spanG在]中稠密。现在记与x1相应的泛函为f,则 (x)= dt f(x)=(0)m=mx,()h 对照定理8即得出所要的结论 例4C[ab]中的序列{x}弱收敛于x的充要条件是 Sup|x<∞,并且对于每个t∈[a,b],xn()→x() 实际上,对于每个t∈[ab],定义(x)=x(),则是C[a,b]上 的线性泛函,并且(x)=1x()≤叫,故川≤1,fe[a c|<o并且f(x)→f(x) 反之,对于每个∫∈[a],存在a()∈v[,b],使得 f(x)=x(da(), Vx(ec[a, b 若定理中所说的条件成立,即|x≤M并且xn()→x(),v∈[ab 由 Stiltjes- Lebesque控制收敛定理得 Ro 即limf(x)=f(x),∫是任意的,故xn">x8 span G 在 [ , ] q L ab 中稠密。现在记与 [ ] 0 a t, χ 相应的泛函为 0t f ，则 ( ) [ ] () () 0 0 0 000 , , b t t a t a a f x x t dt x t dt = = χ ∫ ∫ ( ) [ ] () () 0 0 0 , . b t tn n n a t a a f x x t dt x t dt = = χ ∫ ∫ 对照定理 8 即得出所要的结论. 例 4 C ab [ , ] 中的序列 {xn} 弱收敛于 0 x 的充要条件是 1 sup n n x ≥ ＜∞ ，并且对于每个 t ab ∈[ , ]， xn (t xt ) → 0 ( ) . 实际上，对于每个 t ab ∈[ , ]，定义 ft ( x xt ) = ( ) ，则 t f 是 C ab [ , ] 上 的线性泛函，并且 ft ( ) x xt x = ≤ ( ) ，故 1 t f ≤ ， ft [a b, ] ∗ ∈ . 若 0 w n x → x ，必有 1 sup n n x ≥ ＜∞ 并 且 ftn t ( x fx ) → ( 0 ) ， 即 xn ( )t xt → 0 ( ) ( ) n → ∞ . 反之，对于每个 f [a b, ] ∗ ∈ ，存在 a t V ab ( ) 0 [ , ] ∗ ∈ ，使得 ( ) () () b a f x xtd t = α ∫ ， ∀ ∈ x (t C ab ) [ , ] 若定理中所说的条件成立，即 n x ≤ M 并且 xn (t xt ) → 0 ( ) , ∀ ∈t ab [ , ] ， 由 Stiltjes－Lebesque 控制收敛定理得 () () () () 0 lim . b b n n a a x td t x td t α α →∞ = ∫ ∫ 即 lim n ( ) ( 0 ) n f x fx →∞ = ， f 是任意的，故 0 w n x → x