请作者严格按照该模板进行排版(请用word排版, Math Type公式编辑器编辑数学公式 (页面设置页边距:上2.5厘米,下25厘米,左25厘米,右2.5厘米) 中文文题 (二号宋体,单倍行距,居中。禁止使用非通用缩略词;尽量不出现“一种”、“研究”等词。) (中文标题与作者之间空一行) 李勇2,李顺文1,李伟2 小四号仿宋,单倍行距,居中。两个字作者名中间空一汉字格(即敲两下空格键),三个字的不空 姓名之间空一汉字格) (1.西华大学应用数学研究所,成都610039:2.宜宾学院数学研究所,四川宜宾644007) (小五号宋体,单倍行距,居中。省会城市只写城市名而非省会城市需写省名与城市名) [摘要]([]里的词是小五号黑体(不是加粗):中括号[]是宋体[]前空两汉字格) 摘要字数为100-180字。(①写明研究的目的、方法、结果和结论:②不以“本文”、“作者”、“我 们”等作为摘要陈述的主语:③不使用图、表或数学公式:④不使用一次文献中列出的章节号、图号、公 式号以及参考文献号等。) (摘要内容小五号宋体,单倍行距) [关键词]关键词1:关键词2:关键词3:关键词4 ([]里的词是小五号黑体(不是加粗):中括号[]是宋体[]前空两汉字格;内容是3~5个 小五号宋体,单倍行距,词之间用分号 [中图分类号]0177.5[文献标识码]A(B、C)[文章编号]1672-1454(2018)01 []里的词是小五号黑体(不是加粗);中括号[]是宋体,[]前空两汉字格;“中图分类号” 按照中图分类法中专业划分填写。文献标识码理论写A,应用写B,教学写C) 正文排版五号宋体,特殊标注除外 1引言 一级标题,顶格,小四号黑体(不是加粗):一级标题上下各空一行;“1”与“引”之间空一 汉字格,“引”与“言”之间空两汉字格) 参考文献必须在正文引用处标出,且按照引用顺序排序号。 文中出现的公式、图、表、定理、推理、定义、命题等,均要按其在正文中被引用的顺序,分 别采用阿拉伯数字排序,不以章节编号。 [收稿日期]2015-10-25:[修改日期]2016-01-18 [基金项目]国家自然科学基金(000000四川省教育厅自然科学重点项目(123A164) [作者简介]李勇(19**-),男,博(硕、学)士,教授(副教授、讲师、助教),从事**研究.Emi1:** ***(19**-),男,本科在读,*本专业.Emai1:** ***(19**-),男,硕士在读,**专业.Emai1:* ***(19**-),男,博士在读,**专业.Emai1l:**
请作者严格按照该模板进行排版（请用 word 排版，MathType 公式编辑器编辑数学公式） （页面设置页边距：上 2.5 厘米，下 2.5 厘米，左 2.5 厘米，右 2.5 厘米） 中文文题 （二号宋体，单倍行距，居中。禁止使用非通用缩略词；尽量不出现“一种”、“研究”等词。） （中文标题与作者之间空一行） 李 勇 1，2， 李顺文 1， 李 伟 2 （小四号仿宋，单倍行距，居中。两个字作者名中间空一汉字格(即敲两下空格键），三个字的不空； 姓名之间空一汉字格） （1.西华大学 应用数学研究所， 成都 610039；2.宜宾学院 数学研究所，四川 宜宾 644007） （小五号宋体，单倍行距，居中。省会城市只写城市名而非省会城市需写省名与城市名） [摘 要] （[ ]里的词是小五号黑体(不是加粗)；中括号[ ]是宋体;[ ]前空两汉字格） 摘要字数为 100-180 字。（①写明研究的目的、方法、结果和结论；②不以“本文”、“作者”、“我 们”等作为摘要陈述的主语；③不使用图、表或数学公式；④不使用一次文献中列出的章节号、图号、公 式号以及参考文献号等。） (摘要内容小五号宋体，单倍行距） [关键词] 关键词 1；关键词 2；关键词 3；关键词 4 （[ ]里的词是小五号黑体(不是加粗)；中括号[ ]是宋体;[ ]前空两汉字格；内容是 3~5 个 小五号宋体，单倍行距，词之间用分号） [中图分类号] O177.5 [文献标识码] A（B、C） [文章编号] 1672-1454(2018)01- （[ ]里的词是小五号黑体(不是加粗)；中括号[ ]是宋体;[ ]前空两汉字格；“中图分类号” 按照中图分类法中专业划分填写。文献标识码理论写 A，应用写 B，教学写 C） 正文排版五号宋体，特殊标注除外 1 引 言 （一级标题，顶格，小四号黑体（不是加粗）；一级标题上下各空一行;“1”与“引”之间空一 汉字格，“引”与“言”之间空两汉字格） 参考文献必须在正文引用处标出，且按照引用顺序排序号。 文中出现的公式、图、表、定理、推理、定义、命题等，均要按其在正文中被引用的顺序，分 别采用阿拉伯数字排序，不以章节编号。 [收稿日期] 2015-10-25；[修改日期] 2016-01-18 [基金项目] 国家自然科学基金（00000000）；四川省教育厅自然科学重点项目（123A164） [作者简介] 李勇（19**-）,男，博（硕、学）士，教授（副教授、讲师、助教），从事***研究.Email:**** * * * （19**-）,男，本科在读，***专业.Email:**** * * * （19**-）,男，硕士在读，***专业.Email:**** * * * （19**-）,男，博士在读，***专业.Email:****
