把原积分化为先对y再对x的积分,得 (4x-7x2+2x3+x+)a-11 为把原积分化为先对x再对y的积分,可把区域g表示为 g2={(x,y)|y≤x≤yy,O≤y≤l}, 这样, ∫2-x-y)hy=(2-x-y)t 例设g是以(0,0),(0,1),(,0)为顶点的三角 形区域(图8.23),求 e dxdy。 解把原积分化为先对x再对y的积分,则有 e 2(c 图823 注意,如果把原积分化为先对y后对x的积分,则 得到 那就难以求积了。 例求由马鞍面=x和平面 z=x+y,x+y=1,x=0,y=0所围成的空间区域的 体积(图8.24)。 解如图824,由二重积分的几何意义 所求体积为 V=‖(x+y 其中Ω={(x,y)|0≤y≤1-x,0≤x≤1}。所以 =d。(x+y-xy)y 图824 7 x(1-x)+(1-x)=(1-x) 24 例求椭圆柱面4x2+y2=1与平面z=1-y及z=0 所围成的空间区域的体积V(图8.2.5) 解记Ω是Oxy平面上椭圆4x2+y2=1所围成的区 域,于是 V=l(1-y)do 因为Ω关于x轴对称,所以 vdo=0 图8.2.5把原积分化为先对 y 再对 x 的积分，得          x x x y dxdy dx x y dy 2 (2 ) (2 ) 1 0 60 11 (4 7 2 ) 2 1 1 0 2 3 4       x x x x dx 。 为把原积分化为先对 x 再对 y 的积分，可把区域  表示为   {(x, y) | y  x  y, 0  y  1}， 这样，          1 0 (2 ) (2 ) y y x y dxdy dy x y dx。 例 设  是以 (0, 0)，(0,1)，(1, 0) 为顶点的三角 形区域（图 8.2.3），求    e dxdy y 2 。 解 把原积分化为先对 x 再对 y 的积分，则有    e dxdy y 2     y y dy e dx 0 1 0 2            e ye dy y 1 1 2 1 1 0 2 。 注意，如果把原积分化为先对 y 后对 x 的积分，则 得到    e dxdy y 2     1 1 0 2 x y dx e dy， 那就难以求积了。 例 求 由 马 鞍 面 z  xy 和平面 z  x  y, x  y 1, x  0, y  0 所围成的空间区域的 体积（图 8.2.4）。 解 如图 8.2.4，由二重积分的几何意义， 所求体积为   V  (x  y  xy)dxdy ， 其中  {(x, y)| 0  y 1 x,0  x 1} 。所以       x V dx x y xy dy 1 0 1 0 ( ) 24 7 (1 ) 2 1 (1 ) (1 ) 1 0 2               x x x x dx 。 例 求椭圆柱面 4 1 2 2 x  y  与平面 z 1 y 及 z  0 所围成的空间区域的体积 V （图 8.2.5）。 解 记  是 Oxy 平面上椭圆   2 2 4x y 1 所围成的区 域，于是   V  (1 y)d 。 因为  关于 x 轴对称，所以   yd  0。 (1,1) x O y 图 8.2.3 x O y z 图 8.2.4 z x y 图 8.2.5