故 例2(1p<叫)中的序列x0=(x°)m收敛于x0=(x吗)的 充要条件是 ()sp<;(2)W21x→x(n→) 实际上,由(P)=P(p2+g=1),设=10…01,0 G={;i2,则f∈P并且对于每个i (x")=x(n=12…) 最后, span G在鬥中是稠密的,对照定理8即得出所要的结论 例3L[a,b](1<p<∞)中的序列x=xn()弱收敛于x=x() 的充要条件是 (1)sup|xl<∞; (2)并且对于每个b∈[,b] imx、O)d=∫x()d 实际上,设G={ue[小],其中是区间[a的特征函 数。显然a∈[b](p2+q-=1),并且由 Lebesque积分理论7 故 w n x → x . 例 2 ( ) 1 p l p ＜ ＜∞ 中的序列 () () ( ) n n i x = x w收敛于 () () ( ) 0 0 i x = x 的 充要条件是: (1) ( ) 1 sup n p n x ≥ ＜∞ ; （2） ∀i ≥1, ( ) ( ) ( ) 0 . n i i x xn → →∞ 实际上，由 ( ) ( ) 1 1 1 p q l lp q ∗ − − = += ， 设 0, ,0,1,0, i i f   =       " " ， G fi = ≥ { i ; 1} ，则 q i f ∈l 并且对于每个 i ， ( ) ( ) ( ) ( ) 1, 2, n n i i fx x n = = " ， ( ) ( ) 0 0( ). i i f x x = 最后，span G 在 q l 中是稠密的，对照定理 8 即得出所要的结论. 例 3 [ , 1 ]( ) p L ab p ＜ ＜∞ 中的序列 xn n = x t( ) 弱收敛于 x0 0 = x t( ) 的充要条件是 （1） 1 sup n p n x ≥ ＜∞ ； （2）并且对于每个 t ab 0 ∈[ , ]， () () 0 0 0 lim t t n n a a x t dt x t dt →∞ = ∫ ∫ . 实际上，设 [ ] G t ab = ∈ {χ a t, ; , [ ]} ，其中 [ ] a t, χ 是区间 [a t, ] 的特征函 数。显然 [ ] [ ] , , q a t χ ∈ L ab ( ) 1 1 p q 1 − − + = ，并且由 Lebesque 积分理论