所以()|,x”ex 对于x≠0,由Hahn一 Banach定理的推论,存在∫∈x”,/=1并 且f(x)=|,从而 x|2x(O)=|/(x)=|对 故||= 当x=0时,取 定义2称算子J:X→X”,J=x”, "(=f(),f 是从X到X”的自然嵌入算子 若J(X)=X”,称X是自反空间 定理7自然嵌入算子是从X到X”的子空间上的等距同构 证明若Jx=x”,2=x”,则∈X,x”()=f(x) x2"()=f(x2),从而由定义 (ax”+Bx2“)(0)=ax"()+Bx“() (x)+Bf(x2) f(ax,+Bx2) 即J(ax+Bx2)=ax”+Bx2”=ax+B/x2,J是线性的4 所以 x ( ) f x ∗∗ ≤ ， x X ∗∗ ∗∗ ∈ . 对于 x ≠ 0 ，由 Hahn－Banach 定理的推论，存在 f X ∗ ∈ , f =1并 且 f ( ) x x = ，从而 x x f fx x ( ) ( ) ∗∗ ∗∗ ≥ == , 故 x x ∗∗ = . 当 x = 0 时，取 x 0 ∗∗ = . 定义 2 称算子 JX X : → ∗∗ ， Jx x∗∗ = ， x ( ) () f fx ∗∗ = ， f X ∗ ∀ ∈ (321 − − ) 是从 X 到 X ∗∗ 的自然嵌入算子. 若 JX X ( ) ∗∗ = ，称 X 是自反空间. 定理 7 自然嵌入算子是从 X 到 X ∗∗ 的子空间上的等距同构. 证 明 若 1 1 Jx x ∗∗ = ， 2 2 Jx x ∗∗ = ，则 f X ∗ ∀ ∈ ， x1 1 ( f fx ) () ∗∗ = ， x2 2 ( ) f fx( ) ∗∗ = ，从而由定义 (αβ α β x12 1 2 x f xf xf )( ) ( ) ( ) ∗∗ ∗∗ ∗∗ ∗∗ + =+ = + α β f ( x fx 1 2 ) ( ) = + f (α β x x 1 2 ) , 即 ( ) 12 1 2 Jx x x x αβ α β ∗∗ ∗∗ +=+ 1 2 =αJx Jx + β ， J 是线性的