高等数学教案 第二章导数与微分 镀层的体积为 △/=Ro+△R)-Ro)≈V'(Ro)△R=4πR02△R=4×3.14×12×0.01=0.13(cm). 于是镀每只球需用的铜约为 0.13×8.9=1.16(g). 例2.利用微分计算sin3030'的近似值， 若+360=石，A=360 解：已知3030'=平+π」 sin3030'=sin(xo+△x)esin xo+△c cos xo =sn名+cos石360 °6360 1+5.元=0.5076. 22360 即 sin30°30'≈0.5076 常用的近似公式（假定x是较小的数值)： ()+x1+x; n (2)sin xx(x用弧度作单位来表达)； (3)tan xex(x用弧度作单位来表达)； (4)e≈1+x; (5)ln(1+x)x. 证明（原四=，那么0=lf0=+ r=0 代入x)O)+f'(O)x便得 +xl+片. 证明(2)取x)=sinx,那么0)=0，f'(0)=cosx==1,代入x)0)+f'(0)x便得 sinx≈x. 例3.计算√1.05的近似值. 解：已知+x≈1+1x,故 n 1.05=1+0.05≈1+2×0.05=1.025. 直接开方的结果是√1.05=1.02470 小记：深刻理解微分的概念，注意掌握微分与可导的关系与区别：在一点可导与可微是 两个不同的概念，前者是函数增量与自变量增量之比的极限，是函数变化率：后者是函数增 量之线性主部，是函数增量的近似值。函数在一点可微的充要条件是可导。 >