第十三章 动量矩定理
第十三章 动量矩定理
§12-1转动惯量 定义 ∑mr2 若刚体的质量是连续分布,则J=m7m 刚体的转动惯量是刚体对某轴转动惯性大小的度量,它的 大小表现了刚体转动状态改变的难易程度。 转动惯量恒为正值,国际单位制中单位kgm2。 转动惯量的计算 1.积分法(具有规则几何形状的均匀刚体可采用)
§12-1 转动惯量 一．定义 = 2 z i i J m r Jz = m r dm2 刚体的转动惯量是刚体对某轴转动惯性大小的度量，它的 大小表现了刚体转动状态改变的难易程度。 转动惯量恒为正值，国际单位制中单位 kg·m2 。 若刚体的质量是连续分布，则 二．转动惯量的计算 １．积分法（具有规则几何形状的均匀刚体可采用）
[例1匀质细直杆长为/,质量为m。 求:对z轴的转动惯量J 对z′轴的转动惯量J,。 解 O J2=2 dx n d 2 12 2 3 2.回转半径 由=Vm所定义的长度2称为刚体对z轴的回转半径 2
[例1] 匀质细直杆长为l ,质量为m 。 求： 对z轴的转动惯量 ； 对z' 轴的转动惯量 。 2 2 2 2 12 1 dx ml l m J x l z = l = − 2 0 2 3 1 dx ml l m J x l z ' = = 解： 2. 回转半径 由 所定义的长度 称为刚体对z 轴的回转半径。 m Jz = z 2 z m z J = z J z' J
对于均质刚体,p仅与几何形状有关,与密度无关。对 于几何形状相同而材料不同(密度不同)的均质刚体,其回 转半径是相同的。 在机械工程设计手册中,可以查阅到简单几何形状或已 标准化的零件的转动惯量和回转半径。书中列出几种常见均质 刚体的和p,以供参考 3.平行移轴定理 同一个刚体对不同轴的转动惯量一般是不相同的 (1)定理J=J+md 刚体对某轴的转动惯量等于刚体对通过质心且与该轴平行 的轴的转动惯量,加上刚体的质量与两轴间距离的平方之乘积
在机械工程设计手册中，可以查阅到简单几何形状或已 标准化的零件的转动惯量和回转半径。书中列出几种常见均质 刚体的 Iz 和 z ，以供参考。 2 J J md z' = zC + 刚体对某轴的转动惯量等于刚体对通过质心且与该轴平行 的轴的转动惯量，加上刚体的质量与两轴间距离的平方之乘积。 同一个刚体对不同轴的转动惯量一般是不相同的。 ⑴ 定理 3. 平行移轴定理 对于均质刚体， 仅与几何形状有关，与密度无关。对 于几何形状相同而材料不同（密度不同）的均质刚体，其回 转半径是相同的。 z
(2)证明 设质量为m的刚体,质心为C, Jc=∑m2=∑m(x2+y2)=∑m2=∑m(x2+y x=x, y=yi+d ∑mx2+(y1+)2 y(2 ∑m2(x2+y2)+(∑m1)d2 +2a∑m2y ∑m,=m,∑my=m=0 y +md 刚体对通过质心轴的转动惯量具有最小值
⑵ 证明 设质量为m的刚体，质心为C， = = ( + ) 2 2 2 zC i i i i i J m r m x y = ' = ( ' + ' ) ' 2 2 2 z i i i i i J m r m x y = + + = = + [ ( ) ] ' , ' ' 2 2 J m x y d x x y y d z i i i i i i i + = + + i i i i i i d m y m x y m d 2 ( ) ( ) 2 2 2 2 0 J J md m m m y my z z C i i i C = + = = = , 刚体对通过质心轴的转动惯量具有最小值
例如,对于例1中均质细杆对z′轴的转动惯量为 J2=J2+m( m2+1m,n1 m 212 3 t-2 dx=-ml O xydx ok ydx 3 4.计算转动惯量的组合法 当物体由几个规则几何形状的物体组成时,可先计算每 部分(物体)的转动惯量,然后再加起来就是整个物体的转动惯量。 若物体有空心部分,要把此部分的转动惯量视为负值来处理
2 2 2 2 3 1 4 1 12 1 2 m l m l m l l Jz = Jz + m( ) = + = 2 2 2 2 12 1 dx ml l m J x l z = l = 2 0 2 3 1 dx ml l m J x l z ' = = 当物体由几个规则几何形状的物体组成时，可先计算每一 部分(物体)的转动惯量, 然后再加起来就是整个物体的转动惯量。 若物体有空心部分, 要把此部分的转动惯量视为负值来处理。 4．计算转动惯量的组合法 例如，对于例1中均质细杆对 z' 轴的转动惯量为
