定义4设X是线性赋范空间,X”是X的共轭空间,fn,f∈X 若x∈X,fn(x)→f(x),则称序列n弱星(w*)收敛于f,记为 f=v- .lim f或∫—">∫ 定理10w收敛序列的极限是惟一的 证明设fn”)f,J一”→∫,则Vx∈X,f(x)→f(x) fn(x)→f(x),于是f(x)=f(x),wx∈x,故∫=f 定理11设f,f∈X,fn—"→∫,则∫">f 证明若—">f,则vx∈X", (f)→x"( 但XcX”,Vx∈X若Jx=x”,则 fn(x)=x()→x”()=f(x), 例5收敛而不w收敛的泛函序列设en∈l,e如同例1.由 于c=1,wx=( en(x)=xn→>0,故 另一方面,()=P,取x”=(11…)∈P,则x”(en)=1 故en0 定理12设X是X的共轭空间,f,f∈X,则f-”→∫当9 定义 4 设 X 是线性赋范空间，X ∗ 是 X 的共轭空间， nf , f X ∗ ∈ ， 若 x X ∈ ， fn () () x fx → ，则称序列 nf 弱 星 (w*）收敛于 f ,记 为 lim n n f w f ∗ →∞ = − 或 w nf f ∗ → . 定理 10 w∗ 收敛序列的极限是惟一的. 证明 设 w nf f ∗ → ， w nf f ∗ → ′ ， .则 ∀ x X ∈ ，fn ( x fx ) () → ， fn ( ) x fx → ′( ) ，于是 f ( ) '( ), , x fx x X = ∀ ∈ 故 f = f '. 定理 11 设 nf ， f X ∗ ∈ ， w nf → f ，则 w nf f ∗ → . 证明 若 w nf → f ，则 x X ∗∗ ∗∗ ∀ ∈ ， ( ) ( ), n x f xf ∗∗ ∗∗ → 但 X X ∗∗ ⊂ ， ∀ ∈x X 若 Jx x∗∗ = ，则 ( ) ( ) ( ) ( ), n n f x x f x f fx ∗∗ ∗∗ = →= 故 w nf f ∗ → . 例 5 w∗ 收敛而不 w 收敛的泛函序列. 设 1 n e l ∈ ， n e 如同例 1. 由 于 1 0 c l ∗ = ， ( ) 12 0 ∀x = ∈ xx c , ,"" ， ( ) 0 n n ex x = → ，故 0 w n e ∗ → . 另一方面， ( ) 1 l l ∗ ∞ = ，取 x0 (1,1, ) l ∗∗ ∞ = "" ∈ ，则 0 ( ) 1 n x e ∗∗ = . 故 0 w n e → . 定理 12 设 X ∗ 是 X 的共轭空间， nf ， f X ∗ ∈ ，则 w* nf → f 当