4 CONTENTS 6.2H 62.10pac9 6.2.2 6 6.2.3 Linear functional.Duality............ 5 7 Fourier Series 7.1 ntroduction· 7202 twise convergence 7.2.2 Abel summation 072 7.3 L2 convergence 7.4 Applications 72 8 Fourier Transforms 8.1.1 Fourier transform on S(R) 777 8.1.2 Inversion formula 82 rm on 8.3.1 Heat equation on R 9 Selected topics 9. 11 finite 912 Euler product formula 9.2 Falconer conjecture..... 88858888 92.4 Fourier transform to measure 93 of large numbers and Centra limit theorem 。 9.3.3 Central limit theorem4 CONTENTS 6.2 Hilbert space: L 2 spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 6.2.1 Inner product and Hilbert space . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 6.2.2 Orthogonality, Orthonormal basis, Fourier series . . . . . . . . . . . . . . . . 64 6.2.3 Linear functional, Duality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 7 Fourier Series 69 7.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 7.2 Pointwise convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 7.2.1 Ces`aro summation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 7.2.2 Abel summation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 7.3 L 2 convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 7.4 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 7.4.1 Isoperimetric inequality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 7.4.2 Weyl’s equidistribution theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 8 Fourier Transforms 77 8.1 Fourier transform on R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 8.1.1 Fourier transform on S(R) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 8.1.2 Inversion formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 8.1.3 The Plancherel formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 8.2 Fourier transform on R n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 8.3 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 8.3.1 Heat equation on R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 8.3.2 Harmonic functions on upper half plane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 8.3.3 Wave equation in R n × R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 9 Selected topics 83 9.1 Dirichlet Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 9.1.1 Fourier analysis on finite group . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 9.1.2 Euler product formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 9.2 Falconer conjecture . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 9.2.1 Hausdorff measure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 9.2.2 Falconer conjecture . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 9.2.3 Abstract Borel measure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 9.2.4 Fourier transform to measure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 9.3 Law of large numbers and Central limit theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 9.3.1 A crash course in probability . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 9.3.2 Law of large numbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 9.3.3 Central limit theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93