例2钟摆:均质直杆m12l; 均质圆盘:m2,R。求o。 解 0-0杆00盘 12 R2+m2(+R)2 o C 3m212+m2(3R2+212+4R) 2R 「例3提升装置中,轮A、B的重量 B 分别为P1、P2,半径分别为r1 可视为均质圆盘;物体C的重 2 量为P3;轮A上作用常力矩M1 求物体C上升的加速度
O O杆 O盘 J = J + J 2 2 2 2 2 1 ( ) 2 1 3 1 = m l + m R +m l+R (3 2 4 ) 2 1 3 1 2 2 2 2 1 = m l + m R + l + lR 解： [例2] 钟摆： 均质直杆m1 , l ； 均质圆盘：m2 , R 。 求 IO。 [例3] 提升装置中，轮A、B的重量 分别为P1 、 P2 ,半径分别为 r1 、 r2 , 可视为均质圆盘; 物体C 的重 量为P3 ; 轮A上作用常力矩M1 。 求 物体C上升的加速度
「例3]提升装置中,轮A、B的重量分别为P1、P2,半径分别为 r1、r2,可视为均质圆盘;物体C的重 B 量为P3;轮A上作用常力矩M1。 求物体C上升的加速度 72 解:①取轮A为研究对象;受力如 图;轮A角加速度为61,由刚体定轴 转动微分方程则有: o1·E1=M1-T1(1) B MI I P DXo O1 g ②取轮B连同物体C为研究对象 受力如图;轮B速度为O2,角加速 度为a2;物体C速度为v,加速度 为a;由质点系的动量矩定理则有:
[例3] 提升装置中，轮A、B的重量分别为P1 、 P2 ,半径分别为 r1 、 r2 , 可视为均质圆盘; 物体C 的重 量为P3 ; 轮A上作用常力矩M1 。 求 物体C上升的加速度。 ②取轮B连同物体C为研究对象； 受力如图；轮B速度为w2 ，角加速 度为e2 ；物体C速度为v ，加速度 为a ；由质点系的动量矩定理则有： (1) 1 1 M1 Tr1 I O e = − 解: ①取轮A为研究对象；受力如 图；轮A角加速度为 e1 ，由刚体定轴 转动微分方程则有： 2 1 2 1 1 1 r g P I O =
dM(e=zmo(F(e), Ln-1 P2. 2 d 1 p 202+V2)=T"z2-B32(2 dt 2 g B ③运动学补充方程: 8 Mi E1=12E2(3) V=r2O2,a=F2E2(4 化简(2)得 P+2P2 a=T-P 2 g 化简(1)得: g 2(M1 ∴a B+P2+2P3
③运动学补充方程： (3) 1 1 2 2 re = r e 化简(1) 得： 化简(2) 得： 3 2 3 ' 2 2 a T P g P P = − + T r M a g P = − 1 1 1 2 g P P P M r P a + + − = 1 2 3 1 1 3 2 2( / ) ) ' (2) 2 1 ( 2 2 3 2 3 2 2 2 2 v r T r P r g P r g P dt d w + = − , (4) 2 2 2 2 v = rw a = r e 2 3 2 2 2 2 2 ( ) 2 ( ) 2 2 2 1 ( ) , v r g P r g P M m F L dt dL O e O e O O = = = w +
§12-2动量矩 质点 动量定理:质点系动量的改变>外力(外力系主矢) 质心运动定理:质心的运动—>外力(外力系主矢) 若当质心为固定轴上一点时,v=0,则其动量恒等于零 质心无运动,可是质点系确受外力的作用。动量矩定理建立了 质点和质点系相对于某固定点(固定轴)的动量矩的改变与外 力对同一点(轴)之矩两者之间的关系 质点的动量矩 1.质点对点O的动量矩 m0(m)=FXm矢量大小:m(m)=2AOAB
质点 动量定理： 质点系 动量的改变—→外力（外力系主矢） 若当质心为固定轴上一点时，vC=0，则其动量恒等于零， 质心无运动，可是质点系确受外力的作用。动量矩定理建立了 质点和质点系相对于某固定点（固定轴）的动量矩的改变与外 力对同一点（轴）之矩两者之间的关系。 §12-2 动量矩 一．质点的动量矩 质心运动定理：质心的运动—→外力（外力系主矢） m mv r mv O ( )= ⒈ 质点对点O的动量矩 矢量 大小： mO (mv) =2OAB