(5)设f(x)=∑(-D,x2,令g(x)=(x)=∑(,x2m,利用逐项求 月=02n+1 导可得 g(x)=arctan x, 于是 arctan x 所以 ∑(-1) f(=) (6)首先由逐项求导可得∑(x=m0+x)。设几(x)=∑(x”, 令g(x)=(x)=2(1)x",则 g(x)=∑ ∑ xIn(+x) 于是 oIn(1 +xdx=-(x-)In(+x-r+l 所以 ∑-w 33,3 fe (7)设()=2=)x21,令g(x)=f(x),则 n x g(x 因此f(x)=xg(x)=xex。所以 n(2)2（5）设 ∑ ∞ = + − = 0 2 2 1 ( 1) ( ) n n n x n f x ，令 ∑ ∞ = + + − = = 0 2 1 2 1 ( 1) ( ) ( ) n n n x n g x xf x ，利用逐项求 导可得 g(x) = arctan x ， 于是 x x f x arctan ( ) = ， 所以 π 6 3 ) 3 1 ( 3 (2 1) 1 ( 1) 0 = = + ∑ − ∞ = f n n n n 。 （6）首先由逐项求导可得 ln(1 ) ( 1) 1 1 x x n n n n = + − ∑ ∞ = + 。设 ∑ ∞ = − − = 2 2 1 ( 1) ( ) n n n x n f x ， 令 ∑ ∞ = + − − = = 2 1 2 1 ( 1) ( ) ( ) n n n x n g x xf x ，则 g'(x) = ∑ ∞ = = − − 2 1 ( 1) n n n x n ln(1 ) ( 1) 1 1 1 x x x n n n n = + − ∑ ∞ = + + ， 于是 = ∫ + x x x dx x f x 0 ln(1 ) 1 ( ) 2 1 4 1 )ln(1 ) 1 ( 2 1 = − + x − x + x x ， 所以 ∑ ∞ = − − 2 2 2 ( 1) 1 ( 1) n n n n ) 2 1 = f ( 2 3 ln 4 3 8 3 = − 。 （7）设 ∑ ∞ = − + = 0 1 ! ( 1) ( ) n n n x n f x ，令 ( ) ( ) f x g x x = ，则 0 ( 1) ( ) ! n n x n g x x e n ∞ − = − = = ∑ ， 因此 ( ) ( ) x f x xg x xe− = = 。所以 ∑ ∞ = + − 0 1 ! 2 ( 1) n n n n = f (2) = 2 2 e 。 62