受的力；B、C 固定铰座处的约 束反力。 解： AB、AC 均为二力构件（二力杆）；B、C 为固定铰支座；A 为中间铰连接。 托架、AB 杆、AC 杆处于平衡状态。由中间铰（将圆柱形销钉视为一个质点）的性 质，将中间铰的视为质点的圆柱形销钉与 AB 杆看作同一刚体。如图 2-2（c）所示， 由几何法可确定 FACA ′ = FACA ′ = 20kN 。 RC RB F ° 0 5 10(KN) RC (f) RB C F B A ° F =10KN (d) (e) FACA FACC A C (c) 0 5 10(KN) ° FABB FACA F ' F ' ACA FABB FABA F C B A F =10KN (a) (b) F =10KN ° B A C F 图 2-2 在确定了 FACA ′ 后，对 AB 杆 A 点的 F 和 FACA ′ 利用平行四边形法则得到作用在 AB 杆 A 点的合力（共点力系 F、 FACA ′ 存在合力）如图 2-2（b）所示。 FA A F FACA = + ′ B 最后得 AB 杆上的受力为： A 点： FABA； FABA = 17.3kN ； 方向如图所示
BE: FABB: Fx8B=17.3KN: FBB=-FABA 对AC杆,在A点的FA与AB杆的FA为作用力和反作用力。因此 F为固定铰支座C的约束反力(固定铰支座在C点对AC杆作用力的抽象表示) 由于AC杆只在A、C两点受力,为二力构件。有二力构件(二力杆)的性质有 最后得AC杆上的受力为 A点:Fc:|FAl=20N;方向如图所示 B点:Fc;Fx 20kN: F 为确定C、B处的约東反力。首先解除约束代之以约束反力。画出主动力的受 力图如图2-2(e)所示。RB、RC、F构成汇交力系。由中间铰连接的AB、AC杆共 同构成的托架处与平衡状态。由平衡几何条件刚体(当然也可将中间铰视为质点的 圆柱形销钉与AC杆看作同一刚体),将作用在A点的集中力(点接触)视为作用在 AB杆上的A点(当然也可将作用在A点的集中力视为作用在AC杆的A点)。其 AB、AC杆的受力如图2-2(b)、图2-2(d)所示。由于AB、AC杆处于平衡状态。 对AB杆FBB、F=10kN(向下)、FCA为作用在AB杆上A、B两点的力,由 AB杆为二力构件(二力杆)的特点可知FAB的作用线在A、B两点的连线上。同 时FAB又是固定铰支座在B点的约束反力(固定铰支座在B点时AB杆作用的抽 象表示)。F!C是AC杆对AB杆在A点约束反力,且FCA与FAC4为作用力和反 作用力。即FCA=FCA。F为主动力。FAA、F、FACA构成作用在AB杆上的汇 7
7 B 点： FABB ； FABB = 17.3kN ； FABB = −FABA。 对 AC 杆，在 A 点的 FACA 与 AB 杆的 FACA ′ 为作用力和反作用力。因此 FACA FACA = − ′ FACC 为固定铰支座 C 的约束反力（固定铰支座在 C 点对 AC 杆作用力的抽象表示）。 由于 AC 杆只在 A、C 两点受力，为二力构件。有二力构件（二力杆）的性质有 FACC FACA FACA = − = ′ 最后得 AC 杆上的受力为： A 点： FACA ； FACA = 20kN ； 方向如图所示。 B 点： FACC ； FACC = 20kN ； FACC = −FACA 。 为确定 C、B 处的约束反力。首先解除约束代之以约束反力。画出主动力的受 力图如图 2-2（e）所示。RB、RC、F 构成汇交力系。由中间铰连接的 AB、AC 杆共 同构成的托架处与平衡状态。由平衡几何条件刚体（当然也可将中间铰视为质点的 圆柱形销钉与 AC 杆看作同一刚体），将作用在 A 点的集中力（点接触）视为作用在 AB 杆上的 A 点（当然也可将作用在 A 点的集中力视为作用在 AC 杆的 A 点）。