设{n}是L中的 Cauchy序列.ⅤE>0,存在n,使得当m,n≥n0时 Ifm-J吧=1Jm0)-d<E 若>0,令Em(G)={t∫n()-fn(t)≥},则 a°H(Em(a)≤|Jm(0)-f(o)d ≤n(0-f、0)rd≤ 于是f在依测度收敛意义下是 Cauchy序列.由实变函数的知识,存在可测函数∫,使 得∫依测度收敛于∫ 根据 Riesz定理,有子序列{f}ae.收敛于f·现在我们证明依照L中的范数 f→∫·实际上,当n,≥m时 另一方面,固定n4,当n1→∞时 f2()-fn()|→)f()-fm(),ae. 由 Fatou引理, JoIS(- (Pdus lim Joln, ()-f,oPduse' (3) 故∫一∈L,L是线性空间,从而f=(f-fn)+fm∈D 不等式(3)还说明‖f-fl≤E(n≥n)·注意{n}是 Cauchy序列,只要n≥n, n≥n0 Jnf1斗f-fl+J-fl2<2E 故 limf,=∫ 证毕 L中序列的依范数收敛,通常称为p方平均收敛.由证明还可知道,p方平均收敛的 序列必定依测度收敛,反之则未必 验证度量空间的完备性通常都要从给定的 Cauchy序列找出一个“目标元”(在例2中 是x点点收敛的极限函数,在例3中是fn的依测度收敛的极限函数),而后验证此“目标元” 属于该空间,并且在空间度量意义下,该元是所给 Cauchy序列的极限. 思考题 验证空间L,P(1≤p≤∞),c0,c的完备性设{ }n f 是 p L 中的 Cauchy 序列．∀ε > 0 ，存在 0 n ，使得当 0 mn n , ≥ 时 p p m n p m n p f f f t f t µ ε Ω − = − < ∫ || || | ( ) ( )| d ． 若σ > 0 ，令 E (σ ) ={t,| f (t) − f (t) |≥σ} mn m n ，则 σ µ σ µ σ ( ( )) | ( ) ( ) | d p E mn m n p E f t f t ∫ ≤ − p p m n f t f t µ ε Ω ≤ − < ∫ | ( ) ( ) | d ． 于是 n f 在依测度收敛意义下是 Cauchy 序列．由实变函数的知识，存在可测函数 f ，使 得 n f 依测度收敛于 f ． 根据 Riesz 定理，有子序列 { } nk f a.e. 收敛于 f ．现在我们证明依照 p L 中的范数 f f nk → ．实际上，当 0 n ,n n i k ≥ 时 p p ni nk p || f − f || < ε ． 另一方面，固定 k n ，当 ni → ∞ 时， p n p n n f t f t f t f t i k k | ( ) − ( ) | →| ( ) − ( )| ， a.e. 由 Fatou 引理， | ( ) ( ) | d lim | ( ) ( ) | d k ik i p pp n nn n ft f t f t f t µ µ ε Ω Ω →∞ −≤ −≤ ∫ ∫ ． （3） 故 p f f n L k − ∈ ， p L 是线性空间，从而 ( ) k k p n n f = ff f L − +∈ ． 不等式（3）还说明 − ≤ ε nk p || f f || ( ) 0 n n k ≥ ．注意{ }n f 是 Cauchy 序列，只要 0 n ≥ n ， 0 n n k ≥ ，则 || − || ≤|| − || + || − || < 2ε n p n n p n p f f f f f f k k ． 故 f f n n = →∞ lim ． 证毕． p L 中序列的依范数收敛，通常称为 p 方平均收敛．由证明还可知道， p 方平均收敛的 序列必定依测度收敛，反之则未必． 验证度量空间的完备性通常都要从给定的 Cauchy 序列找出一个“目标元”（在例 2 中 是 n x 点点收敛的极限函数，在例 3 中是 n f 的依测度收敛的极限函数），而后验证此“目标元” 属于该空间，并且在空间度量意义下，该元是所给 Cauchy 序列的极限． 思考题 验证空间 ∞ L ， p l (1≤ p ≤ ∞)， 0 c c , 的完备性．