收稿日期就是您的投稿日期,修改日期就是稿件修改后发到编辑部的日期。 作者简介仅需第一作者,若有通讯作者按作者简介格式写全信息 (此块放在首页正文下方,正文排版不是页脚,按要求写全信息;[]里的词是小五号黑体(不 是加粗)中括号[]是宋体内容排小五号宋体 2一级标题 标题顶格,小四号黑体(不是加粗);一级标题上下各空一行) 2.1数学量与符号使用规范 (二级标题,五号黑体(不是加粗) 量的单位采用英文表示,量的数值与量的单位之间留一空格,如“10毫米应为“10mm”。 2.1.1使用黑斜体的情况 (i)矩阵,如A= 34 (矩阵字母用黑体) (ⅱi)矢量(向量),如r(x,y,r),a=(an,a2,3) (向量字母用黑体,不用箭头) 2.1.2使用空心正体的情况 复数集￡、实数集i、有理数集¤、整数集￠、自然数集￥,及其扩展情况,如正整数集￠+, 维实坐标向量空间 若空心字母敲不出请用彩色标出以便识别) 223文中内容(如定理、引理、命题、结论……)若按序号列出用罗马数 (请注意各级标题序号和文中序号的排版格式,请参考您正在看的此模板) 224文中公式若按序号列出用阿拉伯数(重要的和下文需用的写序号,其他的不用写) P(x)y+P(x)y=o(x) 2.2.5使用白斜体的情况 (i)变量的符号 (i)一般函数符号 2.2.6使用正体的情况 (i)单位,如m,km (ⅲi)表示数学运算的符号或常用函数,如矩阵转置符T、矩阵求秩函数rank(A)、正弦函数sin、 微分符号d、复数虚部ⅰ、有限增量符号Δ等 2.2图 文图要求线条清晰。正文中图随文后,且图必须放在本节内,不得跨节出现。一般图放右侧左 边串文。图字为小五号黑体。多幅可并排 示例 若要实解存在,由判别式大于等于零得 q 根据假设条件,若上式取大于号,得到(<0,则(存在范围宽 图1范围示意图
收稿日期就是您的投稿日期，修改日期就是稿件修改后发到编辑部的日期。 作者简介仅需第一作者，若有通讯作者按作者简介格式写全信息 （此块放在首页正文下方，正文排版不是页脚，按要求写全信息；[ ]里的词是小五号黑体(不 是加粗) 中括号[ ]是宋体;内容排小五号宋体 2 一级标题 （一级标题顶格，小四号黑体（不是加粗）；一级标题上下各空一行） 2.1 数学量与符号使用规范 （二级标题，五号黑体（不是加粗）） 量的单位采用英文表示，量的数值与量的单位之间留一空格，如“10 毫米”应为“10 mm”。 2.1.1 使用黑斜体的情况 （i）矩阵，如 A= 1 2 3 4 ； （矩阵字母用黑体） （ii）矢量（向量），如 r=（x, y, r），α=（α1, α2, α3）。 （向量字母用黑体，不用箭头） 2.1.2 使用空心正体的情况 复数集 £ 、实数集 ¡ 、有理数集 ¤ 、整数集 ¢ 、自然数集 ¥ ，及其扩展情况，如正整数集 + ¢ ， n 维实坐标向量空间 n ¡ 等。 （若空心字母敲不出请用彩色标出以便识别） 2.2.3 文中内容（如定理、引理、命题、结论……）若按序号列出用罗马数 （i）……； （ii）……. （请注意各级标题序号和文中序号的排版格式,请参考您正在看的此模板） 2.2.4 文中公式若按序号列出用阿拉伯数（重要的和下文需用的写序号，其他的不用写） 1 2 y P x y P x y Q x + + = ( ) ( ) ( ) ， ⑴ 2.2.5 使用白斜体的情况 (i) 变量的符号； (ii) 一般函数符号。 2.2.6 使用正体的情况 (i) 常量，如 π，e； (ii) 单位，如 m，km； (iii) 表示数学运算的符号或常用函数，如矩阵转置符 T、矩阵求秩函数 rank(A)、正弦函数 sin、 微分符号 d、复数虚部 i、有限增量符号 Δ 等。 2.2 图 文图要求线条清晰。正文中图随文后，且图必须放在本节内，不得跨节出现。一般图放右侧左 边串文。图字为小五号黑体。多幅可并排。 示例 若要实解存在，由判别式大于等于零得 2 ( ) sin 1. sin f a q j q ¢ ? 根据假设条件，若上式取大于号，得到f()<0，则f()存在范围宽 图 1 范围示意图 o /2 -a -asin f ′() f′