其 AB、AC 杆的受力如图 2-2（b）、图 2-2（d）所示。由于 AB、AC 杆处于平衡状态。 对 AB 杆 FABB 、 F = 10 kN（向下）、 FACA ′ 为作用在 AB 杆上 A、B 两点的力，由 AB 杆为二力构件（二力杆）的特点可知 FABB 的作用线在 A、B 两点的连线上。同 时 FABB 又是固定铰支座在 B 点的约束反力（固定铰支座在 B 点时 AB 杆作用的抽 象表示）。 FACA ′ 是 AC 杆对 AB 杆在 A 点约束反力，且 FACA ′ 与 FACA 为作用力和反 作用力。即 FACA = FACA ′ 。F 为主动力。 FABA、F、 FACA ′ 构成作用在 AB 杆上的汇
交力系,且是平行的汇交力小。由汇交力系的平衡几何条件中,作FB、F、F!CA 的力多边形,如图2-2(c)所示。由直角三角形可解得 Fc|=Fc=√3F=173N FABB= FuBB=2F=20kN 也可直接由图中按给定比例量得 Fica= FACA=17.4kN 得力多边形如图2-2(f所示。对图2-2(f所示三角形求解得约束反力为 B点:RB:|RB|=173N;方向如图所示 R:Rl|=20kN:方向如图所示。 23汇交力系合成与平衡的解析法 力的合成与平衡(不仅限于汇交力系)解析法基于矢量的线性表示的坐标及矢 量的投影。为此首先给出坐标与投影两个概念。 矢量的坐标表示: 对n维矢量空间,若给定的n个矢量之间 a1a1+…+anan=0 (2-3) 只有当a1=…=an=0时成立,则a1、…、an线性无关。而任意n维矢量空间 的矢量a都有 a=a1a1+……+ana
8 交力系，且是平行的汇交力小。由汇交力系的平衡几何条件中，作 FABB 、F、FACA ′ 的力多边形，如图 2-2（c）所示。由直角三角形可解得： FACA ′ = FACA = 3F = 17.3kN FABB ′ = FABB = 2F = 20kN 也可直接由图中按给定比例量得： FACA ′ = FACA = 17.4kN 得力多边形如图 2-2（f）所示。对图 2-2（f）所示三角形求解得约束反力为： B 点： RB ； RB = 17.3kN ； 方向如图所示。 C 点： RC ； RC = 20kN ；方向如图所示。 2-3 汇交力系合成与平衡的解析法 力的合成与平衡（不仅限于汇交力系）解析法基于矢量的线性表示的坐标及矢 量的投影。为此首先给出坐标与投影两个概念。 矢量的坐标表示： 对 n 维矢量空间，若给定的 n 个矢量之间 α1a1 +"+α nan = 0 （2-3） 只有当α1 = " = α n = 0 时成立，则 1 a 、…、an 线性无关。而任意 n 维矢量空间 的矢量a 都有 a = α1a1 +"+α n an
式中, 不全为零。则 a=a1a1+…+ann (2-4) 称为a的一个a1、…、an线性表示。a1、…、an称为n维矢量空间中的一组基 底。而n元组(a1、…、an)称a在基底a1、…、an上的一个坐标表示。或称 为a的坐标 对于平面情况(二维矢量空间,n=2)。如图2-3。取任意二个非共线矢量a1、 a2。由矢量与数量的乘积性质 a1a1+a2a2=0 (a1,a2)=(2,3) 显然由于a1≠0,a2≠0。上式只有 当a1=0,a2=0时才成立。因此 a1、a2可以作为平面矢量的一组基 底。《矢量与数量的乘法表示保持矢量的 图2-3 方向不变,矢量的模为原矢量模的数量乘积所得的新矢量》。任意矢量b按平行四 边形矢量加法运算法则《这里并未用平行四边形法则一词,因为在理论力学中, 平行四边形法则特指静力学中的力的加法法则。为了避免力的加法法则,对矢量 的加法法则称为平行四边形矢量加法运算法则》。有 b=a1a1+a2a2=2a1+3a2 式中,a1=2,a2=3称为矢量b在平面矢量空间的(一组)基底a1、a2上的 线性表示系数。或称为b(在基底a1、a2上的)坐标。也用
