。254 北京科技大学学报 第33卷 Hmto系统，其边界解集有两个部分，一部分由点 根据△.度为一1得到矩阵变为 (10组成另一部分包含(00和（一10）有周期 000T1,1+)T1,2) 0 轨簇和一个到（一↓0）的异宿轨道.从这些能够推 001 0 T2,2) 0 断出在一1区不0时，（化0）与其他两个平衡点之 000 0 0 T3,3+) △= 000 0 0 1 间没有连接轨道，(00)到（一10）有连接轨道.所 000 0 0 1 以有可允许偏序>432且1与2、3无关.再根 000 0 0 0 据区间定义，可构成一个区间.所以有关于>。的上 可以验证，(M(P),MP)可以形成一个吸 三角矩阵 引子排斥对，推断出TP,P)=1 0001T1,2) 0 0010 1 000 0000 0 A= 当下0时，根据前面的证明，有从(00)到 0000 0 0000 0 (士10)有异宿轨道.特别地，当一时，一个 0000 0 0 因为△.A=0有T1厂，2)=1. 简单的时间重置，方程(4)可写成上一（业d) 000110 作为极限等式对于这个等式，容易判断出有从(0 001010 00000 0)到（斗0）有异宿轨道.因此对于充分小时， △= 00000 有3>-23>-∞1.根据引理1.1得，（M(2), 00000 M3)人(M1),M3)分别是M23人M13)的吸 000009 引子排斥对.推断出 所以存在参数入<0即<0使得系统拥有一个从 0 0 (一10到（十10）异宿轨道，根据PDE的孤立波 △ 00 与冲击波分别对应于ODE的同宿轨道与异宿轨道 00g 根据这两个联络矩阵和性质1.1还可得到(0 的思想，即方程(3存在唯一一个鞍鞍型异宿解或 0)到（土10）只有唯一的异宿轨道，即方程(4)有唯 者鞍鞍型冲击波解. 一的冲击波解.同理，对于其他的几种情况。也可证 3利用Cone软件包对联络矩阵和传递矩 明方程(4有唯一的鞍焦或鞍结冲击波解. 阵进行数值模拟 (2)我们来计算它的奇异传递矩阵，令入=d Can ey软件包由Mohaed Baraka和Danjel Robertz提供，它是Cone指标理论的主要代数工具 加入等式=A-X)(以-X人其中-1《六 之一.在本节中，将利用Came等软件包来计算k 0时，计算方程(4)的联络矩阵和传递矩阵9. 0和一∞考虑此等式，入。入是它的不动点， (1)计算联络矩阵.调用软件包，定义三个平 且入。是它的吸引子，入-∞是它的排斥子.当入=入 衡点，获得以上关系的偏序323>-23D- 把三个平衡点记为1,2,3.当入=入-，把三个 ↓在P中得到这些相关偏序的区间集合，定义数组 平衡点记为1,2,3.得到相应联络矩阵形式 存放三个平衡点的指标.设置最大孤立不变集M 000T1,)71,2)T1,3) (P)的Conley指标，得到dH除了设置M(P)的 Conjey指标以外，还需设置M13,M23)的ConJey 00172,1)T2,2)72,3) △ 00073,1)73,2)T3,3) 指标，得到QL,当一1《六0时，得到联络矩阵 000 0 0 000 000 0 0 △=001 000. 0 0 0 000北 京 科 技 大 学 学 报 第 33卷 Hamilton系统, 其边界解集有两个部分, 一部分由点 ( 1, 0)组成, 另一部分包含 ( 0, 0)和 ( -1, 0), 有周期 轨簇和一个到 ( -1, 0)的异宿轨道 .从这些能够推 断出在 -1 v d <0时, ( 1, 0)与其他两个平衡点之 间没有连接轨道, ( 0, 0)到 ( -1, 0)有连接轨道.所 以有可允许偏序 >0, 3 >0 2且 1与 2、3 无关.再根 据区间定义, 可构成一个区间.所以有关于 >0 的上 三角矩阵 Δ0 = 0 0 0 0 0 1 0 0 0 . 当 v d <0 时, 根据前面的证明, 有从 ( 0, 0 )到 ( ±1, 0)有异宿轨道.