例3.42设函数f(x)在闭区间[a,6上连续,且f(a,b]) c[a,b],则存在ξ∈[ab],f()=5(这样的称为f(x)的一个不动点。) 证设g(x)=f(x)-x,则g(x)在[ab上连续,由f(a,b]) c[a,b],可知g(a)≥0,g(b)≤0。 若g(a)=0,则有=a;若g(b)=0,则有=b;若g(a)>0,g(b)<0, 则由定理3.4.3,必存在ξ∈(a,b),使得g()=0,即f()=2。 本例中闭区间[a,b不能改为开区间。例如f(x)=在开区间(0,1)上连续, 且f(0)c(0.),但f(x)在开区间(0,1)中没有不动点。例3.4.2 设函数 f x( ) 在闭区间 ba ],[ 上连续，且 baf ]),([ ⊂ ba ],[ ，则存在ξ ∈ ba ],[ ，f ξ )( = ξ（这样的ξ 称为 f x( ) 的一个不动点。） 证 设 gx f x x () () = − ，则 g x( )在 ba ],[ 上连续，由 f ([ , ]) a b ⊂ ba ],[ ，可知 g a() 0 ≥ ， g b() 0 ≤ 。 若 g a() 0 = ，则有ξ = a ；若 g b() 0 = ，则有ξ = b；若 g a() 0 > ，g b() 0 < ， 则由定理3.4.3，必存在ξ ∈ ba ),( ，使得 g() 0 ξ = ，即 f ( ) ξ = ξ 。 本例中闭区间 ba ],[ 不能改为开区间。例如 ( ) 2x f x = 在开区间(0,1)上连续， 且 f ((0,1)) (0,1) ⊂ ，但 f ( ) x 在开区间(0,1)中没有不动点