80D 400 己00 00400 800 图2 图3障碍物包络图 2.3表 文中所建表格必须有表头并放在第一行。正文中表随文后,且不能跨节 (表头用小五号黑体 表身内的数据一般不带单位。若全表数据单位一致,将单位置于表格右上角,右端空一格:若 每行或每列数据单位一致,则将单位归并于量的名称式符号后,即量/单位 (表身用小五号宋体) 表1算法运行时间比较 算法 A/(°) BB/Hz 本文/(%) 注(说明,分析) (“注”、“说明”、“分析”等用五号华文楷体:内容用宋体) 2.4公式 公式、正文中的变量均需采用公式编辑器录入,居中排,全文顺序排号。公式太长需要换行的, 后一行以运算符开始,如 =(x+3xy+32+y)o 2/x2+3xy)hdhy(D为D中y>0的部分) (重要的与下文需用的写序号,其他的不用写) 2.5其他 定理1定理名称。定理描述。 证(不写证明) (“定义”、“定理”、“引理”、“例”、“证”、“解”等用五号黑体(不是加粗):内容排宋体) 结论 (一级标题,顶格,小四号黑体,“结”与“论”之间空两个汉字格:一级标题上下各空一行) 总结本文方法及取得的成绩,切勿简单重复摘要内容
图 2 图 3 障碍物包络图 2.3 表 文中所建表格必须有表头并放在第一行。正文中表随文后，且不能跨节。 （表头用小五号黑体） 表身内的数据一般不带单位。若全表数据单位一致，将单位置于表格右上角，右端空一格；若 每行或每列数据单位一致，则将单位归并于量的名称式符号后，即量/单位。 （表身用小五号宋体） 表 1 算法运行时间比较 ms 算法 V/(m/s) 10 100 1 000 AA/(°) …1) … … BB/Hz … … … 本文/(%) … … … 注（说明，分析） …… （“注”、“说明”、“分析”等用五号华文楷体；内容用宋体） 2.4 公式 公式、正文中的变量均需采用公式编辑器录入，居中排，全文顺序排号。公式太长需要换行的， 后一行以运算符开始，如 3 2 2 3 ( 3 3 ) D I x x y xy y dxdy = + + + 1 3 2 2 ( 3 ) D = + x xy dxdy （ D1 为 D 中 y 0 的部分） （1） （重要的与下文需用的写序号，其他的不用写） 2.5 其他 定理 1 定理名称。定理描述。 证（不写证明） （“定义”、“定理”、“引理”、“例”、“证”、“解”等用五号黑体（不是加粗）；内容排宋体） 3 结 论 （一级标题，顶格，小四号黑体，“结”与“论”之间空两个汉字格；一级标题上下各空一行） 总结本文方法及取得的成绩，切勿简单重复摘要内容
[参考文献 (五号黑体,居中;字之间空一汉字格) [1]作者姓名.文章题目[J].期刊名称,年份,卷(期):起止页码. [2]作者姓名.书名[M].版次.出版地:出版社名,年份:页码.(首次出版的版次不用写,页码可以不写) 3]析出文献主要责任者.析出文献题名[M//专著主要责任者.专著题名.出版地:出版者,出版年:析出文献的页 [4]析出文献主要责任者.析出文献题名[C]//专著主要责任者.会议论文集名.出版地:出版者,出版年:析出文献 的页码 示例 [1]张量,宋卫东.正螺面的两个特征[J.大学数学,2009,25(5):145-147 [2] Foster D P, George E I. The risk inflation criterion for multiple regression[J]. The Annals of Statistics,1994,22(4):1947-1975 [3]余敏.出版集团研究[M].3版.北京:中国世纪出版社,2001:179-193 Baker S K, Jackson M E. The future of resource sharing[M]. New York: The Haworth Press, 1995. [5]程根伟.1998年长江洪水的成因与减灾对策[M∥/许厚泽,赵其国.长江流域洪涝灾害与科技对策.北京:科学出 版社,1999:32-36. [6]钟文发.非线性规划在可燃毒物配置中的应用[C]//赵玮.运筹学的理论与应用:中国运筹学会第五届大会论文 集.西安:西安电子科技大学出版社,1996:468-471. (顶格排版。小五号,宋体。序号与内容之间空一汉字格) Solution to Base on the similar Structure of the Double Porosity-Multilayer reservoir (除虚词外,每个单词的首写字母均大写。(三号新罗马( Times New Roman),加粗,居中;标题上 下各空一行) LI Yong, LI Shun-wen, LI Wei (作者姓全大写,名首字母大写:名之间空一汉字格) (1. Institute of Applied Mathematics, Xihua University, Chengdu 610039, China; 2. Institution of Mathematical Science, Y ibin University, Yibin Sicuan 644007, China) 小五号新罗马,正体,单倍行距,居中须提供单位正式英文名称,不能使用简写或缩写。) (地址与摘要之间空一行) Δ bstract:(英文摘要应是中文摘要的直译,所以只要简洁、准确地逕段将文章译出即可,时态常用 般现在时间、一般过去时,少用或不用现在完成时、过去完成时、进行时态和其他复合时态。尽量使用短 句,但也要避免章调和重复。第一次出现缩略语需要提供英文全称,格式为" multiple input multiple ouψput (MIMO”) (“ Abstract:”排小五号新罗马,加粗:内容小五号新罗马不加粗) Key words: wordI; word; word3; word4 (“ Key words:"排小五号新罗马,加粗;内容小五号新罗马不加粗;词之间用分号
