§7.3佑计量的评选标准 0、引言 从上一节得到:对于同一参数,用不同的估计方法求出的估计量可能不相同,用相同的 方法也可能得到不同的估计量,也就是说,同一参数可能具有多种估计量,而且,原则上讲, 其中任何统计量都可以作为未知参数的估计量,那么采用哪一个估计量为好呢?这就涉及到 估计量的评价问题,而判断估计量好坏的标准是:有无系统偏差;波动性的大小;伴随样本 容量的增大是否是越来越精确,这就是估计的无偏性,有效性和相合性 、无偏性 设θ是未知参数θ的估计量,则θ是一个随机变量,对于不同的样本值就会得到不同的估 计值,我们总希望估计值在θ的真实值左右徘徊,而若其数学期望恰等于θ的真实值,这就 导致无偏性这个标准。 定义1:设0=0(X1,X2…Xn)是未知参数的估计量,若E(O)存在,且对v∈有 E(θ)=θ,则称θ是θ的无偏估计量,称θ具有无偏性。 在科学技术中,E(O)-称为以0作为的估计的系统误差,无偏估计的实际意义就是无 系统误差。 例1:设总体X的k阶中心矩m=E(X)(k≥1)存在,(X1X2,…,Xn)是X的一个样本, 证明:不论x服从什么分布,4=∑X是m2的无偏估计 证明::X1,X2…xn与X同分布,∴E(X)=E(X)=m1i=12.…,n E(A)=∑E(x)=m特别,不论x服从什么分布,只要E(X)存在,总是E(X)的 无偏估计。 例2:设总体X的E(X)=,D(X)=a2都存在,且a2>0,若山,.2均为未知,则a2的 估计量2=1(x-x)是有偏的 证明:∵G2=1 (X1-X户2=∑x2-X8 §7.3 估计量的评选标准 0、引言 从上一节得到：对于同一参数，用不同的估计方法求出的估计量可能不相同，用相同的 方法也可能得到不同的估计量，也就是说，同一参数可能具有多种估计量，而且，原则上讲， 其中任何统计量都可以作为未知参数的估计量，那么采用哪一个估计量为好呢？这就涉及到 估计量的评价问题，而判断估计量好坏的标准是：有无系统偏差；波动性的大小；伴随样本 容量的增大是否是越来越精确，这就是估计的无偏性，有效性和相合性。 一、无偏性 设   是未知参数  的估计量，则   是一个随机变量，对于不同的样本值就会得到不同的估 计值，我们总希望估计值在  的真实值左右徘徊，而若其数学期望恰等于  的真实值，这就 导致无偏性这个标准。 定义 1:设    =  （ X X Xn , , , 1 2  ）是未知参数  的估计量，若 ( )  E  存在，且对   有 ( )  E  = ，则称   是  的无偏估计量，称   具有无偏性。 在科学技术中， ( )  E  - 称为以   作为  的估计的系统误差，无偏估计的实际意义就是无 系统误差。 例 1：设总体 X 的 k 阶中心矩 m = E(X ) (k  1) k k 存在， ( , , , ) X1 X2  Xn 是 X 的一个样本， 证明：不论 X 服从什么分布， = = n i k k Xi n A 1 1 是 mk 的无偏估计。 证明：  X X Xn , , 1 2 与 X 同分布， E X E X mk i n k k i  ( ) = ( ) = =1,2,  , k n i k k E Xi m n  E A =  = =1 ( ) 1 ( ) 特别，不论 X 服从什么分布，只要 E(X ) 存在， X 总是 E(X ) 的 无偏估计。 例 2：设总体 X 的 2 E(X) =  , D(X) =  都存在，且 0 2   ，若 2 , 均为未知，则 2  的 估计量 = = − n i Xi X n 1 2 2 ( ) 1 ˆ 是有偏的。 证明： 2 1 2 1 2 1 2 1 X X n ( X X ) n ˆ n i i n i  =  i − =  − = = 