第2期 张柳等：基于C on ky指标理论求解反应扩散方程的冲击波解 ·255 当一1时，得到联络矩阵 1231,2,3记为112233MW1厂，M(2) 的Cony指标是∑'，M(3)的Conjey指标是 00 00 ∑°.那么把M1,M2)记作M1人M2) 00 9 的Cone指标加I所以是∑2.同理M(3+)的 可以看到利用计算机编程计算的结果与理论分析结 Com指标是∑. 果相符. 考虑平衡点之间的所有连接，至少有3>2， (2)计算传递矩阵.调用软件包，当入=入。时， 3>2,3>1,1>1,2>2,3>3六种关 把三个平衡点记为1,2,3.当入=入-时，把三 系产生相关偏序再产生相关偏序上的区间，得到 个平衡点记为1,2,3.这里把1,2,3记为 联络矩阵 000100000100 000 0 000010 0 00 00000 0 0 0 000000 0 0 00 0 0 000000 0 0 000 00000900000000000 分析其结果，得到的联络矩阵不唯一，可能没有提 Po incare Bend ixson定理也可以比较容易地判断 供足够的Cone指标数据 出.但是，文献[l2并没有用Poincare Bendixson 在f→i之间有异宿轨道，(M(i,M(f)) 定理来判断鞍鞍型冲击波解的存在性，而用联络 可构成吸引子排斥对，则有CH(M33))=0 矩阵和传递矩阵可以快速地判断出鞍鞍型冲击波 再根据上节分析，有H(M13))=0得到联 解的存在性. 络矩阵为空.没有得到符合的联络矩阵，数据仍然 参考文献 不够.增加关系>2，得到联络矩阵也为空.说 明增加的关系不正确.那么增加关系2>1厂，得到 [I CankeyC Isol ted Invarant Sets and theMorse Index(Conference Bond of the Mathematical Sciences Series No 38).American 联络矩阵为 Mathematical Soce 1978 000110 13 AcCod C Mischakow K Connec ed smple systms tansition 001010 matrices and heteroclinic bifucations TransAm Math So 1992 000001 333(1):397 【3习Ihre表TopbgicaLnumerical appronch to the existence ofperi 00000 odic ta jec pries nODE S/Proceed ngs of the Fourth Intematin 00000 alCon ference on Dynam ical Systems and Differential Equations 000009 Wi血ngop202701 虽然用计算机编程计算的过程与理论分析的过 [4 FberA A refnement of the Conley ndex and a application o the smbility of the hypertolic nvariant sets Egodic Theory Dyn 程有差别，但得到的结果是一致的. Sst1987飞93 4结论 [5]Gedeon T KdubuH MischaikowK et al The Conkey ndex pr ast slov systms】Oned恤nsionalskw variable JDynD iffer 本文利用Conle指标理论研究一类非线性反 entialEquations 1999 1 应扩散方程的冲击波解的情况.以扩散系数作为 AraiZ Kalies W.Kokubu H et al A da tbase schema or the ana psis ofgkbaldynamics ofmultiparam eter systems SIAM J AR 系统的参数，通过ConJe)指标和联络矩阵分析行 PIDy S92009,8757 波解所满足的常微分方程的异宿轨道的存在性和 [7]LuSD Lu S$Solinry wave and homoclin orbit Mech Eng 唯一性，并应用ConJe软件包和Maple软件编程 199L.13(4):9 计算. (刘式达，刘式适.孤立波和同宿轨道.力学与实践，199113 从文中可看出，利用Canle指标理论可以快速 (4:9月 I8 Jan es R M Ekm ents of Agebra ic Topology Colorado W estv jew 且简单的判断出反应扩散方程的鞍焦型、鞍结型 Perseus Publishing 1993 冲击波解的存在性.另外，在理论上比较成熟的 [9 BarakaM RobenzD Conky cmputing onnecton ma trices n第 2期 张 柳等:基于 Conley指标理论求解反应扩散方程的冲击波解 当 v d -1时, 得到联络矩阵 Δ-∞ = 0 0 1 0 0 1 0 0 0 , 可以看到利用计算机编程计算的结果与理论分析结 果相符 . ( 2) 计算传递矩阵.调用软件包, 当 λ=λ0 时, 把三个平衡点记为 1 - , 2 - , 3 -.当 λ=λ-∞时, 把三 个平衡点记为 1 + , 2 + , 3 +.