[参 考 文 献] （五号黑体，居中；字之间空一汉字格） [1] 作者姓名.文章题目[J].期刊名称，年份，卷（期）：起止页码. [2] 作者姓名.书名[M].版次.出版地：出版社名，年份：页码.（首次出版的版次不用写，页码可以不写） [3] 析出文献主要责任者.析出文献题名[M]//专著主要责任者.专著题名.出版地：出版者，出版年：析出文献的页 码. [4] 析出文献主要责任者.析出文献题名[C]//专著主要责任者.会议论文集名.出版地：出版者，出版年：析出文献 的页码. 示例： [1] 张量，宋卫东.正螺面的两个特征[J].大学数学，2009,25（5）：145-147. [2] Foster D P, George E I. The risk inflation criterion for multiple regression[J]. The Annals of Statistics, 1994, 22(4): 1947-1975. [3] 余敏.出版集团研究[M].3 版.北京：中国世纪出版社，2001:179-193. [4] Baker S K，Jackson M E.The future of resource sharing[M].New York:The Haworth Press,1995. [5] 程根伟.1998 年长江洪水的成因与减灾对策[M]//许厚泽，赵其国.长江流域洪涝灾害与科技对策.北京：科学出 版社，1999:32-36. [6] 钟文发.非线性规划在可燃毒物配置中的应用[C]//赵玮.运筹学的理论与应用：中国运筹学会第五届大会论文 集.西安：西安电子科技大学出版社，1996:468-471. （顶格排版。小五号，宋体。序号与内容之间空一汉字格） Solution to Base on the Similar Structure of the Double Porosity-Multilayer Reservoir （除虚词外，每个单词的首写字母均大写。（三号新罗马(Times New Roman)，加粗，居中；标题上 下各空一行） LI Yong 1，2， LI Shun-wen 1， LI Wei 2 （作者姓全大写，名首字母大写；名之间空一汉字格） (1. Institute of Applied Mathematics,Xihua University，Chengdu 610039, China; 2. Institution of Mathematical Science,Yibin University,Yibin Sicuan 644007,China) （小五号新罗马，正体，单倍行距，居中须提供单位正式英文名称，不能使用简写或缩写。） （地址与摘要之间空一行） Abstract:（英文摘要应是中文摘要的直译，所以只要简洁、准确地逐段将文章译出即可，时态常用一 般现在时间、一般过去时，少用或不用现在完成时、过去完成时、进行时态和其他复合时态。尽量使用短 句，但也要避免单调和重复。第一次出现缩略语需要提供英文全称，格式为“multiple input multiple output (MIMO)”） （“Abstract:”排小五号新罗马，加粗；内容小五号新罗马不加粗） Key words: word1; word2; word3; word4 （“Key words:” 排小五号新罗马，加粗；内容小五号新罗马不加粗；词之间用分号
关于凸性的一些探讨 廖俊俊,吴洁 (华中科技大学数学与统计学院,武汉430074 [摘要]现行的不少教材在叙述凸函数定义时,通常都假设函数是连续的。本文以没有连续为前提的 凸函数的定义为基础,探讨了函数的连续性,左右导数的存在性,凸函数在区间端点的形态,最后利 用左右导数,给出了判定函数为凸的一个充要条件。 [关键词]连续性:凸函数:左导数:右导数 [中图分类号]0172.1[文献标识码]C[文章编号]1672-1454(2017)05- 在第二届全国大学生数学竞赛(数学类,预赛)中有如下试题 设DcR2是凸区域,函数∫(x,y)是凸函数,证明或否定:f(x,y)在D上连续 注函数f(x,y)是凸函数的定义是va∈(01)以及(x1y1)(x2y2)∈D,成立 f(ax+(1-a)x2,ay1+(-a)y2)≤af(x1,y1)+(1-a)f(x2,y2) 答案是肯定的。