由定理1知==1设y={x,x∈x},则y<X”为线 性子空间,J是从X到y上的等距同构 将等距同构的空间看作同一空间,我们可以将X看作X”的线性 子空间,即XcX”,容易知道,当X是 Banach空间时,X是X”的 闭线性子空间.若X不是完备的,考虑X”的闭子空间J(X),一方 面J(X)为 Banach空间,另一方面X(即J(X)在J(x)中稠密,故 可以将J(X)看成x的完备化空间.这样,借助于二次共轭空间,我 们得到了线性赋范空间的一种完备化方法 定义3设X为线性赋范空间,X是X的共轭空间.称集合 EcX是弱()有界集,若对于每个∫∈X”,存在M>0使得 |x≤M/,Vx∈E 定理8集合ECX是w有界集,当且仅当E是有界集 证明若E有界,即存在M>0,|x≤M,x∈E,则对于每个 f∈X", (x)s|sfM=My,wx∈E E是w有界集 反之,若E是w有界的,J是从X到X”的自然嵌入,则J/(E)是 X"的子集对于每个∫∈X”, x()=|(x)sMn,vx∈(E) J(E)在X上点点有界,根据共鸣定理(注意X”为 Banach空间),存5 由定理 1 知 Jxx x ∗∗ = = . 设 Y Jx x X = ∈ { , }, 则 Y X ∗∗ ⊂ 为线 性子空间， J 是从 X 到 Y 上的等距同构. 将等距同构的空间看作同一空间，我们可以将 X 看作 X ∗∗ 的线性 子空间，即 X X ∗∗ ⊂ . 容易知道，当 X 是 Banach 空间时， X 是 X ∗∗ 的 闭线性子空间. 若 X 不是完备的，考虑 X ∗∗ 的闭子空间 J X( ) ，一方 面 J X( ) 为 Banach 空间，另一方面 X (即 J X( ))在 J X( ) 中稠密，故 可以将 J X( ) 看成 X 的完备化空间. 这样，借助于二次共轭空间，我 们得到了线性赋范空间的一种完备化方法. 定义 3 设 X 为线性赋范空间， X ∗ 是 X 的共轭空间. 称集合 E ⊂ X 是 弱 ( ) w 有界集，若对于每个 f X ∗ ∈ ，存在 0 M f ＞ 使 得 f x ≤ M ， ∀x E ∈ . 定理 8 集合 E ⊂ X 是 w 有界集，当且仅当 E 是有界集. 证明 若 E 有界，即存在 M＞0， x ≤ M ， x E ∈ ，则对于每个 f X ∗ ∈ ， ( ) f f x f x fM M ≤≤= ， ∀x E ∈ E 是 w 有界集. 反之，若 E 是 w 有界的，J 是从 X 到 X ∗∗ 的自然嵌入，则 J E( ) 是 X ∗∗ 的子集.对于每个 f X ∗ ∈ ， ( ) ( ) f x f fx M ∗∗ = ≤ , x J E( ) ∗∗ ∀ ∈ ， J E( ) 在 X ∗ 上点点有界，根据共鸣定理(注意 X ∗ 为 Banach 空间)，存