+b+ 3a+2b4a+3b+2c4 0 a atb a+b+ 例3设D D=det(ay) D2=det(bi)= b 证明:(分析:对D1作行运算,相当于对D的前k行作相同的行运算,且D的后n行 不变;对D2作列运算,相当于对D的后n列作相同的列运算,且D的前k列不变。) 对D1作适当的运算r+kr,可将D1化为下三角形:同理作适当的列运算 c+kc;,可将D2化为下三角形,分别设为 P1 0 D, PuPA 故对D的前k行作上述行运算,和对D的后n列作上述列运算后,D可化为 D P1…pkq1…qm=D1D2 qn……q, 注这个例题有很深刻的意义:行列式可进行某种分块运算,且关于块的运算同于行 列式的运算2 1 3 1 3 2 4 1 4 2 4 3 2 3 3 4 0 0 0 0 2 2 3 2 4 3 2 0 0 0 0 3 7 3 3 6 3 10 6 3 0 0 2 0 0 0 0 r r r r r r r r r r r r a b c d a b c d a a b a b c a b c a a b D a a b a b c a b a a a b a b c a a b a b c d a a b abc a a b a a − − − − − − + + + + + + ===== ====== + + + + + + + + + + + ===== = + . 例 3 设 n nn n n nk k k kk k b b b b c c c c a a a a D             1 11 1 1 11 1 1 11 1 0 = ， k kk k ij a a a a D a     1 11 1 1 = det( ) = ， n nn n ij b b b b D b     1 11 1 2 = det( ) = ， 证明: D = D1D2 . 证明： (分析：对 D1 作行运算，相当于对 D 的前 k 行作相同的行运算，且 D 的后 n 行 不变；对 D2 作列运算，相当于对 D 的后 n 列作相同的列运算，且 D 的前 k 列不变。) ∵ 对 D1 作适当的运算 i j r + kr ，可将 D1 化为下三角形；同理作适当的列运算 i j c + kc ，可将 D2 化为下三角形，分别设为 kk k kk p p p p p D      11 1 11 1 0 = = = ， nn n nn q q q q q D      11 1 11 2 0 = = ， 故对 D 的前 k 行作上述行运算，和对 D 的后 n 列作上述列运算后，D 可化为 11 11 1 2 1 11 1 11 1 1 11 0 p p q q D D q q q c c c c p p p D kk nn n nk n nn k k kk = =   =           注 这个例题有很深刻的意义：行列式可进行某种分块运算，且关于块的运算同于行 列式的运算