需要说明的是,这里所说的凸函数( convex function),在现行的有些 教材中称为下凸函数。 上述试题引起了我们的思考,原因是现行的不少教材在叙述凸函数的定义时,通常都假 设函数是连续的,即便有的教材叙述凸函数的定义时没有连续这一条件n,也并没有以 此为基础讨论函数的分析性质。最近的文[8],也仅讨论了凸函数单侧导数的连续性。本文 以没有连续为前提的一元凸函数义为基础,探讨了函数的连续性,左右导数的存在性,凸函 数在区间端点的形态,最后利用左右导数,给出判别凸函数的一个充要条件。 2凸函数的定义及连续性 定义1设函数∫在闭区间[ab]上有定义,若va∈(01)以及x1,x2∈[ab, [收稿日期]2016-05-13:[修改日期]2016-06-20 [基金项目]华中科技大学2015年教学研究项目(2015068) [作者简介]廖俊俊(1973-),男,博士,讲师,从事随机分析、泛函分析研究 [通讯作者]吴洁(1962-),女,硕士,教授,主要从事微积分教学与研究.Email:wuJie627415163.com
关于凸性的一些探讨 廖俊俊， 吴 洁 （华中科技大学 数学与统计学院,武汉 430074） [摘 要] 现行的不少教材在叙述凸函数定义时，通常都假设函数是连续的。本文以没有连续为前提的 一元凸函数的定义为基础，探讨了函数的连续性，左右导数的存在性，凸函数在区间端点的形态，最后利 用左右导数，给出了判定函数为凸的一个充要条件。 [关键词] 连续性；凸函数；左导数；右导数 [中图分类号] O172.1 [文献标识码] C [文章编号] 1672-1454(2017)05- 1 引 言 在第二届全国大学生数学竞赛（数学类，预赛）中有如下试题： 设 2 D R 是凸区域，函数 f (x, y) 是凸函数，证明或否定： f (x, y) 在 D 上连续。 注 函数 f (x, y) 是凸函数的定义是 (0,1) 以及 (x1 , y1 ),(x2 y2 )D ，成立 ( (1 ) , (1 ) ) ( , ) (1 ) ( , ) 1 2 1 2 1 1 2 2 f x + − x y + − y f x y + − f x y . 答案是肯定的。需要说明的是，这里所说的凸函数（convex function），在现行的有些 教材中称为下凸函数。 上述试题引起了我们的思考，原因是现行的不少教材在叙述凸函数的定义时，通常都假 设函数是连续的 [1-4 ] ，即便有的教材叙述凸函数的定义时没有连续这一条件[5-7]，也并没有以 此为基础讨论函数的分析性质。最近的文[8]，也仅讨论了凸函数单侧导数的连续性。本文 以没有连续为前提的一元凸函数义为基础，探讨了函数的连续性，左右导数的存在性，凸函 数在区间端点的形态，最后利用左右导数，给出判别凸函数的一个充要条件。 2 凸函数的定义及连续性 定义 1 [7] 设函数 f 在闭区间 [a,b] 上有定义，若 (0,1) 以及 , [ , ] x1 x2 a b ， 成立 [收稿日期] 2016-05-13； [修改日期] 2016-06-20 [基金项目] 华中科技大学 2015 年教学研究项目（2015068） [作者简介] 廖俊俊（1973-）,男，博士，讲师，从事随机分析、泛函分析研究. Email:liaojunjun@hust.edu.cn [通讯作者] 吴洁（1962-）,女，硕士，教授，主要从事微积分教学与研究.Email:wujie627415@163.com
f(ax1+(1-a)x2)≤af(x1)+(1-a)f(x2), 则称函数∫在[a,b]上是凸函数 式(1)等价于对任意的a≤x10,使得x0且x+h<b时,函数F(h)是单调增的。由于a<x<x+h<b,根据式(2) f(x)-f(a ≤F(h),由此知当h单调递减趋于0时,F(h)单调递减且有下界,故极限 存在,即有 f(x)=lim F(h)=lim /(x+ h)-f(x) h
6 ( (1 ) ) ( ) (1 ) ( ) 1 2 1 2 f x + − x f x + − f x , （1） 则称函数 f 在 [a,b] 上是凸函数。 式（1）等价于对任意的 a x1 x2 b 以及 ( , ) 1 2 x x 内任意一点 x ，成立 1 1 ( ) ( ) x x f x f x − − x x f x f x − − 2 2 ( ) ( ) , （2） 也等价于 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 2 1 2 1 x x f x x x f x f x f x − + − − . （3） 在几何上等价于任意两点 , ( )) 1 1 （x f x 和 , ( )) 2 2 （x f x 之间的弧位于这两点连线的下方。 