这里把 1 - , 2 - , 3 -记为 1, 2, 3, 1 + , 2 + , 3 +记为 11, 22, 33.M( 1 - ), M( 2 - ) 的 Conley指标是 ∑ 1 , M( 3 - )的 Conley指标是 ∑ 2 .那么把 M( 1 + ), M( 2 + )记作 M( 1 - ), M( 2 - ) 的 Conley指标加 1, 所以是 ∑ 2 .同理 M( 3 + )的 Conley指标是 ∑ 3 . 考虑平衡点之间的所有连接, 至少有 3 - >2 - , 3 + >2 + , 3 + >1 + , 1 + >1 - , 2 + >2 - , 3 + >3 -六种关 系, 产生相关偏序, 再产生相关偏序上的区间, 得到 联络矩阵 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 , 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 , 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 . 分析其结果, 得到的联络矩阵不唯一.可能没有提 供足够的 Conley指标数据 . 在 i + ※i -之间有异宿轨道, (M( i - ), M( i + ) ) 可构成吸引子--排斥对, 则有 CH＊ ( M( 3 - 3 + ) ) =0, 再根据上节分析, 有 CH＊ ( M( 1 + 3 + ) ) =0, 得到联 络矩阵为空 .没有得到符合的联络矩阵, 数据仍然 不够.增加关系 1 + >2 - , 得到联络矩阵也为空.说 明增加的关系不正确 .那么增加关系 2 + >1 - , 得到 联络矩阵为 0 0 0 1 1 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 . 虽然用计算机编程计算的过程与理论分析的过 程有差别, 但得到的结果是一致的. 4 结论 本文利用 Conley指标理论研究一类非线性反 应扩散方程的冲击波解的情况 .以扩散系数作为 系统的参数, 通过 Conley指标和联络矩阵分析行 波解所满足的常微分方程的异宿轨道的存在性和 唯一性, 并应用 Conley软件包和 Maple软件编程 计算 . 从文中可看出, 利用 Conley指标理论可以快速 且简单的判断出反应扩散方程的鞍--焦型 、鞍 --结型 冲击波解的存在性 .另外, 在理论上比较成熟的 Poincare-Bendixson定 理也可 以比较 容易地 判断 出 [ 12] .但是, 文献[ 12]并没有用 Poincare-Bendixson 定理来判断鞍--鞍型冲击波解的存在性, 而用联络 矩阵和传递矩阵可以快速地判断出鞍 --鞍型冲击波 解的存在性. 参 考 文 献 [ 1] ConleyC.IsolatedInvariantSetsandtheMorseIndex( Conference BoardoftheMathematicalSciencesSeriesNo.38 ) .American MathematicalSociety, 1978 [ 2] AcCordC, MischaikowK.Connectedsimplesystemstransition matricesandheteroclinicbifurcations.TransAmMathSoc, 1992, 333 ( 1) :397 [ 3] IlarcyzkP.Toplogical-numericalapproachtotheexistenceofperi￾odictrajectoriesinODE' S//ProceedingsoftheFourthInternation￾alConferenceonDynamicalSystemsandDifferentialEquations. Wilmington, 2002:701 [ 4] FloerA.ArefinementoftheConleyindexandanapplicationto thestabilityofthehyperbolicinvariantsets.ErgodicTheoryDyn Syst, 1987, 7:93 [ 5] GedeonT, KokubuH, MischaikowK, etal.TheConleyindexfor fast-slowsystems:I.One-dimensionalslowvariable.JDynDiffer￾entialEquations, 1999:1 [ 6] AraiZ, KaliesW, KokubuH, etal.Adatabaseschemaforthe analysisofglobaldynamicsofmultiparametersystems.SIAMJAp￾plDynSyst, 2009, 8:757 [ 7] LiuSD, LiuSS.Solitarywaveandhomoclinicorbit.MechEng, 1991, 13 ( 4) :9 (刘式达, 刘式适.孤立波和同宿轨道.力学与实践, 1991, 13 ( 4) :9) [ 8] JamesRM.ElementsofAlgebraicTopology.Colorado:Westview PerseusPublishing, 1993 [ 9] BarakaM, RobertzD.Conley:computingconnectionmatricesin · 255·