特别地, 当 v d ※ -∞时, 一个 简单的时间重置, 方程 ( 4)可写成 u · =- 1 d ( u-u 7 ) 作为极限等式, 对于这个等式, 容易判断出有从 ( 0, 0)到 ( ±1, 0)有异宿轨道.因此对于 v d 充分小时, 有 3 >-∞ 2, 3 >-∞ 1.根据引理 1.1 得, ( M( 2 ), M( 3) ) 、( M( 1), M( 3) )分别是 M( 23) 、M( 13)的吸 引子--排斥对.推断出 Δ-∞ = 0 0 1 0 0 1 0 0 0 . 根据这两个联络矩阵和性质 1.1, 还可得到 ( 0, 0)到 ( ±1, 0)只有唯一的异宿轨道, 即方程 ( 4)有唯 一的冲击波解.同理, 对于其他的几种情况, 也可证 明方程 ( 4)有唯一的鞍 --焦或鞍 --结冲击波解. ( 2)我们来计算它的奇异传递矩阵, 令 λ= v d , 加入等式 λ · =δ( λ-λ0 ) ( λ-λ-∞ ), 其中 -1 v d < 0和 v d ※ -∞.考虑此等式, λ0, λ-∞是它的不动点, 且 λ0 是它的吸引子, λ-∞是它的排斥子 .当 λ=λ0, 把三个平衡点记为 1 - , 2 - , 3 -.当 λ=λ-∞, 把三个 平衡点记为 1 + , 2 + , 3 +.得到相应联络矩阵形式 Δε = 0 0 0 T( 1 - , 1 + ) T( 1 - , 2 + ) T( 1 - , 3 + ) 0 0 1 T( 2 - , 1 + ) T( 2 - , 2 + ) T( 2 - , 3 + ) 0 0 0 T( 3 - , 1 + ) T( 3 - , 2 + ) T( 3 - , 3 + ) 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 , 根据 Δε度为 -1, 得到矩阵变为 Δε = 0 0 0 T( 1 - , 1 + ) T( 1 - , 2 + ) 0 0 0 1 0 T( 2 - , 2 + ) 0 0 0 0 0 0 T( 3 - , 3 + ) 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 . 可以验证, (M(p - ), M( p + ) )可以形成一个吸 引子 --排斥对, 推断出 T(p - , p + ) =1. Δε = 0 0 0 1 T( 1 - , 2 + ) 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 . 因为 Δε Δε =0, 有 T( 1 - , 2 + ) =1. Δε = 0 0 0 1 1 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 , 所以存在参数 λ<0即 v d <0, 使得系统拥有一个从 ( -1, 0)到 ( +1, 0)异宿轨道, 根据 PDE的孤立波 与冲击波分别对应于 ODE的同宿轨道与异宿轨道 的思想, 即方程 ( 3)存在唯一一个鞍 --鞍型异宿解或 者鞍 --鞍型冲击波解. 3 利用 Conley软件包对联络矩阵和传递矩 阵进行数值模拟 Conley软件包由 MohamedBaraka和 Daniel Robertz提供, 它是 Conley指标理论的主要代数工具 之一 .在本节中, 将利用 Conley等软件包来计算d< 0时, 计算方程 ( 4)的联络矩阵和传递矩阵 [ 9] . ( 1) 计算联络矩阵.调用软件包, 定义三个平 衡点, 获得以上关系的偏序 3 >0 2, 3 >-∞ 2, 3 >-∞ 1, 在 P中得到这些相关偏序的区间集合, 定义数组 存放三个平衡点的指标.设置最大孤立不变集 M ( P)的 Conley指标, 得到 CH0, 除了设置 M( P)的 Conley指标以外, 还需设置 M( 13), M( 23)的 Conley 指标, 得到 CH-∞ .当 -1 v d <0时, 得到联络矩阵 Δ0 = 0 0 0 0 0 1 0 0 0 . · 254·