如果将 [a,b] 换成 (a,b) ，则得到相应的开区间内的凸函数定义。 下述定理 1 将告诉我们，凸函数在开区间内每一点都存在左导数与右导数。 定理 1 设函数 f 是闭区间 [a,b] 上的凸函数，则对任意 x (a,b) ， f (x) 的右导数 f (x) + 、左导数 f (x) − 均存在；且 f (x) − f (x) + . 证 对任意 x (a,b) ，令 h f x h f x F h ( ) ( ) ( ) + − = ， 任取充分小的 h1 ,h2 0 ，使得 x x + h1 x + h2 b ，利用式（2），有 1 2 1 1 2 1 f x h f x f x h f x h ( ) ( ) ( ) ( ) h h h + - + - + £ - ， 于是 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 1 1 1 F h h f x h f x h f x h f x F h = + − + − = ， 可见当 h 0 且 x + h b 时，函数 F(h) 是单调增的。由于 a x x + h b ，根据式(2) 有 ( ) ( ) ( ) F h x a f x f a − − ，由此知当 h 单调递减趋于 0 时， F(h) 单调递减且有下界，故极限 存在，即有 h f x h f x f x F h h h ( ) ( ) ( ) lim ( ) lim 0 0 + − = = + → + → +
这就证明了f(x)的右导数f(x)存在,类似可证明f(x)的左导数∫(x)存在。 注意到x∈(a,b)以及足够小的内,h2>0,若a0,h2→>0,即得∫(x)≤∫(x)。 由定理1即可得到下面关于连续性的结论 定理2设函数∫是闭区间[a,b]上的凸函数,则函数∫在开区间(a,b)内连续 证对任意x∈(a,b),因 ∫(x+b)∫(x+h)-f(x) h+f(x) h 由定理1知m(x+b)-f(x) 存在,所以 h lim f(x+h)=lim/(x+h)-/(h+f(x)]=f() h→0 故∫在(a,b)内左连续。类似可得∫在(a,b)内右连续,从而∫在(a,b)内连续。 注尽管当函数∫是闭区间[a,6上的凸函数时,能得到∫在开区间(a,b)内连续,但 ∫在端点a及b上并不一定是单侧连续 例1考查-1函数f(x)={x,-1<x<1 (-1,2)2 (1,2) x= 的凸性与连续性 ∫(x)图像如图1所示。由图像可知,∫是[-1,1上 的凸函数,且在(-1,1)内连续,但∫在x=-1以及x=1 点均不单侧连续。 3区间端点附近的性态探讨 例1表明,闭区间[a,b上的凸函数∫可能在端点a或b处不连续。我们自然会问:对
7 这就证明了 f (x) 的右导数 f (x) + 存在，类似可证明 f (x) 的左导数 f (x) − 存在。 注意到 x (a,b) 以及足够小的 h1 ,h2 0 ，若 a x − h1 x x + h2 b ，由式（2）， 有 1 2 1 2 ( ) ( ) ( ) ( ) . f x h f x f x h f x h h - - + - £ - 分别令 → + → + h1 0 ,h2 0 ，即得 f (x) − f (x) + 。 由定理 1 即可得到下面关于连续性的结论。 定理 2 设函数 f 是闭区间 [a,b] 上的凸函数，则函数 f 在开区间 (a,b) 内连续。 证 对任意 x (a,b) ，因 ( ) ( ) ( ) ( ) h f x h f x h f x f x h + + − + = ， 由定理 1 知 h f x h f x h ( ) ( ) lim 0 + − → − 存在，所以 ( )] ( ) ( ) ( ) lim ( ) lim [ 0 0 h f x f x h f x h f x f x h h h + = + − + = → − → − ， 故 f 在 (a,b) 内左连续。类似可得 f 在 (a,b) 内右连续，从而 f 在 (a,b) 内连续。 注 尽管当函数 f 是闭区间 [a,b] 上的凸函数时，能得到 f 在开区间 (a,b) 内连续，但 f 在端点 a 及 b 上并不一定是单侧连续。 例 1 考查 [−1,1] 上函数 = − = − = 2, 1 , 1 1, 2, 1, ( ) 2 x x x x f x 的凸性与连续性。 f (x) 图像如图 1 所示。由图像可知， f 是 [−1,1] 上 的凸函数，且在 (−1,1) 内连续，但 f 在 x = −1 以及 x =1 图 1 点均不单侧连续。 3 区间端点附近的性态探讨 例 1 表明，闭区间 [a,b] 上的凸函数 f 可能在端点 a 或 b 处不连续。我们自然会问：对
