0 (5) 元2 (2入…元n≠0) 10 n 0 解： m =入2…几n≠0所以矩阵可逆。 0 将相库分热对指线上的海个元素为一块甲4-因0=2网日 0 A 0 A 0 0 0 0 0 0 1 0 19.设A,B为n阶方阵，且满足AB=0,证明必有A=O,或B=0 证明：因为AB=0,所以AB曰AB=O=O 所以有A=0,或B=0 20.设n阶方阵A≠E,且A2=A,证明A不可逆。 证明：用反证法： 假设A可逆，因为A2=A,则AA2=A-A,即A=E这与已知A≠E矛盾。 所以A不可逆。 21设n阶方阵A可逆，证明A也可逆， 町叮 证明： =式所以rA,AH44】 A可逆，则|A≠0，A≠0，所以|A曰AIA≠0 故A可逆。 因为清=E,所以[丁'=司（5） 1 2 1 2 0 ,( 0) 0 n n                      解： 1 2 1 2 0 0 0 n n       =  所以矩阵可逆。 将矩阵分块，对角线上的每个元素为一块，即   ( 1,2, , ) A i n i i = =  1 1 i i A  −   =     1 1 2 2 0 0 0 0 n n A A A                =             1 1 1 1 1 1 2 2 2 1 1 0 0 0 1 0 0 1 0 n n n A A A       − − − −                       = =                             19. 设 A，B 为 n 阶方阵，且满足 AB=0，证明必有|A|=0，或|B|=0 证明：因为 AB=0，所以|AB|=|A||B|=|0|=0 所以有|A|=0，或|B|=0 20.设 n 阶方阵 A≠E，且 A2=A，证明 A 不可逆。 证明：用反证法： 假设 A 可逆，因为 A2=A，则 A-1A2=A-1A，即 A=E 这与已知 A≠E 矛盾。 所以 A 不可逆。 21.设 n 阶方阵 A 可逆，证明 A ※也可逆，且 1 | | A A A −    =   证明： 1 1 1 1 1 , | | | | | | | | | | | | | | 0 n n A A A A A A A A A A A A A A A  −  −  − −  −  = = =   =  所以 ，| 可逆，则|A| 0，| | 0，所以| 故 可逆。 因为 1 | | | | | | A A A A A E A A  − = = ，所以 1 | | A A A −    =  