8.设正项级数∑an发散,A=∑a1,且ima=0,求幂级数∑ax"的 收敛半径。 解设幂级数∑anx”的收敛半径为R,∑A1x”的收敛半径为R2。由 0≤an≤A1,可知R≥R2;又由∑an发散,可知R1≤1 由于 m=! 可知R2=1。结合上述关系,得到R1=1。 9.设f(x)=∑ (1)证明f(x)在/11上连续,在-上可导; (2)f(x)在x=1处的左导数是否存在? 证(1)∑2yx的收敛半径为R=1,且在x=±1,级数收敛,由Abel 第二定理,“在[上一致收效所以15在 上连续。 由于/2 x",且对任意δ>0,∑2x1在 上 一致收敛,即∑2x“在-1.1上内闭一致收敛,由函数项级数的逐 项求导定理,1-a上可导,且八(=2 (2)f(x)在x=处的左导数不存在 令t=2x,则f(x)= 令g(x) 利用逐项求导 638．设正项级数∑ 发散， ，且 ∞ n=1 n a ∑= = n k n k A a 1 lim = 0 →∞ n n n A a ，求幂级数 的 收敛半径。 ∑ ∞ n=1 n n a x 解 设幂级数 n的收敛半径为 ， 的收敛半径为 。由 n n ∑a x ∞ =1 R1 n n n ∑ A x ∞ =1 R2 0 ≤ an ≤ An，可知R1 ≥ R2；又由 ∑ 发散，可知 ∞ n=1 an 1 R1 ≤ 。 由于 lim lim 1 1 1 1 1 = − = + + + →∞ + →∞ n n n n n n n A A a A A ， 可知R2 =1。结合上述关系, 得到 1 R1 = 。 9．设 ∑ ∞ = = 1 2 2 ( ) n n n x n f x 。 （1）证明 f (x)在 ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − 2 1 , 2 1 上连续，在 ⎟ ⎠ ⎞ ⎢ ⎣ ⎡ − 2 1 , 2 1 上可导； （2） f (x)在 2 1 x = 处的左导数是否存在？ 证 （1）∑ ∞ =1 2 2 n n n x n 的收敛半径为 2 1 R = ，且在 2 1 x = ± ，级数收敛，由 Abel 第二定理，∑ ∞ =1 2 2 n n n x n 在 ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − 2 1 , 2 1 上一致收敛，所以 ∑ ∞ = = 1 2 2 ( ) n n n x n f x 在 ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − 2 1 , 2 1 上连续。 由于 ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ n n x dx n d 2 2 2 −1 = n n x n ，且对任意δ > 0，∑ ∞ = − 1 2 1 n n n x n 在 ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − − δ 2 1 , 2 1 上 一致收敛，即 ∑ ∞ = − 1 2 1 n n n x n 在 ⎟ ⎠ ⎞ ⎢ ⎣ ⎡ − 2 1 , 2 1 上内闭一致收敛，由函数项级数的逐 项求导定理， ∑ ∞ = = 1 2 2 ( ) n n n x n f x 在 ⎟ ⎠ ⎞ ⎢ ⎣ ⎡ − 2 1 , 2 1 上可导，且 ∑ ∞ = − = 1 2 1 '( ) n n n x n f x 。 （2） f (x)在 2 1 x = 处的左导数不存在。 令t = 2x , 则 = ∑ = ∞ =1 2 2 ( ) n n n x n f x ∑ ∞ =1 2 n n n t 。令 ∑ ∞ = = 1 2 ( ) n n n t g x 。利用逐项求导 63