于一个闭区间上的凸函数,当它在端点不连续时,其在端点附近的形态如何?下面的定理回 答了这个问题。 定理3设函数∫是闭区间[a,b]上的凸函数,则函数∫在端点a和b单侧极限都存在, 并且f(a)≤f(a),∫(b-)≤f(b) 证仅证f(a)≤f(a)(f(b-)≤∫(b)可类似证明).对任意x∈(a,b),f∫是闭区间 [a,b]上的凸函数,由凸函数定义得 f(x)≤,-f(a) (4) 所以f(x)图f(a)+|f(b)|,即函数∫在[ab]上有界。任意aa并取上极限,得Imf(y)≤mf(x),注意到∫在[a,b上有界,由 此知imf(x)存在。进一步,由式(4),令x→a即得f(a4)≤f(a) 上述结论告诉我们,尽管闭区间上的凸函数在端点可能不连续,但形态也相当好一一具 有单侧极限 对于一个开区间内的凸函数,它在区间端点附近又会是什么样的表现呢?请看定理4。 定理4设函数∫是(a,b)内的凸函数,则 (i)对于端点a,要么∫(a')存在,要么∫(a')=+∞ (i)对于端点b,要么∫(b)存在,要么∫(b)=+∞
8 于一个闭区间上的凸函数，当它在端点不连续时，其在端点附近的形态如何？下面的定理回 答了这个问题。 定理 3 设函数 f 是闭区间 [a,b] 上的凸函数，则函数 f 在端点 a 和 b 单侧极限都存在， 并且 f (a ) f (a) + ， f (b ) f (b) − . 证 仅证 f (a ) f (a) + ( f (b ) f (b) − 可类似证明).对任意 x (a,b) ， f 是闭区间 [a,b] 上的凸函数，由凸函数定义得 ( ) ( ) f (b) b a x a f a b a b x f x − − + − − , （4） 所以 | f (x) || f (a) | + | f (b) | ，即函数 f 在 [a,b] 上有界。任意 a x y c1 c b ，由 （2）知 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) c c f c f c y x f y f x − − − − ， 即有 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 y x f x c c f c f c f y − + − − . 固定 c ,c 1 ，上式两边令 → + x a 并取下极限，得 ( ) lim ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 y x f x c c f c f c f y x a → + − + − − ， 上式两边令 → + y a 并取上极限，得 lim f (y) lim f (x) x a y a + + → → ，注意到 f 在 [a,b] 上有界，由 此知 lim f (x) x a → + 存在。进一步，由式(4)，令 → + x a 即得 f (a ) f (a) + . 上述结论告诉我们，尽管闭区间上的凸函数在端点可能不连续，但形态也相当好——具 有单侧极限。 对于一个开区间内的凸函数，它在区间端点附近又会是什么样的表现呢？请看定理 4。 定理 4 设函数 f 是 (a,b) 内的凸函数，则 (i）对于端点 a ，要么 ( ) + f a 存在，要么 = + + f (a ) ； (ii）对于端点 b ，要么 ( ) − f b 存在，要么 = + − f (b )
证(i)任取ax时,(x)-/(x)≤0 于是 x)=(x)-f)20:Ax0)=m<(x)-(xn2?0 从而f(x0)≥0≥f(x0).而另一方面,根据条件有∫(x)≤∫(x),因此 f0)=∫(x0)=0
9 证 (i）任取 a x y b ，以及任意 y c1 c b ，由凸函数定义，有 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) c c f c f c y x f y f x − − − − ， 令 → − c c 1 ，由定理 1，得 ( ) ( ) ( ) f c y x f y f x − − − ，于是 f (y) − f (c)(y − x) f (x) − . 令 → + x a ，取下极限，即有 f ( y) f (c)( y a) lim f (x) x a → + − − − ，此时显然有 ( ) lim ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 y x f x c c f c f c f y x a → + − + − − ， 再令 → + y a ，并取上极限，得 lim f (y) lim f (x) x a y a + + → → . 由此，得到 ① 如果 lim f (x) x a → + 存在，那么 ( ) + f a 存在； ② 如果 = + → + lim f (x) x a ，那么 = + + f (a ) . (ii）的证明与(i)类似。 