在M>0,|x“M,wx∈J(E),但==,x∈E故 |x≤M,Wx∈E,E是有界集 定理9xn—>x当且仅当下面两条成立 (2)存在GcX, span C在X中稠密,并且对于每个∫∈G f(x)→f( 证明若x"→x,显然{xn}是W有界集,由定理3 supr<∞,后半部分结论自然成立,必要性得证 反之,设|xsM(m),不妨也设|x≤M,当f(x)→f(x)对 于G中的所有∫成立时,由于极限运算的线性,对于 span g中的每 个∫仍然成立现在若f∈X”,对于任意的E>0,取f∈ span g, f-∫<E,关于∫",存在n,当n≥时 从而 f(x)-f(x)(x)-f(x)+f"(x,)-f(x) 8+f <(2 66 在 M＞0， x M ∗∗ ≤ ， x J E( ) ∗∗ ∀ ∈ ，但 Jx x x ∗∗ = = ， ∀ ∈x E ,故 x ≤ M ， ∀x E ∈ ， E 是有界集. 定理 9 w n x → x 当且仅当下面两条成立： (1) 1 sup n n x ≥ ＜∞ ； (2) 存在 G X ∗ ⊂ ，span G 在 X ∗ 中稠密，并且对于每个 f G∈ ， f ( x fx n ) → ( ) . 证 明 若 w n x → x ，显然 {xn} 是 w 有界集，由定理 3 ， 1 sup n n x ≥ ＜∞ ，后半部分结论自然成立，必要性得证. 反之，设 xn ≤ ∀ M n ( ) ，不妨也设 x ≤ M ，当 f ( x fx n ) () → 对 于 G 中的所有 f 成立时，由于极限运算的线性，对于 span G 中的每 个 f 仍然成立.现在若 f X ∗ ∈ ，对于任意的 ∀ε＞0，取 f ′∈ span G ， f f − ′ ＜ε ，关于 f ′ ，存在 0 n ，当 0 n n ≥ 时 fx fx ′ ′ ( n ) − ( ) ＜ε , 从而 f ( ) () x fx fx f x f x f x n nn n −≤ − + − ( ) ′ ′′ ( ) ( ) ( ) + − f ′( x fx ) ( ) n n ≤ − ++ − f f x f fx ′ ′ ε ＜( ) 2 1. M + ε