中间值定理 定理34.4若函数∫(x)在闭区间[a,b]上连续,则它一定能取到 最大值M=max{f(x)x∈[a,b]}和最小值m=min{f(x)|x∈[anb]}之间的任 何一个值。 证由最值定理,存在5,n∈[a,b,使得 f(5)=m,f(n)=M 不妨设ξ<η,对任何一个中间值C,m<C<M,考察辅助函数 (x)=f(x)-C 因为a(x)在闭区间[,n上连续,()=f()-C<0, o(m)=f(m)-C>0,由零点存在定理,必有s∈(,m),使得 0(5)=0,即f(g)=C。 证毕中间值定理 定理3.4.4 若函数 f x( ) 在闭区间 ba ],[ 上连续，则它一定能取到 最大值M = max { f ( ) x x ab | ∈[,]}和最小值m = min { f ( ) x x ab | ∈[,]}之间的任 何一个值。 证 由最值定理，存在ξ,η ∈ ba ],[ ，使得 f ( ) ξ = m， f ( ) η = M 。 不妨设ξ < η，对任何一个中间值Cm C M , < < ，考察辅助函数 ϕ() () x f = x C− 。 因为ϕ( ) x 在闭区间[,] ξ η 上连续，ϕ() () 0 ξ ξ = −< f C ， ϕ() () 0 η η = f C− > ，由零点存在定理，必有ς ∈(,) ξ η ，使得 ϕ() 0 ς = ， 即 f ( ) ς = C 。 证毕