·1212 北京科技大学学报 第35卷 性均最优 因在于：(1)多目标优化问题的分解优化处理使得 考虑到多目标问题的复杂度，选择NSGA-Ⅱ ERHMEA的初始值为各子模型的非劣解，初始种 和DVCMOA作为ERHMEA的对比算法.各算法 群的高精度和多样性有效推动了进化沿着最优的方 分别求解具有4、6和8个目标函数的DTLZ1和 向进行：(2)提出精英重组策略，降低了目标空间解 DTLZ2问题，所得结果的收敛性与多样性比较见 的拥挤度，同时减少了ERHMEA陷入局部最优的 表5和表6.由实验结果可看出：NSGA-Ⅱ的收敛 可能性，保证种群快速地朝全局最优化方向发展 性最差，ERHMEA的收敛性稍优于DVCMOA,且 3.2关键步骤分析 收敛性随着目标个数的增多而逐渐增强：ERHMEA 本节同样采用ZDT1~ZDT4为测试函数，讨论 在各问题中解的分布最为均匀，而NSGA-Ⅱ的结果 了三个关键步骤：选择操作：交叉和变异操作：基 同样最差.分析其原因在于，随着目标函数的增多， 于混沌优化的重启机制.分别研究选择概率为常数 占优关系对选择操作的影响逐步减少，NSGA-Ⅱ作 (对比情况X),交叉和变异概率为常数（对比情况 为基于Pareto占优关系的方法难以有效求解多目 Y),不采用重启机制（对比情况Z）对ERHMEA的 标问题 性能影响.各算法收敛性与多样性的比较结果分别 综合以上分析可看出，ERHMEA在解决各 见表7和表8。由结果可以看出，各关键步骤的操 种规模多目标问题时均具有良好的收敛性及多样 作均对ERHMEA具有重要影响：三种操作分别在 性，且其性能不受日标个数增加的影响。究其原 不同层面上降低了算法陷入局部最优的概率，增加 (a) Pcto最优前沿 (b) 最优前沿 1 MOPSO 1.2 0.8 NSGA-U ErHmEA 0 DVCMOA 04 0.2 0 0.16 0.320.480.64 0.80 0.16 0.320.48 0.64 0.80 ( () Pareto最优前沿 (d) 一Pareto最优前沿 2.0 1.2 o MOPSO CMO 1.6 NSGA-IL 0.8 1.2 ERHMEA 0.8 DVCMOA 0.4 0.16 0.4 -0.4 0 0.2 0.40.6 0.8 .2 ( () 图2性能比较.(a)ZDT1;(b)ZDT2:(c)ZDT3:(d)ZDT4 Fig.2 Performance comparison:(a)ZDT1;(b)ZDT2;(c)ZDT3;(d)ZDT4 表3三目标问题算法收敛性比较 Table 3 Convergence comparison of different algorithms for the 3-objective test problems 测试函数 C(E,N) C(E,M) C(E,D) CN.E) C(M,E) C(D,E) DTLZ1 0.734(0.002) 0.373(0.460) 0.253(0.383) 0.021(0.001) 0.159(0.223) 0.103(0.135) DTLZ2 0.708(0.003) 0.402(0.511) 0.195(0.254) 0.017(0.001) 0.097(0.210) 0.117(0.286) DTLZ3 0.689(0.001) 0.297(0.413) 0.221(0.198) 0.008(0.001) 0.168(0.313) 0.085(0.112) DTLZ4 0.892(0.005) 0.455(0.554) 0.276(0.422) 0.0040.001) 0.115(0.272) 0.062(0.207) 注：E为ERHMEA,N为NSGA-I,M为MOPSO,D为DVCMOA 表4三目标问题算法多样性比较 Table 4 Distribution comparison of different algorithms for the 3-objective test problems 测试函数 ERHMEA NSGA-IⅡ MOPSO DVCMOA DTLZI 0.096(0.287) 0.130(0.817) 0.118(0.732) 0.109(0.487) DTLZ2 0.103(0.421) 0.233(0.019) 0.176(0.510) 0.159(0.602) DTLZ3 0.085(0.133) 0.253(0.301) 0.202(1.046) 0.230(0.165) DTLZ4 0.110(0.522) 0.284(0.105) 0.241(0.758) 0.183(0.336)· 1212 · 北 京 科 技 大 学 学 报 第 35 卷 性均最优. 