9 式中，α1、…、α n 不全为零。则 a = α1a1 +"+α n an （2-4） 称为a 的一个 1 a 、…、an 线性表示。 1 a 、…、an 称为 n 维矢量空间中的一组基 底。而 n 元组（α1、…、α n ）称a 在基底 1 a 、…、an 上的一个坐标表示。或称 为a 的坐标。 对于平面情况（二维矢量空间，n = 2）。如图 2-3。取任意二个非共线矢量 1 a 、 2 a 。由矢量与数量的乘积性质 + = 0 1 1 2 2 α a α a 显然由于 0 a1 ≠ ， 0 a2 ≠ 。上式只有 当 0 α1 = ， 0 α 2 = 时才成立。因此 1 a 、 2 a 可以作为平面矢量的一组基 底。《矢量与数量的乘法表示保持矢量的 图 2-3 方向不变，矢量的模为原矢量模的数量乘积所得的新矢量》。任意矢量 b 按平行四 边形矢量加法运算法则《这里并未用平行四边形法则一词，因为在理论力学中， 平行四边形法则特指静力学中的力的加法法则。为了避免力的加法法则，对矢量 的加法法则称为平行四边形矢量加法运算法则》。有： 1 1 2 2 1 2 b = α a +α a = 2a + 3a 式中， 2 α1 = ， 3 α 2 = 称为矢量 b 在平面矢量空间的（一组）基底 1 a 、 2 a 上的 线性表示系数。或称为 b（在基底 1 a 、 2 a 上的）坐标。也用 ( , ）=（2,3） 1 2 b a2 3 2 1 1 2 a1
(a1,a2)=(2,3) 的二元数组表示。 对于空间情况(三维矢量空间,n=3)。如图24。取任意非共面三矢量a1 a2、a3。由矢量与数量的乘积性质 a1a1+a2a2+a3a3=0 (aa, as) 3,2;4 显然由于a1≠0、a2≠0 a3≠0。上式只有当a1=0、 a2=0、a3=0时才成立。 因此a1、a2、a3可以作为矢 量空间的一组基底。任意矢量 b接平行四边形矢量加法运算 法则(在空间的几何表示中为 平行六面体)有: b=a1a1+a2a2+a3a3=3a1+2a2+4a3 式中,a1=3、a2=2、a3=4称为矢量b在矢量空间的(一组)基底a1、a2 a3上的线性表示系数。或称为(在基底a1、a2、a3上的)坐标。也用 的三元数组表示。 应当注意的是在任意矢量用基底表示的定义中,并未要求各基底矢量具有相 同的长度,也未要求基底矢量必须具有单位长度。对平面或空间的情况,若限制
10 ( ) , (2, 3) α1 α 2 = 的二元数组表示。 对于空间情况（三维矢量空间，n = 3）。如图 2-4。取任意非共面三矢量 1 a 、 2 a 、a3 。由矢量与数量的乘积性质 α1a1 +α 2a2 +α 3a3 = 0 显然由于 0 a1 ≠ 、 0 a2 ≠ 、 a3 ≠ 0 。上式只有当 0 α1 = 、 0 α 2 = 、α 3 = 0 时才成立。 因此 1 a 、 2 a 、a3 可以作为矢 量空间的一组基底。任意矢量 b 接平行四边形矢量加法运算 法则（在空间的几何表示中为 平行六面体）有： 图 2-4 b = α1a1 +α 2a2 +α 3a3 = 3a1 + 2a2 + 4a3 式中， 3 α1 = 、 2 α 2 = 、α 3 = 4称为矢量 b 在矢量空间的（一组）基底 1 a 、 2 a 、 a3 上的线性表示系数。或称为（在基底 1 a 、 2 a 、a3 上的）坐标。也用 ( ) , , (3, 2, 4) α1 α 2 α 3 = 的三元数组表示。 应当注意的是在任意矢量用基底表示的定义中，并未要求各基底矢量具有相 同的长度，也未要求基底矢量必须具有单位长度。对平面或空间的情况，若限制 1 1 1 2 a 3 1 a a2 3 2 (,,） =（3,2,4） 1 2 b 4 3 2 3