第2期 张柳等：基于C on ky指标理论求解反应扩散方程的冲击波解 ·253 智 diw(A+dmw(B)=di W(A+W(B))+ din(W(An W(B)) 方程(3)可写成常微分方程形式： 因为dmW(A=i+↓dmW(B)=n-,i df'+u'-叶i=0 dmrW(Ay+W(B,)≤所以得到dm(W(y∩ 那么与其等价的平面动力系统是 W(B≥1推出W(AynW(B)≠，从而得到 u-w-fuw) (AB≠.所以A与B之间至少存在一条连接 w-L-网=uy (4) 轨道. 对于方程(4的三个平衡点，根据Mors吩解的 易求得方程(4)的三个平衡点为：(00)，（士10）. 定义1.2可验证这三个平衡点可作为一个Mor分 线性化方程(4)得到矩阵 解，即有M(3)=(00,M(2)=(-10)M(1)= 0 (10),则把此Mos分解表示为MS={M()| 1-7) =123D2D1}. 它在三个平衡点的特征根分别是： 当k一4时，（士！0）是鞍点，(00)是不稳 V12 4 定焦点，则根据定理11得，（士l0)的Canje指标 d 入12(00)= dd 是∑'，(00)的Come指标是∑2.根据定理 224 21方程(4)存在不稳定焦点(00到鞍点（士，0） d 入12（⊥，0）= 的异宿轨道，即方程(3存在鞍焦型冲击波解. 2 随着的变化，平衡点的奇点类型也跟着变化，见 当少24(00)是鞍点，（士出0)是稳定焦点， 表1. 则根据定理2.1可得，(00)的Con y指标是 表1参数d和平衡点类型的关系 ∑'，（士10）的Come指标是∑°，方程(4存在 Table 1 Re lations of parameter d and ba nced ponts 鞍点(00)到稳定焦点（士10）的异宿轨道，即方程 d范围 (3存在鞍焦型冲击波解. 平衡点 4k0 k- 0K长24 醒可江，当一冬比0方程(4)存在不稳定 (00) 不稳定结点不稳定焦点 鞍点 鞍点 结点(00)到鞍点（±10）的异宿轨道，即方程(3) (士10) 鞍点 鞍点 稳定结点稳定焦点 存在鞍结型冲击波解。当0K志24方程(4存在 定理2.1对于1阶维微分方程AB是其 两个双曲不动点，A的Coml指标为∑1，的 鞍点(00)到稳定结点（士10）的异宿轨道，即方程 (3存在鞍结型冲击波解. Came指标为∑，则A屿B之间至少存在一条连 下面讨论当k0时，鞍鞍型冲击波解的存在 接轨道. 性.首先计算方程(4的联络矩阵和传递矩阵，然后 证明根据定理1.1A的不稳定流形维数为 说明连接两个鞍点之间异宿轨道的存在性. 计1则其稳定流形的维数为D一-1B的不稳定 (1)根据前面所述，联络矩阵△有如下形式的 流形维数为，i其稳定流形的维数为n一根据定义 线性算子： 1.5得 A®H(M9®CH(MD). W(Ay={Ba(B)={4, 可推断△是3×3矩阵.根据△必须是上三角 W(B={Bw(B)={B), 矩阵和度为一1的映射.所以 可验证满足定义1.1BA为吸引子排斥子对分 00 解.且有 △= 0 0 C(A B)=(B lo(B)CB a(B)CA= 009 {BIB∈W(AnW(B. 根据维数公式有 考虑到方程(4的参数当。二0时，得到一个第 2期 张 柳等:基于 Conley指标理论求解反应扩散方程的冲击波解 u′= du dτ , u″= d 2 u dτ 2 , 方程 ( 3)可写成常微分方程形式 : du″+vu′-u+u 7 =0. 那么与其等价的平面动力系统是 u′=w=f( u, w) w′= 1 d (u-u 7 -vw) =g( u, w) ( 4) 易求得方程 ( 4)的三个平衡点为:( 0, 0), ( ±1, 0) . 线性化方程 ( 4)得到矩阵 Δ = fu fw gu gw = 0 1 1 d ( 1 -7u 6 ) - v d , 它在三个平衡点的特征根分别是: λ1, 2 ( 0, 0) = - v d + v d 2 + 4 d 2 , λ1, 2 ( ±1, 0) = - v d + v d 2 - 24 d 2 . 