考虑到多目标问题的复杂度，选择 NSGA-Ⅱ 和 DVCMOA 作为 ERHMEA 的对比算法. 各算法 分别求解具有 4、6 和 8 个目标函数的 DTLZ1 和 DTLZ2 问题，所得结果的收敛性与多样性比较见 表 5 和表 6. 由实验结果可看出：NSGA-Ⅱ的收敛 性最差，ERHMEA 的收敛性稍优于 DVCMOA，且 收敛性随着目标个数的增多而逐渐增强；ERHMEA 在各问题中解的分布最为均匀，而 NSGA-Ⅱ的结果 同样最差. 分析其原因在于，随着目标函数的增多， 占优关系对选择操作的影响逐步减少，NSGA-Ⅱ作 为基于 Pareto 占优关系的方法难以有效求解多目 标问题. 综合以上分析可看出， ERHMEA 在解决各 种规模多目标问题时均具有良好的收敛性及多样 性，且其性能不受目标个数增加的影响。究其原 因在于：(1) 多目标优化问题的分解优化处理使得 ERHMEA 的初始值为各子模型的非劣解，初始种 群的高精度和多样性有效推动了进化沿着最优的方 向进行；(2) 提出精英重组策略，降低了目标空间解 的拥挤度，同时减少了 ERHMEA 陷入局部最优的 可能性，保证种群快速地朝全局最优化方向发展. 3.2 关键步骤分析 本节同样采用 ZDT1∼ZDT4 为测试函数，讨论 了三个关键步骤：选择操作；交叉和变异操作；基 于混沌优化的重启机制. 分别研究选择概率为常数 (对比情况 X)，交叉和变异概率为常数 (对比情况 Y)，不采用重启机制 (对比情况 Z) 对 ERHMEA 的 性能影响. 各算法收敛性与多样性的比较结果分别 见表 7 和表 8。由结果可以看出，各关键步骤的操 作均对 ERHMEA 具有重要影响；三种操作分别在 不同层面上降低了算法陷入局部最优的概率，增加 图 2 性能比较. (a) ZDT1; (b) ZDT2; (c) ZDT3; (d) ZDT4 Fig.2 Performance comparison: (a) ZDT1; (b) ZDT2; (c) ZDT3; (d) ZDT4 表 3 三目标问题算法收敛性比较 Table 3 Convergence comparison of different algorithms for the 3-objective test problems 测试函数 C (E,N) C (E,M) C (E,D) C (N,E) C (M,E) C (D,E) DTLZ1 0.734(0.002) 0.373(0.460) 0.253(0.383) 0.021(0.001) 0.159(0.223) 0.103(0.135) DTLZ2 0.708(0.003) 0.402(0.511) 0.195(0.254) 0.017(0.001) 0.097(0.210) 0.117(0.286) DTLZ3 0.689(0.001) 0.297(0.413) 0.221(0.198) 0.008(0.001) 0.168(0.313) 0.085(0.112) DTLZ4 0.892(0.005) 0.455(0.554) 0.276(0.422) 0.004(0.001) 0.115(0.272) 0.062(0.207) 注：E 为 ERHMEA，N 为 NSGA-Ⅱ，M 为 MOPSO，D 为 DVCMOA. 表 4 三目标问题算法多样性比较 Table 4 Distribution comparison of different algorithms for the 3-objective test problems 测试函数 ERHMEA NSGA-Ⅱ MOPSO DVCMOA DTLZ1 0.096(0.287) 0.130(0.817) 0.118(0.732) 0.109(0.487) DTLZ2 0.103(0.421) 0.233(0.019) 0.176(0.510) 0.159(0.602) DTLZ3 0.085(0.133) 0.253(0.301) 0.202(1.046) 0.230(0.165) DTLZ4 0.110(0.522) 0.284(0.105) 0.241(0.758) 0.183(0.336)