这就证明了f(x)的右导数f(x)存在,类似可证明f(x)的左导数∫(x)存在。 注意到x∈(a,b)以及足够小的内,h2>0,若a<x-h1<x<x+h2<b,由式(2) 有 f(r-h,)-f(x)s f(+ h,)-f(r) 分别令h→>0,h2→>0,即得∫(x)≤∫(x)。 由定理1即可得到下面关于连续性的结论 定理2设函数∫是闭区间[a,b]上的凸函数,则函数∫在开区间(a,b)内连续 证对任意x∈(a,b),因 ∫(x+b)∫(x+h)-f(x) h+f(x) h 由定理1知m(x+b)-f(x) 存在,所以 h lim f(x+h)=lim/(x+h)-/(h+f(x)]=f() h→0 故∫在(a,b)内左连续。类似可得∫在(a,b)内右连续,从而∫在(a,b)内连续。 注尽管当函数∫是闭区间[a,6上的凸函数时,能得到∫在开区间(a,b)内连续,但 ∫在端点a及b上并不一定是单侧连续 例1考查-1函数f(x)={x,-1<x<1 (-1,2)2 (1,2) x= 的凸性与连续性 ∫(x)图像如图1所示。由图像可知,∫是[-1,1上 的凸函数,且在(-1,1)内连续,但∫在x=-1以及x=1 点均不单侧连续。 3区间端点附近的性态探讨 例1表明,闭区间[a,b上的凸函数∫可能在端点a或b处不连续。我们自然会问:对7 这就证明了 f (x) 的右导数 f (x) +  存在，类似可证明 f (x) 的左导数 f (x) −  存在。 注意到 x  (a,b) 以及足够小的 h1 ,h2  0 ，若 a  x − h1  x  x + h2  b ，由式（2）， 有 1 2 1 2 ( ) ( ) ( ) ( ) . f x h f x f x h f x h h - - + - £ - 分别令 → + → + h1 0 ,h2 0 ，即得 f (x) −  f (x) +   。 由定理 1 即可得到下面关于连续性的结论。 定理 2 设函数 f 是闭区间 [a,b] 上的凸函数，则函数 f 在开区间 (a,b) 内连续。 证 对任意 x  (a,b) ，因 ( ) ( ) ( ) ( ) h f x h f x h f x f x h + + − + = ， 由定理 1 知 h f x h f x h ( ) ( ) lim 0 + − → − 存在，所以 ( )] ( ) ( ) ( ) lim ( ) lim [ 0 0 h f x f x h f x h f x f x h h h + = + − + = → − → − ， 故 f 在 (a,b) 内左连续。类似可得 f 在 (a,b) 内右连续，从而 f 在 (a,b) 内连续。 注 尽管当函数 f 是闭区间 [a,b] 上的凸函数时，能得到 f 在开区间 (a,b) 内连续，但 f 在端点 a 及 b 上并不一定是单侧连续。 例 1 考查 [−1,1] 上函数      = −   = − = 2, 1 , 1 1, 2, 1, ( ) 2 x x x x f x 的凸性与连续性。 f (x) 图像如图 1 所示。由图像可知， f 是 [−1,1] 上 的凸函数，且在 (−1,1) 内连续，但 f 在 x = −1 以及 x =1 图 1 点均不单侧连续。 3 区间端点附近的性态探讨 例 1 表明，闭区间 [a,b] 上的凸函数 f 可能在端点 a 或 b 处不连续。我们自然会问：对