随着 d的变化, 平衡点的奇点类型也跟着变化, 见 表 1. 表 1 参数 d和平衡点类型的关系 Table1 Relationsofparameterdandbalancedpoints 平衡点 d范围 - v2 4 ≤d<0 d<- v2 4 0<d≤ v2 24 d> v2 24 ( 0, 0 ) 不稳定结点 不稳定焦点 鞍点 鞍点 ( ±1, 0 ) 鞍点 鞍点 稳定结点 稳定焦点 定理 2.1 对于 1 阶 n维微分方程, A, B是其 两个双曲不动点, A的 Conley指标为 ∑ i+1 , B的 Conley指标为 ∑ i , 则 A与 B之间至少存在一条连 接轨道 . 证明 根据定理 1.1, A的不稳定流形维数为 i+1, 则其稳定流形的维数为 n-i-1.B的不稳定 流形维数为 i, 其稳定流形的维数为 n-i.根据定义 1.5得 W u ( A) ={p0:α( p0 ) ={A}}, W s (B) ={p0:ω( p0 ) ={B}}, 可验证满足定义 1.1, B、A为吸引子--排斥子对分 解 .且有 C(A;B) ={p0 ω( p0 ) B, α( p0 ) A}= {p0 p0∈ W u (A)∩ W s ( B) }. 根据维数公式, 有 dimW u (A) +dimW s (B) =dim(W u ( A) +W s (B) ) + dim(W u ( A) ∩ W s (B) ), 因为 dimW u ( A) =i+1, dimW s ( B) =n-i, dim( W u (A) +W s ( B) ) ≤n, 所以得到 dim(W u ( A) ∩ W s ( B) ) ≥1, 推出 W u (A) ∩ W s ( B) ≠ , 从而得到 C( A;B) ≠ .所以 A与 B之间至少存在一条连接 轨道 . 对于方程 ( 4)的三个平衡点, 根据 Morse分解的 定义 1.2, 可验证这三个平衡点可作为一个 Morse分 解, 即有 M( 3) =( 0, 0), M( 2) =( -1, 0), M( 1) = ( 1, 0), 则把此 Morse分解表示为 M( S) ={M( i) i=1, 2, 3, 3 >2 >1}. 当 d<- v 2 4 时, ( ±1, 0)是鞍点, ( 0, 0)是不稳 定焦点, 则根据定理 1.1得, ( ±1, 0)的 Conley指标 是 ∑ 1 , ( 0, 0)的 Conley指标是 ∑ 2 .根据定理 2.1, 方程 ( 4)存在不稳定焦点 ( 0, 0)到鞍点 ( ±1, 0) 的异宿轨道, 即方程 ( 3)存在鞍 --焦型冲击波解 . 当 d> v 2 24 , ( 0, 0)是鞍点, ( ±1, 0)是稳定焦点, 则根 据定理 2.1 可得, ( 0, 0 )的 Conley指标是 ∑ 1 , ( ±1, 0)的 Conley指标是 ∑ 0 , 方程 ( 4)存在 鞍点 ( 0, 0)到稳定焦点 ( ±1, 0)的异宿轨道, 即方程 ( 3)存在鞍 --焦型冲击波解. 同理可证, 当 - v 2 4 ≤d<0, 方程 ( 4)存在不稳定 结点 ( 0, 0)到鞍点 ( ±1, 0)的异宿轨道, 即方程 ( 3) 存在鞍--结型冲击波解 .当 0 <d≤ v 2 24 , 方程 ( 4)存在 鞍点 ( 0, 0)到稳定结点 ( ±1, 0)的异宿轨道, 即方程 ( 3)存在鞍 --结型冲击波解. 下面讨论当 d<0时, 鞍 --鞍型冲击波解的存在 性.首先计算方程 ( 4)的联络矩阵和传递矩阵, 然后 说明连接两个鞍点之间异宿轨道的存在性. ( 1) 根据前面所述, 联络矩阵 Δ有如下形式的 线性算子 : Δ: 3 p=1CH＊ (M( p) )※ 3 p=1CH＊ ( M(p) ) . 可推断 Δ是 3 ×3矩阵.根据 Δ必须是上三角 矩阵和度为 -1的映射 .所以 Δ= 0 0 ? 0 0 ? 0 0 0 . 考虑到方程 ( 4)的参数, 当 v d =0时, 得到一个 · 253·