20.(本题满分11分) 设三阶矩阵A=(a1,a2a3)有三个不同的特征值,且a3=a1+22 (1)证明:r(A)=2; (2)若B=a1+a2,a3,求方程组Ax=β的通解 【详解】(1)证明:因为矩阵有三个不同的特征值,所以A是非零矩阵,也就是r(A)≥1 假若r(A)=1时,则r=0是矩阵的二重特征值,与条件不符合,所以有r(A)≥2,又因为 a3-a1+2a2=0,也就是a1,a2,a3线性相关,r(4)<3,也就只有r(A)=2 (2)因为r(A)=2,所以Ax=0的基础解系中只有一个线性无关的解向量.由于a3-ax1+2a2=0,所 以基础解系为x=2| 又由B=ax1+a2,a3,得非齐次方程组Ax=B的特解可取为1| 方程组Ax=B的通解为x=k2 ,其中k为任意常数 21.(本题满分11分) 设二次型f(x1,x2,x3)=2x2-x2+ax2+2xx2-8xx3+2x2x3在正交变换x=Qy下的标准形为 λ1y2+2y2,求a的值及一个正交矩阵Q 【详解】二次型矩阵A=1-11 因为二次型的标准形为λy2+λ2y2也就说明矩阵A有零特征值,所以4=0,故a=2 A-1-14 AE-4=11+11=(2+3)-6) 4 令E-4=0得矩阵的特征值为A=-3,A2=6,2=07 20．（本题满分 11 分） 设三阶矩阵 A = (   1 2 3 , , ) 有三个不同的特征值，且 3 1 2    = + 2 . （1）证明： r A( ) 2 = ； （2）若 1 2 3     = + , ，求方程组 Ax =  的通解． 【详解】（1）证明：因为矩阵有三个不同的特征值，所以 A 是非零矩阵，也就是 r A( ) 1  ． 假 若 r A( ) 1 = 时，则 r = 0 是矩阵的二重特征值，与条件不符合，所以有 r A( ) 2  ，又因为 3 1 2    − + = 2 0 ，也就是 1 2 3    , , 线性相关， r A( ) 3  ，也就只有 r A( ) 2 = ． （2）因为 r A( ) 2 = ，所以 Ax = 0 的基础解系中只有一个线性无关的解向量．由于 3 1 2    − + = 2 0 ，所 以基础解系为 1 2 1 x     =       − ； 又由 1 2 3     = + , ，得非齐次方程组 Ax =  的特解可取为 1 1 1           ； 方程组 Ax =  的通解为 1 1 2 1 1 1 x k         = +             − ，其中 k 为任意常数． 21．（本题满分 11 分） 设二次型 2 2 2 1 2 3 1 2 3 1 2 1 3 2 3 f x x x x x ax x x x x x x ( , , ) 2 2 8 2 = − + + − + 在 正 交 变 换 x Qy = 下 的标准形为 2 2 1 1 2 2   y y + ，求 a 的值及一个正交矩阵 Q ． 【详解】二次型矩阵 2 1 4 1 1 1 4 1 A a   −   = −       − 因为二次型的标准形为 2 2 1 1 2 2   y y + ．也就说明矩阵 A 有零特征值，所以 A = 0 ，故 a = 2. 1 1 4 1 1 1 ( 3)( 6) 4 1 2 E A        − − − = + = + − − − 令 E A− = 0 得矩阵的特征值为 1 2 3    = − = = 3, 6, 0 ．