4 凸函数的单侧导数判别定理 最后，用单侧导数导出一个函数为凸函数的充要条件。为此，先证明 Fermat 定理的一 个推广。 引理1 设 (a,b) 内的函数 f 在点 ( , ) x0 a b 的左、右导数都存在，且 ( ) ( ) 0 0 f x f x − + . 如果 0 x 为 f 的一个极大值点，那么 f 在 0 x 点可导，且有 f (x0 ) = 0 . 证 由条件，当 0 x x 时， 0 ( ) ( ) 0 0 − − x x f x f x ；当 0 x x 时， 0 ( ) ( ) 0 0 − − x x f x f x ， 于是 0 ( ) ( ) ( ) lim 0 0 0 0 − − = − → − x x f x f x f x x x ； 0 0 0 0 ( ) ( ) ( ) lim 0. x x f x f x f x x x + + ® - ¢ = ? - 从而 ( ) 0 ( ) 0 0 f x f x − + .而另一方面，根据条件有 0 0 f x f x ( ) ( ) − + ，因此 0 0 f x f x ( ) ( ) 0. - + ⅱ = =
∫在x0点可导,且有f(x0)=0 注容易知道,对于极小值点也有与引理1对偶的结论 定理5函数∫是闭区间[a,b上的凸函数的充要条件是∫在开区间(a,b)内任一点的 左、右导数都存在,以及在端点a,b处对应的单侧极限存在,且满足 (i)对任意ay,得厂(x)≤f(x)≤∫(y)≤∫(0),即(i) 充分性。首先对任意x∈(a,b),函数在x点的左右导数都存在,故函数在(a,b)内连续 其次,因为在端点的单侧极限存在以及条件(i),所以不妨假设f(a)=f(a) ∫(b)=f(b).对任意a≤x10.由引理1,有 g'(x0)=0.令x=5s甲p{y∈[x,x)g()=0},由g的连续性,这样的x是存在且 g(x1)=0.显然,对x10.于是
10 即 f 在 0 x 点可导，且有 f (x0 ) = 0 . 注 容易知道，对于极小值点也有与引理 1 对偶的结论。 定理 5 函数 f 是闭区间 [a,b] 上的凸函数的充要条件是 f 在开区间 (a,b) 内任一点的 左、右导数都存在，以及在端点 a,b 处对应的单侧极限存在，且满足 (i）对任意 a x y b ，成立 f (x) f (x) f (y) f (y) − + − + ； (ii） f (a ) f (a) + ， f (b ) f (b) − . 证 必要性。由定理1知 f 在 (a,b) 内任一点的左右导数都存在，再由定理3可知 f 在端 点 a 和 b 处相应的单侧极限都存在，并且 f (a ) f (a) + ， f (b ) f (b) − 。即得(ii)成立。 对任意 a x y b ，任取 a x1 x x2 y1 y y2 b ，由式（2），得 x x f x f x x x f x f x − − − − 2 2 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) y y f y f y y y f y f y − − − − 2 2 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ， 分别令 → − → + → − → + x x x x y y y y 1 2 1 2 , , , ，得 f (x) f (x) f (y) f (y) − + − + ，即(i) 成立。 充分性。首先对任意 x (a,b) ，函数在 x 点的左右导数都存在，故函数在 (a,b) 内连续； 其次，因为在端点的单侧极限存在以及条件(ii），所以不妨假设 f (a ) = f (a) + ， f (b ) = f (b) − . 对任意 a x1 x2 b ，记 − + − − = − ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 2 1 2 1 x x f x x x f x f x g x f x ， 显然 g 是连续函数，且对 1 2 x x y x ，有 g (x) g (x) g (y) g (y) − + − + . （5） 由凸函数定义的式（3）形式知，只需证对 1 2 x x x ， g(x) 0 . 用反证法：若不然，则存在 ( , ) 0 1 2 x x x 使得 ( ) max ( ) 0 1 2 0 = g x g x x x x . 由引理1，有 g (x0 ) = 0 . 令 sup{ [ , ) ( ) 0} x1 = y x1 x0 g y = ，由 g 的连续性，这样的 1 x 是存在且 g(x1 ) = 0. 显然，对 1 0 x x x ，有 g(x) 0. 于是