且仅当 sup,∞并且存在EcX, span e在X中稠密,对于每个 x∈E,f(x)→f(x) 证明与定理9类似,此处略 定义5线性赋范空间X中的子集A称为是弱序列闭集,若 vxn∈A,xn-"x0时,x∈A.称A是弱序列紧集,若A中任一无 穷序列有子序列弱收敛于A中元。空间X称为是弱序列完备的,若X 中的每个弱 Cauchy序列(即vf∈X,fn(x)是 Cauchy序列)都是弱收 敛序列 在前面我们已经证明过一个集合的弱有界与按范数有界等价.现 在我们证明 定理13设X是线性赋范空间,AcX是凸集,则A是(强)闭集 当且仅当A是弱序列闭集.特别地,一个线性子空间是闭的当且仅当 它是弱序列闭的 证明设A是弱序列闭的,xn∈A,x-x,自然有 x">x0,由弱序列闭性x0∈A,故A是(强)闭的 反之,若A(强)闭,x∈A,x一”→x,由定理5,存在{x}的 凸组合构成的序列{yn},y一→x,但A是凸集,所以yn∈A,A (强)闭,故x∈A.于是A弱序列闭 定理14线性赋范空间中的每个弱序列紧集是弱序列闭的 证明设A是弱序列紧的,xn∈A,x ,则存在子列 x∈A,由弱序列极限的惟一性x0=x∈A 定理15若X”是可分的,X必为可分的10 且仅当 1 sup n n x ≥ ＜∞ 并且存在 E ⊂ X ，span E 在 X 中稠密，对于每个 x E ∈ ， fn ( x fx ) () → . 证明与定理 9 类似，此处略. 定 义 5 线性赋范空间 X 中的子集 A 称为是弱序列闭集，若 n ∀ ∈ x A， 0 w n x → x 时， 0 x ∈ A . 称 A 是弱序列紧集，若 A 中任一无 穷序列有子序列弱收敛于 A 中元。空间 X 称为是弱序列完备的，若 X 中的每个弱 Cauchy 序列(即 f X ∗ ∀ ∈ ， fn ( x) 是 Cauchy 序列)都是弱收 敛序列. 在前面我们已经证明过一个集合的弱有界与按范数有界等价. 现 在我们证明 定理 13 设 X 是线性赋范空间， A ⊂ X 是凸集，则 A 是(强)闭集 当且仅当 A 是弱序列闭集. 特别地，一个线性子空间是闭的当且仅当 它是弱序列闭的. 证 明 设 A 是弱序列闭的， n x ∈ A ， 0 s n x →x ，自然有 0 w n x → x ，由弱序列闭性 0 x ∈ A ，故 A 是（强）闭的. 反之，若 A (强)闭， n x ∈ A， 0 w n x → x ，由定理 5，存在 {xn} 的 凸组合构成的序列 {yn} ， 0 s n y x → ，但 A 是凸集，所以 n y A ∈ ， A （强）闭，故 0 x ∈ A . 于是 A 弱序列闭. 定理 14 线性赋范空间中的每个弱序列紧集是弱序列闭的. 证明 设 A 是弱序列紧的， n x ∈ A ， 0 w n x → x ，则存在子列 0 k w n x → ∈ x A ′ ，由弱序列极限的惟一性 0 0 x = x A ′ ∈ . 定理 15 若 X ∗ 是可分的， X 必为可分的